원군 문서 원본 보기

{{위키데이터 속성 추적}}
[[파일:Circle-group.svg|섬네일|right|원군에서의 [[곱셈]]은 각도의 덧셈으로 여길 수 있다.]]
[[군론]]에서 '''원군'''(圓群, {{llang|en|circle group}})은 절댓값이 1인 [[복소수]]로 구성된 1차원 [[리 군]]이다. SO(2) 또는 U(1)으로 불리며, [[폰트랴긴 쌍대성]]을 발생시킨다.

== 정의 ==
원군 <math>T</math>는 다음과 같이 정의할 수 있다.
* 0이 아닌 복소수의 곱셈군 <math>\mathbb C^\times</math> 가운데, [[절댓값]]이 1인 것들의 부분군 <math>\{z\in\mathbb C^\times\colon |z|=1\}</math>
* 실수체 위의 2차 [[특수직교군]] <math>\operatorname{SO}(2;\mathbb R)</math>
* 1차 [[유니터리 군]] <math>\operatorname{U}(1)</math>
* 2차원 [[스핀 군]] <math>\operatorname{Spin}(2)</math>
* 실수체의 덧셈군의 [[몫군]] <math>\mathbb R/\mathbb Z</math>
이 위에는 1차원 [[매끄러운 다양체]]의 구조가 표준적으로 주어지며, 이에 따라 <math>T</math>는 1차원 [[리 군]]을 이룬다.

== 성질 ==
=== 위상수학적 성질 ===
원군은 원 <math>S^1</math>과 [[위상동형]]이다. 따라서, [[연결 공간]]이며, [[기본군]]은 [[무한 순환군]] <math>\pi_1(T)\cong\mathbb Z</math>이다.

=== 군론적 성질 ===
원군을 위상군이 아니라 단순한 군으로 간주하자. 원군은 [[아벨 군]]이자 [[나눗셈군]]이며, 나눗셈군의 구조 정리에 따라 다음과 같은 군의 동형이 존재한다.
:<math>\mathbb T \cong \mathbb Q^{\oplus 2^{\aleph_0}}\oplus  (\mathbb Q / \mathbb Z)\cong \mathbb R \oplus (\mathbb Q / \mathbb Z)\cong\mathbb C^\times</math>
물론, 리 군으로서는 <math>\mathbb T\not\cong\mathbb C^\times</math>이다.

이에 따라, 원군은 모든 소수 <math>p</math>에 대한 [[프뤼퍼 군]]을 부분군으로 갖는다. 원군의 [[계수 (아벨 군)|계수]]는 실수의 크기 <math>2^{\aleph_0}</math>이며, [[꼬임 부분군]]은 <math>\mathbb Q/\mathbb Z</math>이다. 원군은 [[정수환]] 위의 [[가군]]으로서 [[뇌터 가군]]도, [[아르틴 가군]]도 아니다. (반면, [[프뤼퍼 군]]은 [[아르틴 가군]]이지만 [[뇌터 가군]]이 아니다.)

=== 위상군론적 성질 ===
원군의 부분군 가운데 [[닫힌집합]]인 것은 [[1의 거듭제곱근]]으로 구성된 [[순환군]]들이다. 즉, 구체적으로 다음과 같은 군들이다.
:<math>\operatorname{Cyc}(n)\cong \{z\in\mathbb C^\times\colon z^n=1\}\subset T</math>
1차원 이상의 모든 콤팩트 [[리 군]]은 원군을 닫힌 부분군으로 갖는다.

원군의 [[폰트랴긴 쌍대군]]은 [[무한 순환군]] <math>\mathbb Z</math>이다.
:<math>\hom(T,T)\cong\mathbb Z</math>
원군의 [[범피복군]]은 1차원 유클리드 공간 <math>\mathbb R</math>이다.

=== 표현론적 성질 ===
원군 <math>T</math>의 연속 복소수 표현은 다음과 같이 분류된다. <math>T</math>의 복소수 [[기약 표현]]은 모두 1차원이며, 이들은
:<math>\hom(T,T)\cong\mathbb Z</math>
와 일대일 대응한다. 즉, 정수 <math>n\in\mathbb Z</math>에 의하여 분류된다.

원군 <math>T</math>의 연속 실수 기약 표현들은 두 가지가 있다.
* 1차원 자명한 표현
* 2차원 표현 <math>\rho_n\colon\exp(i\theta)\mapsto\begin{pmatrix} \cos n\theta & -\sin n\theta \\ \sin n\theta & \cos n\theta \end{pmatrix}</math>. 이는 복소수 기약 표현에서 복소수 구조를 잊은 것이다. 복소수 기약 표현과 달리, <math>\rho_n</math>과 <math>\rho_{-n}</math>은 실수 표현으로서 서로 동형이며, <math>n=0</math>인 경우는 기약 표현이 아니므로, 이 경우 <math>n\in\mathbb Z^+</math>이다.

== 참고 문헌 ==
* {{서적 인용|성=Hua |이름=Luogeng|저자링크=화뤄겅|날짜=1981|제목=Starting with the unit circle|출판사=Springer | isbn=0-387-90589-8|언어=en}}

== 외부 링크 ==
* {{nlab|id=circle group|제목=Circle group}}
* {{Groupprops|제목=Circle group}}

== 같이 보기 ==
* [[3차원 직교군]]

{{전거 통제}}

[[분류:리 군]]
[[분류:아벨 군론]]