우산 정리 문서 원본 보기

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'''우산 정리'''는 다음 세 그림에서 <math>AB*AC=AD*AE일껄..</math>가 성립한다는 정리이다.

{| border="2" cellspacing="2" cellpadding="2"
|- 
| style="width:20%" | [[파일:우산 정리 1.png|300px]]
| style="width:20%" | [[파일:우산 정리 2.png|300px]]
| style="width:20%" |[[파일:우산 정리 3.png|300px]]
|-
| <div style="text-align:center">'''AD는 각 A의 이등분선이다.'''</div>
| <div style="text-align:center">'''AB=AC'''이다.</div>
| <div style="text-align:center">'''O는 원의 중심이며, AD와 BC는 수직이다.'''</div>
|}

== 증명 ==

{| border="2" cellspacing="2" cellpadding="2"
|- 
| style="width:20%" | [[파일:우산 정리 1.png|300px]]
| style="width:20%" | [[파일:우산 정리 2.png|300px]]
| style="width:20%" | [[파일:우산 정리 3.png|300px]]
|-
| <div style="text-align:center">

=== 1번째 그림의 증명 ===

AD가 각 A의 이등분선이며 [[원주각]]이 같으므로

<math>\angle{BAE}=\angle{DAC}, \angle{BEA}=\angle{DCA}</math>

<math>\triangle{ABE}\sim \triangle{ADC}(AA)</math>

그러므로 길이비를 생각하면,

<math>\frac{AB}{AD}=\frac{AE}{AC}</math>

이므로 

<math>AB*AC=AD*AE</math>이다.

</div>
| <div style="text-align:center">

=== 2번째 그림의 증명 ===

삼각형 BAC가 이등변삼각형이 될 것이며,

원주각이 같게 되기 때문에

<math>\angle{BEA}=\angle{BCA}=\angle{ABC}</math>

<math>\triangle{ABE}\sim \triangle{ADB}(AA)</math>

그러므로 길이비를 생각하면,

<math>\frac{AB}{AD}=\frac{AE}{AB}</math>

그리고 AB=AC이므로,

<math>AB*AC=AD*AE</math>이다.

</div>
| <div style="text-align:center">

=== 3번째 그림의 증명 ===

AE가 지름이고 AD와 BC가 수직이며 원주각이 같다. 따라서,

<math>\angle{ABE}=90^\circ=\angle{ADC}, \angle{BEA}=\angle{DCA}</math>

<math>\triangle{ABE}\sim \triangle{ADC}(AA)</math>

따라서 길이비를 생각하면,

<math>\frac{AB}{AD}=\frac{AE}{AC}</math>

이므로

<math>AB*AC=AD*AE</math>이다.

</div>
|}

{{토막글|기하학}}

[[분류:삼각 기하학]]