요네다 보조정리 문서 원본 보기

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[[범주론]]에서 '''요네다 보조정리'''([米田]補助定理, {{llang|en|Yoneda lemma}})는 특정한 [[범주 (수학)|범주]]를 [[집합]] 값의 [[함자 (수학)|함자]] 범주에 [[묻기 (수학)|묻는]] [[함자 (수학)|함자]]를 만들 수 있게 하는 [[보조정리]]다. [[군론]]의 [[케일리의 정리]]를 크게 일반화한 것이다. [[대수기하학]]과 [[표현론 (수학)|표현론]]에서 중요하게 쓰인다.

== 보조정리 ==
<math>\mathcal C</math>가 [[국소적으로 작은 범주]](임의의 두 대상 사이의 [[사상 (수학)|사상]]들의 [[모임 (집합론)|모임]]이 항상 [[집합]]인 범주)라고 하자. 각 대상 <math>A\in\mathcal C</math>에 대해, 다음과 같은 [[함자 (수학)|함자]]가 존재한다 (<math>\operatorname{Set}</math>는 [[집합]]의 범주).
: <math>\hom(A,-)\colon\mathcal C\to\operatorname{Set}</math>
: <math>\hom(A,-)\colon B\mapsto\hom(A,B)</math>
이 함자에서, 사상 <math>f\colon B\to C</math>의 [[상 (수학)|상]]은 다음과 같다.
:<math>\hom(A,f)\colon\hom(A,B)\to\hom(A,C)</math>
:<math>\hom(A,f)\colon g\mapsto f\circ g</math>
마찬가지로, 다음과 같은 함자가 존재한다 (<math>^\operatorname{op}</math>는 [[반대 범주]]).
:<math>\hom(-,A)\colon\mathcal C^{\operatorname{op}}\to\operatorname{Set}</math>
:<math>\hom(-,A)\colon B\mapsto\hom(B,A)</math>
:<math>\hom(f,A)\colon\hom(C,A)\to\hom(B,A)\qquad(f\colon B\to C)</math>
:<math>\hom(f,A)\colon g\mapsto g\circ f</math>
그리고 [[함자 (수학)|함자]] <math>F\colon\mathcal C\to\operatorname{Set}</math>가 주어졌다고 하자. '''요네다 보조정리'''에 따르면, 모든 대상 <math>A\in\mathcal C</math>에 대하여, 다음 두 집합이 표준적으로 [[일대일 대응]]한다.
: <math>\operatorname{Nat}(\hom(A,-),F) \cong F(A)</math>
이 때,
* <math>\operatorname{Nat}(\hom(A,-),F)</math>은 모든 [[자연 변환]] <math>\Phi\colon\hom(A,-)\Rightarrow F</math>들의 집합이다.
* <math>F(A)\in\operatorname{Set}</math>는 <math>A</math>의 [[상 (수학)|상]]이다.
위의 일대일 대응은 구체적으로 다음과 같다.
:<math>\Phi\mapsto\Phi_A(\operatorname{id}_A)\in F(A)</math>
이를 표준적으로 만드는 두 함자는 다음과 같다 (<math>\operatorname{Set}^{\mathcal C}</math>는 [[함자 (수학)|함자]] <math>\mathcal C\to\operatorname{Set}</math>와 [[자연 변환]]의 범주).<ref name="Mac Lane">{{서적 인용
|성=Mac Lane
|이름=Saunders
|제목=Categories for the working mathematician
|언어=en
|판=2
|총서=Graduate Texts in Mathematics
|권=5
|출판사=Springer
|위치=New York, NY
|날짜=1998
|isbn=978-0-387-98403-2
|issn=0072-5285
|doi=10.1007/978-1-4757-4721-8
|mr=1712872
|zbl=0906.18001
}}</ref>{{rp|61}}
:<math>\operatorname{Nat}(\hom(-,-),-)\colon\mathcal C\times\operatorname{Set}^{\mathcal C}\to\operatorname{Set}</math>
:<math>\operatorname{Nat}(\hom(-,-),-)\colon(A,F)\mapsto\operatorname{Nat}(\hom(A,-),F)</math>
:<math>-(-)\colon\mathcal C\times\operatorname{Set}^{\mathcal C}\to\operatorname{Set}</math>
:<math>-(-)\colon(A,F)\mapsto F(A)</math>
즉, 위 [[일대일 대응]]들은 이 두 함자 사이의 [[자연 동형]]을 이룬다. 첫 번째 함자에서, 사상 <math>(f\colon A\to B,\Phi\colon F\Rightarrow G)</math>의 상은 다음과 같다.
:<math>\operatorname{Nat}(\hom(f,-),\Phi)\colon\operatorname{Nat}(\hom(A,-),F)\to\operatorname{Nat}(\hom(B,-),G)</math>
:<math>\operatorname{Nat}(\hom(f,-),\Phi)=\operatorname{Nat}(\hom(B,-),\Phi)\circ\operatorname{Nat}(\hom(f,-),F)=\operatorname{Nat}(\hom(f,-),G)\circ\operatorname{Nat}(\hom(A,-),\Phi)</math>
:<math>\operatorname{Nat}(\hom(f,-),\Phi)\colon\Psi\mapsto\Phi\circ\Psi\circ\hom(f,-)</math>
두 번째 함자에서, 사상 <math>(f\colon A\to B,\Phi\colon F\Rightarrow G)</math>의 상은 다음과 같다.
:<math>\Phi_f\colon F(A)\to G(B)\qquad(f\colon A\to B,\;\Phi\colon F\Rightarrow G)</math>
:<math>\Phi_f=\Phi_B\circ F(f)=G(f)\circ\Phi_A</math>

마찬가지로, 모든 함자 <math>F\colon\mathcal C^{\operatorname{op}}\to\operatorname{Set}</math> 및 대상 <math>A\in\mathcal C</math>에 대하여, 다음 두 집합이 표준적으로 [[일대일 대응]]한다.
: <math>\operatorname{Nat}(\hom(-,A),F) \cong F(A)</math>
이 때
* <math>\operatorname{Nat}(\hom(-,A),F)</math>는 [[자연 변환]] <math>\Phi\colon\hom(-,A)\Rightarrow F</math>들의 집합이다.
* <math>F(A)</math>는 <math>A</math>의 [[상 (수학)|상]]이다.
이 [[일대일 대응]]
:<math>\Phi\mapsto\Phi_A(\operatorname{id}_A)\in F(A)</math>
들은 함자
:<math>\operatorname{Nat}(\hom(-,-),-)'\colon\mathcal C^{\operatorname{op}}\times\operatorname{Set}^{\mathcal C^{\operatorname{op}}}\to\operatorname{Set}</math>
:<math>\operatorname{Nat}(\hom(-,-),-)'\colon(A,F)\mapsto\operatorname{Nat}(\hom(-,A),F)</math>
:<math>\operatorname{Nat}(\hom(-,f),\Phi)\colon\operatorname{Nat}(\hom(-,B),F)\to\operatorname{Nat}(\hom(-,A),G)\qquad(f\colon A\to B,\;\Phi\colon F\Rightarrow G)</math>
:<math>\operatorname{Nat}(\hom(-,f),\Phi)=\operatorname{Nat}(\hom(-,A),\Phi)\circ\operatorname{Nat}(\hom(-,f),F)=\operatorname{Nat}(\hom(-,f),G)\circ\operatorname{Nat}(\hom(B,-),\Phi)</math>
:<math>\operatorname{Nat}(\hom(-,f),\Phi)\colon\Psi\mapsto\Phi\circ\Psi\circ\hom(-,f)</math>
와
:<math>-(-)'\colon\mathcal C^{\operatorname{op}}\times\operatorname{Set}^{\mathcal C^{\operatorname{op}}}\to\operatorname{Set}</math>
:<math>-(-)'\colon(A,F)\mapsto F(A)</math>
:<math>\Phi_f\colon F(B)\to G(A)\qquad(f\colon A\to B,\;\Phi\colon F\Rightarrow G)</math>
:<math>\Phi_f=\Phi_A\circ F(f)=G(f)\circ\Phi_B</math>
사이의 [[자연 동형]]을 이룬다.

== 증명 ==
쌍대성에 따라, 함자 <math>F</math>가 <math>\mathcal C\to\operatorname{Set}</math>인 경우를 증명하면 충분하다. (<math>F\colon\mathcal C^{\operatorname{op}}\to\operatorname{Set}</math>의 경우, <math>\mathcal C</math>를 그 [[반대 범주]]로 대체한다.)

임의의 [[자연 변환]] <math>\Phi\colon\hom(A,-)\Rightarrow F</math>에 대해 <math>\Phi_A(\operatorname{id}_A)</math>를 생각할 수 있다. <math>\Phi_A</math>는 <math>A\to A</math> 함자를 <math>F(A)</math>의 원소로 옮겨야 하고, <math>\operatorname{id}_A\colon A\to A</math>이므로, <math>\Phi_A(\operatorname{id}_A)\in F(A)</math>임을 알 수 있다.

이제, 모든 <math>u \in F(A)</math>에 대해 <math>\Phi_A(\operatorname{id}_A)=u</math>인 유일한 자연 변환 <math>\Phi</math>를 대응할 수 있다는 것만 증명하면 된다. 이는 다음과 같은 가환 그림과 그림 쫓기({{llang|en|diagram chasing}})를 사용하여 증명할 수 있다.
:[[파일:YonedaLemma-02.png]]

자연 변환
: <math>\Phi_X(f) = (F f)u</math>
은 자명하게 <math>\Phi_A(\operatorname{id}_A)=u</math>를 만족한다. 반대로, 자연 변환의 정의에 따라 위 가환이 성립하므로, <math>\Phi_A(\operatorname{id}_A)=u</math>를 만족하는 자연 변환은 위 자연 변환밖에 없다. 다시 말해, <math>u \in F(A)</math>의 선택에 따라 자연 변환이 결정되므로 증명이 완성된다.

== 요네다 매장 ==
[[국소적으로 작은 범주]] <math>\mathcal C</math>가 주어졌다고 하자. 요네다 보조정리에 대상 <math>A\in\mathcal C</math>와 함자 <math>F=\hom(-,B)\colon\mathcal C^{\operatorname{op}}\to\operatorname{Set}</math>를 대입하면 다음 [[전단사 함수]]를 얻는다.
: <math>\hom(A,B)\cong\operatorname{Nat}(\hom(-,A),\hom(-,B))</math>
: <math>f\mapsto\hom(-,f)</math>
사실, 이는 함자 범주 <math>\operatorname{Set}^{\mathcal C^{\operatorname{op}}}</math>로 가는 함자
:<math>\hom(-,-)\colon\mathcal C\to\operatorname{Set}^{\mathcal C^{\operatorname{op}}}</math>
:<math>\hom(-,-)\colon A\mapsto\hom(-,A)</math>
:<math>\hom(-,-)\colon f\mapsto\hom(-,f)</math>
를 임의의 사상 집합으로 제한한 것이다. 따라서, 이 함자는 [[충실충만한 함자]]이다. 다시 말해, 이 함자는 범주 <math>\mathcal C</math>를 그 성질 그대로 <math>\operatorname{Set}^{\mathcal C^{\operatorname{op}}}</math> 안에 옮겨놓는 역할을 한다. 이 함자를 '''요네다 매장'''([米田]埋藏, {{llang|en|Yoneda embedding}})이라고 부른다.

마찬가지로, 요네다 보조정리에 따라, 함수
:<math>\hom(A,B)\cong\operatorname{Nat}(\hom(B,-),\hom(A,-))</math>
:<math>f\mapsto\hom(f,-)</math>
는 [[전단사 함수]]이며, 다음과 같은 [[충실충만한 함자]]가 존재한다.
:<math>\hom(-,-)'\colon\mathcal C^{\operatorname{op}}\to\operatorname{Set}^{\mathcal C}</math>
:<math>\hom(-,-)'\colon A\mapsto\hom(A,-)</math>
:<math>\hom(-,-)'\colon f\mapsto\hom(f,-)</math>

== 역사 ==
일본의 수학자 [[요네다 노부오]]가 1954년에 발표하였다.<ref>{{저널 인용|last=Nobuo|first=Yoneda|저자링크=요네다 노부오|title=On the homology theory of modules|journal=Journal of the Faculty of Science of the University of Tokyo. Section I|날짜=1954|volume=7|pages=193-227|zbl=0058.01902|언어=en}}</ref>

== 각주 ==
{{각주}}

== 외부 링크 ==
* {{eom|title=Grothendieck functor}}
* {{eom|title=Representable functor}}
* {{nlab|id=Yoneda lemma}}
* {{nlab|id=Yoneda embedding}}
* {{nlab|id=representable functor|제목=Representable functor}}
* {{nlab|id=enriched Yoneda lemma|제목=Enriched Yoneda lemma}}

== 같이 보기 ==
* [[표현 가능 함자]]

{{전거 통제}}

[[분류:범주론]]
[[분류:보조정리]]