외접원 문서 원본 보기

{{위키데이터 속성 추적}}
[[파일:Triangle.Circumcenter.svg|섬네일|삼각형의 외접원과 외심]]
[[기하학]]에서 '''외접원'''(外接圓, {{llang|en|circumscribed circle, circumcircle}})은 주어진 [[다각형]]의 모든 꼭짓점을 지나는 [[원 (기하학)|원]]이다. '''외심'''(外心, {{llang|en|circumcenter}})은 외접원의 중심을 일컫는다. 모든 [[삼각형]]과 [[정다각형]]은 외접원을 갖는다. 그러나 모든 다각형에 외접원이 존재하는 것은 아니다.

== 정의 ==
[[다각형]]의 모든 꼭짓점을 지나는 [[원 (기하학)|원]]이 존재한다면, 이 원을 이 다각형의 '''외접원'''이라고 한다. 다각형의 외접원의 중심을 이 다각형의 '''외심'''이라고 한다. 외접원을 갖는 (볼록) 다각형을 '''내접 다각형'''(內接多角形, {{llang|en|cyclic polygon, inscribed polygon}})이라고 한다. 특히 외접원을 갖는 (볼록) [[사각형]]을 '''[[내접 사각형]]'''이라고 한다.

== 성질 ==
다각형이 외접원을 갖는다면, 그 외심은 모든 변의 [[수직 이등분선]]의 교점이며, 외심과 다각형의 각 꼭짓점 사이의 거리는 외접원의 반지름이므로 모두 같다.

모든 삼각형과 [[정다각형]]은 외접원을 갖는다. 즉, 모든 삼각형과 정다각형은 내접 다각형이다.

=== 예각·직각·둔각 삼각형의 외심 ===
[[예각 삼각형]]의 외심은 삼각형의 내부에 속한다. [[직각 삼각형]]의 외심은 빗변의 [[중점 (기하학)|중점]]이다. [[둔각 삼각형]]의 외심은 삼각형의 외부에 속한다.

=== 반지름 ===
삼각형 <math>ABC</math>의 외접원의 반지름을 <math>R</math>라고 하고, 세 변의 길이를 <math>a=BC</math>, <math>b=CA</math>, <math>c=AB</math>라고 하자. 그렇다면 다음 등식들이 성립한다 ([[사인 법칙]]).
:<math>\frac a{\sin A}=\frac b{\sin B}=\frac c{\sin C}=2R</math>

삼각형의 넓이를 <math>S</math>라고 하자. 그렇다면 다음이 성립한다.
:<math>S=\frac{abc}{4R}</math>
{{증명}}
삼각형의 넓이는 한 변의 길이 <math>a</math>와 그 변 위의 높이 <math>b\sin C</math>의 곱의 1/2이므로, 사인 법칙에 따라
:<math>S=\frac 12ab\sin C=\frac 12ab\cdot\frac c{2R}=\frac{abc}{4R}</math>
이다. 
{{증명 끝}}

삼각형의 [[내접원]]의 반지름을 <math>r</math>라고 하자. 그렇다면 외심 <math>O</math>와 내심 <math>I</math> 사이의 거리는 다음과 같다 ([[오일러 삼각형 정리]]).
:<math>OI=\sqrt{R^2-2Rr}</math>

특히 다음 부등식이 성립한다 ([[오일러 부등식]]).
:<math>R\ge 2r</math>

=== 오일러 직선 ===
{{본문|오일러 직선}}
삼각형의 외심, [[무게 중심 (기하학)|무게 중심]], [[수심 (기하학)|수심]], [[구점원]]의 중심은 한 직선 위의 점이며, 정삼각형이 아닐 경우 이 네 중심을 지나는 직선은 유일하게 존재한다. 이를 주어진 삼각형의 [[오일러 직선]]이라고 한다.

=== 사각형 ===
{{본문|내접 사각형}}
(볼록) 사각형 <math>ABCD</math>에 대하여, 다음 조건들이 서로 [[동치]]이다.
* [[내접 사각형]]이다. (즉, 외접원을 갖는다.)
* (두 대각의 합은 <math>180^\circ</math>) <math>\angle BAD+\angle BCD=180^\circ</math>
* ([[원주각]]) <math>\angle ACB=\angle ADB</math>
* ([[방멱 정리]]) 두 대각선 <math>AC</math>, <math>BD</math>의 교점을 <math>E</math>라고 할 때, <math>EA\cdot EC=EB\cdot ED</math>
* ([[프톨레마이오스 정리]]) <math>AB\cdot CD+AD\cdot BC=AC\cdot BD</math>

=== 미켈 정리 ===
삼각형 <math>ABC</math> 및 직선 <math>BC</math>, <math>CA</math>, <math>AB</math> 위의 점 <math>D</math>, <math>E</math>, <math>F</math>가 주어졌다고 하자. '''미켈 정리'''({{llang|en|Miquel theorem}})에 따르면, 삼각형 <math>AEF</math>, <math>BFD</math>, <math>CDE</math>의 외접원은 한 점 <math>P</math>에서 만난다. 이 경우 점 <math>P</math>를 삼각형 <math>ABC</math>에 대한 점 <math>D</math>, <math>E</math>, <math>F</math>의 '''미켈 점'''({{llang|en|Miquel point}})이라고 한다. 만약 <math>D</math>, <math>E</math>, <math>F</math>가 한 직선 위의 점이 아닐 경우, 삼각형 <math>DEF</math>를 삼각형 <math>ABC</math>에 대한 점 <math>P</math>의 한 '''미켈 삼각형'''({{llang|en|Miquel triangle}})이라고 한다.
{{증명}}
편의상 <math>D</math>, <math>E</math>, <math>F</math>가 변 <math>BC</math>, <math>CA</math>, <math>AB</math> 위의 점이며, 삼각형 <math>AEF</math>, <math>BFD</math>의 외접원의 다른 한 교점 <math>P</math>가 삼각형 <math>ABC</math>의 내부에 속한다고 하자 (그 밖의 경우의 증명은 유사하다). 그렇다면 사각형 <math>AEPF</math>, <math>BDPF</math>는 내접 사각형이므로
:<math>\angle CEP=\angle AFP=\angle BDP</math>
이다. 따라서 사각형 <math>CDPE</math> 역시 내접 사각형이다.
{{증명 끝}}

네 직선으로 구성된 네 삼각형의 외접원은 한 점에서 만난다. 이는 미켈 정리에서 <math>D</math>, <math>E</math>, <math>F</math>가 한 직선 위의 점인 특수한 경우이다.

삼각형 <math>ABC</math> 및 직선 <math>BC</math>, <math>CA</math>, <math>AB</math> 위의 점 <math>D</math>, <math>E</math>, <math>F</math> 및 점 <math>P</math>에 대하여, 삼각형 <math>DEF</math>가 점 <math>P</math>의 미켈 삼각형일 필요 충분 조건은 [[유향각]] <math>\angle PFA</math>, <math>\angle PDB</math>, <math>\angle PEC</math>의 크기가 같은 것이다. 이에 따라, 주어진 점의 미켈 삼각형은 무한히 많이 존재한다. [[수족 삼각형]]은 미켈 삼각형의 특수한 경우이다.

삼각형 <math>ABC</math> 및 직선 <math>BC</math>, <math>CA</math>, <math>AB</math> 위의 점 <math>D</math>, <math>E</math>, <math>F</math> 및 미켈 점 <math>P</math>가 주어졌다고 하자. 그렇다면 다음이 성립한다.<ref name="Johnson" />{{rp|133, §VII.186}}
:<math>\angle BPC=\angle BAC+\angle EDF</math>
:<math>\angle CPA=\angle CBA+\angle FED</math>
:<math>\angle APB=\angle ACB+\angle DFE</math>
여기서 모든 각도는 유향각이다.
{{증명}}
편의상 <math>D</math>, <math>E</math>, <math>F</math>가 변 <math>BC</math>, <math>CA</math>, <math>AB</math> 위의 점이며, 삼각형 <math>AEF</math>, <math>BFD</math>의 외접원의 다른 한 교점 <math>P</math>가 삼각형 <math>ABC</math>의 내부에 속한다고 하자 (그 밖의 경우의 증명은 유사하다). 그렇다면 사각형 <math>BDPF</math>, <math>CDPE</math>는 내접 사각형이므로
:<math>\angle BPC=\angle BPD+\angle DPC=\angle BFD+\angle DEC=\angle BAC+\angle EDF</math>
이다.
{{증명 끝}}

주어진 점의 모든 미켈 삼각형은 [[닮음 (기하학)|닮음]]이다. 구체적으로, 삼각형 <math>ABC</math>에 대한 점 <math>P</math>의 모든 미켈 삼각형은 <math>P</math>를 [[고정점]]으로 하는 방향 보존 닮음 변환에 대하여 닮음이다.<ref name="Johnson">{{서적 인용
|성=Johnson
|이름=Roger A.
|제목=Advanced Euclidean Geometry
|언어=en
|출판사=Dover Publications
|위치=New York, N. Y.
|날짜=1960
|원본연도=1929
}}</ref>{{rp|134, §VII.188}}
{{증명}}
위 등식에 따라 삼각형 <math>ABC</math>에 대한 점 <math>P</math>의 미켈 삼각형 <math>DEF</math>의 세 내각의 크기
:<math>\angle EDF=\angle BPC-\angle BAC</math>
:<math>\angle FED=\angle CPA-\angle CBA</math>
:<math>\angle DFE=\angle APB-\angle ACB</math>
는 미켈 삼각형 <math>DEF</math>의 선택과 무관하므로, 모든 미켈 삼각형은 (방향 보존 닮음 변환에 대하여) 닮음이다. 또한
:<math>\angle PDE=\angle PCA</math>
:<math>\angle PEF=\angle PAB</math>
:<math>\angle PFD=\angle PBC</math>
역시 미켈 삼각형의 선택과 무관하므로, 닮음 변환은 <math>P</math>를 고정점으로 갖는다.
{{증명 끝}}

=== 키페르트 포물선과의 관계 ===
삼각형의 모든 내접 [[포물선]]의 [[초점 (기하학)|초점]]은 외접원 위의 점이다.<ref name="Honsberger">{{서적 인용
|성=Honsberger
|이름=Ross
|제목=Episodes in Nineteenth and Twentieth Century Euclidean Geometry
|언어=en
|총서=New Mathematical Library
|권=37
|출판사=The Mathematical Association of America
|위치=Washington
|날짜=1995
|isbn=0-88385-639-5
}}</ref>{{rp|47, §5.5}} 특히 삼각형의 키페르트 포물선({{llang|en|Kiepert’s parabola}})의 초점은 외접원 위의 점이다. 이는 종합 기하학의 방법을 통해 다음과 같이 증명할 수 있다.
{{증명}}
내접 포물선의 초점 <math>F</math>가 외접원 위의 점이라는 조건은 초점 <math>F</math>를 지나는 삼각형의 세 변의 수선의 발이 한 직선 위의 점인 것과 동치이다 ([[심슨 직선]]). 따라서 초점 <math>F</math>를 지나는, 포물선 위 임의의 점 <math>P</math>에서의 접선의 수선의 발이 항상 포물선의 꼭짓점 <math>V</math>에서의 접선 위의 점임을 보이는 것으로 충분하다.

점 <math>P</math> 또는 초점 <math>F</math>를 지나는 [[준선]]의 수선의 발을 <math>D</math>, <math>E</math>라고 하고, 꼭짓점 <math>V</math>에서의 접선과 <math>DF</math>의 교점을 <math>M</math>이라고 하자. 그렇다면 포물선의 꼭짓점 <math>V</math>는 선분 <math>EF</math>의 중점이며, <math>VM</math>과 <math>DE</math>는 평행하므로 <math>M</math>은 선분 <math>DF</math>의 중점이다. <math>PD=PF</math>이므로 <math>PM</math>은 <math>DF</math>의 수선이자 <math>\angle DPF</math>의 이등분선이다. 이에 따라 광선 <math>FP</math>가 직선 <math>PM</math>에 반사된 광선은 <math>DP</math>의 연장선이다. 포물선의 성질에 따라 초점을 지나는 광선 <math>FP</math>가 포물선에 반사된 광선은 <math>DP</math>의 연장선이므로, <math>PM</math>은 포물선의 <math>P</math>에서의 접선이다.
{{증명 끝}}

== 같이 보기 ==
* [[내접원]]
* [[아폴로니오스의 문제]]

== 각주 ==
{{각주}}

== 외부 링크 ==
* {{매스월드|id=Circumcircle|제목=Circumcircle}}
* {{매스월드|id=Circumcenter|제목=Circumcenter}}
* {{매스월드|id=Circumradius|제목=Circumradius}}
* {{매스월드|id=MiquelsTheorem|제목=Miquel’s theorem}}
* {{매스월드|id=MiquelPoint|제목=Miquel point}}
* {{매스월드|id=MiquelTriangle|제목=Miquel triangle}}
* {{매스월드|id=MiquelCircles|제목=Miquel circles}}

{{오심}}

{{전거 통제}}

[[분류:삼각 기하학]]
[[분류:다각형]]
[[분류:원 (기하학)]]