외대수 문서 원본 보기

{{위키데이터 속성 추적}}
[[파일:N-vector.svg|섬네일|125px|외대수의 1차 · 2차 · 3차 원소는 기하학적으로 각각 [[방향 (다양체)|방향]]을 갖춘 선분 · [[평행사변형]] · [[평행육면체]]로 해석할 수 있다. 외대수 원소의 [[노름]]은 평행육면체의 부피와 같다.]]
[[추상대수학]]과 [[미분기하학]]에서 '''외대수'''(外代數, {{llang|en|exterior algebra}}) 또는 '''그라스만 대수'''(Graßmann代數, {{llang|en|Grassmann algebra}})는 어떤 주어진 [[벡터 공간]]에 대하여, 그 벡터들의 완전 반대칭 조합들로 구성된 벡터 공간 및 그 위에 정의된 [[이항 연산]]으로 구성되는 [[단위 결합 대수]]이자 [[호프 대수]]이다. [[기하학]]적으로, 이는 부호수를 갖는 넓이 또는 부피를 나타낸다.

== 정의 ==
[[가환환]] <math>K</math> 위의 [[가군]] <math>V</math>가 주어졌다고 하자. 그렇다면, 그 [[텐서 대수]]
:<math>T(V)=\bigoplus_{n=0}^\infty T^n(V)=\bigoplus_{n=0}^\infty\overbrace{V\otimes_KV\otimes_K\cdots\otimes_KV}^n</math>
를 정의할 수 있다. 이 위에는 겹선형 이항 연산
:<math>\otimes\colon T^m(V)\otimes_KT^n(V)\to T^{m+n}(V)</math>
:<math>(u_1\otimes u_2\otimes\cdots u_m)\otimes(v_1\otimes v_2\otimes\cdots v_n)=u_1\otimes u_2\otimes\cdots u_m\otimes v_1\otimes v_2\otimes\cdots v_n)</math>
이 정의되어 있으며, 이에 따라 <math>T(V)</math>는 이는 <math>K</math> 위의 [[자연수]] 등급을 갖는 [[등급환|등급]] [[단위 결합 대수]]를 이룬다.

<math>T(V)</math>의 다음과 같은 [[아이디얼]]을 생각하자.
:<math>I=(\{v\otimes v\colon v\in V\})=\operatorname{Span}\{v_1\otimes v_2\otimes\cdots v_n\colon\exists i,j\colon v_i=v_j\}</math>
그렇다면, 이 아이디얼에 대하여 몫대수를 취할 수 있으며, 이를 '''외대수'''
:<math>\bigwedge(V)=T(V)/I</math>
:<math>\bigwedge(V)=\bigoplus_{n=0}^\infty \bigwedge^n(V)</math>
라고 한다. 아이디얼에 대하여 몫을 취했으므로, 이 역시 <math>K</math> 위의 [[단위 결합 대수]]이다. 외대수에서의 이항 연산은 통상적으로
:<math>\wedge\colon\bigwedge^mV\otimes\bigwedge^nV\to\bigwedge^{m+n}V</math>
:<math>\alpha\wedge\beta = \alpha\otimes\beta \pmod I</math>
로 쓰며, '''쐐기곱'''({{llang|en|wedge product}}) 또는 '''외적'''(外積, {{llang|en|exterior product}})이라고 한다.

외대수의 <math>n</math>차 원소 <math>a\in\bigwedge^nV</math>는 '''<math>n</math>-블레이드'''({{llang|en|<math>n</math>-blade}}) 또는 '''<math>n</math>-벡터'''({{llang|en|<math>n</math>-vector}}) 또는 '''<math>n</math>-다중벡터'''({{llang|en|<math>n</math>-multivector}}) 따위로 불린다.

== 성질 ==
체 <math>K</math> 위의 벡터 공간 <math>V</math> 위의 외대수 <math>\bigwedge(V)</math>는 <math>K</math> 위의 [[단위 결합 대수]]이며, [[자연수]] 등급을 갖는 [[등급 대수]]이다. 또한, 이항 연산은 등급 가환 법칙을 따른다. 즉, 임의의
:<math>a\in\bigwedge^mV</math>
:<math>b\in\bigwedge^nV</math>
에 대하여,
:<math>a\wedge b=(-1)^{mn}b\wedge a</math>
:<math>\deg(a\wedge b)=m+n</math>
이다. 보다 일반적으로, 임의의
:<math>a_i\in\bigwedge^{n_i}V\qquad(i=1,2,\dots,k)</math>
및 [[순열]]
:<math>\sigma\in\operatorname{Sym}(k)</math>
에 대하여,
:<math>a_{\sigma(1)}\wedge a_{\sigma(2)}\wedge\cdots\wedge a_{\sigma(k)}=(-1)^\sigma a_1\wedge a_2\wedge\cdots a_k</math>
이다. (이는 <math>K</math>의 [[환의 표수|표수]]가 2가 아니라면 쐐기곱의 등급 가환성과 동치이지만, 표수가 2일 경우에는 자명하지 않다.)

만약 <math>V</math>가 유한 차원 벡터 공간이며 <math>\dim_K V=d</math>라면,
:<math>\dim_K \bigwedge^n(V)=\binom dn</math>
:<math>\dim_K \bigwedge(V)=\sum_{n=0}^d\binom dn=2^d</math>
이다. 즉, <math>\bigwedge(V)</math>의 (자명하지 않은) 등급은 <math>0,1,\dots,d</math>가 된다.

같은 체 위의 임의의 두 벡터 공간 <math>V</math>, <math>W</math>에 대하여, 다음과 같은 표준적인 동형이 존재한다.
:<math>\bigwedge(V\oplus W)\cong\bigwedge V\otimes\bigwedge W</math>
:<math>\bigwedge^n(V\oplus W)\cong\sum_{p+q=n}\bigwedge^pV\otimes\bigwedge^qW</math>

=== 함자성 ===
외대수는 벡터 공간의 범주 <math>K\text{-Vect}</math>에서, <math>K</math> 위의 [[단위 결합 대수]]의 범주 <math>K\text{-uAssoc}</math>로 가는 [[함자 (수학)|함자]]를 정의한다. 구체적으로, [[선형 변환]]
:<math>T\colon V\to W</math>
에 대응하는 외대수 [[준동형]]은 다음과 같다.
:<math>\bigwedge T\colon\bigwedge V\to\bigwedge W</math>
:<math>\bigwedge T\colon v_1\wedge\cdots\wedge v_n\mapsto T(v_1)\wedge\cdots\wedge T(v_n)</math>
또한, 외대수 함자는 [[왼쪽 완전 함자]]이다. 즉, 벡터 공간의 [[아벨 범주]]에서의 [[짧은 완전열]]
:<math>0\to U\to V\to W\to0</math>
이 주어졌을 때,
:<math>0\to\bigwedge U\to\bigwedge V</math>
는 [[완전열]]이다. 또한,
:<math>0\to\bigwedge^1U\wedge\bigwedge V\to\bigwedge V\to\bigwedge W\to0</math>
역시 [[완전열]]이다.

=== 호프 대수 구조 ===
외대수는 [[단위 결합 대수]]의 구조뿐만 아니라, [[호프 대수]]의 구조를 갖는다. 이 경우, 쌍대곱({{llang|en|coproduct}})은 다음과 같다.
:<math>\Delta\colon\bigwedge^nV\to\bigwedge^nV\otimes\bigwedge^nV</math>
:<math>\Delta(v_1\wedge\dots\wedge v_n) = \sum_{p=0}^n \sum_{\sigma\in\operatorname{Sh}(p,n-p)} (-1)^\sigma (v_{\sigma(1)}\wedge\dots\wedge v_{\sigma(p)})\otimes (v_{\sigma(p+1)}\wedge\dots\wedge v_{\sigma(k)})</math>
여기서 <math>\operatorname{Sh}(p,k-p)\subset\operatorname{Sym}(n)</math>은 <math>(p,n-p)</math>-[[셔플 순열]]의 집합이다.

쌍대단위원({{llang|en|counit}})은
:<math>\epsilon\colon\bigwedge^nV\to K</math>
:<math>\epsilon\colon v\mapsto\begin{cases}0&v\in\bigwedge^n V,\qquad n>0\\v&v\in\bigwedge^0V\cong K\end{cases}</math>
이다. 앤티포드({{llang|en|antipode}})는
:<math>S\colon\bigwedge^nV\to\bigwedge^nV</math>
:<math>S\colon v\mapsto(-)^{\deg v}v</math>
이다. (모든 연산들은 혼합 등급을 갖는 원소에 대하여 선형으로 정의된다.)

=== 내적과 호지 쌍대 ===
<math>V</math>가 [[실수체]] 위의 유한 차원 [[내적 공간]]이라고 하자. 그렇다면 <math>\bigwedge V</math> 위에도 자연스러운 내적이 존재하며, 다음과 같다. 임의의
:<math>a=u_1\wedge u_2\wedge\cdots\wedge u_m\in\bigwedge^mV</math>
:<math>b=v_1\wedge v_2\wedge\cdots\wedge v_n\in\bigwedge^nV</math>
에 대하여,
:<math>\langle a,b\rangle=\begin{cases}\det(\langle a_i,b_j\rangle)_{ij}&m=n\\0&m\ne n\end{cases}</math>
이다.

<math>V</math>에 추가로 [[방향 (다양체)|방향]]이 주어졌다고 하자. 즉, [[정규 직교 기저]]의 순서 <math>(\mathbf e_1,\dots,\mathbf e_d)</math>가 주어졌다고 하자. 그렇다면, <math>\bigwedge V</math> 위에는 다음과 같은 '''[[호지 쌍대]]'''를 정의할 수 있다.
:<math>*\colon\bigwedge^mV\to\bigwedge^{d-m}V</math>
:<math>*\colon\mathbf e_1\wedge\cdots\wedge\mathbf e_m\mapsto\mathbf e_{m+1}\wedge\cdots\wedge\mathbf e_d</math>

== 기하학적 해석 ==
[[파일:Area parallellogram as determinant.svg|섬네일|right|두 변의 좌표로 만든 행렬의 행렬식의 관점에서 평행사변형의 넓이]]
<math>V</math>가 실수체 위의 벡터 공간이라고 하자. 그렇다면 <math>\bigwedge^nV</math>의 원소는 부호를 갖는 <math>n</math>차원 초부피로 해석할 수 있다. 구체적으로,  [[일차 독립]] 벡터들의 열
:<math>v_1,v_2,\dots,v_n\in V</math>
이 주어졌을 때
:<math>v_1\wedge v_2\wedge\cdots\wedge v_n\in\bigwedge^nV</math>
는 <math>\{v_i\}_{i=1,\dots,n}</math>을 변으로 하는 [[평행체]]({{llang|en|parallelepiped}})를 나타낸다. <math>V</math>가 내적을 가졌을 때, 내적으로 주어지는 [[노름]]
:<math>\|v_1\wedge v_2\wedge\cdots\wedge v_n\in\bigwedge^nV\|</math>
은 이 평행체의 초부피와 같다.

예를 들어, <math>n=1</math>일 경우 <math>\bigwedge^1V\cong V</math>는 <math>V</math> 속의 방향을 가리키며, 그 내적은 벡터의 길이와 같다. <math>n=2</math>일 경우 <math>u\wedge v</math>는 <math>u</math>와 <math>v</math>를 변으로 하는 [[평행사변형]]을 나타내며, 노름을 취하면 평행사변형의 넓이를 얻는다.

== 3차원 벡터와의 관계 ==
[[파일:Exterior calc cross product.svg|250px|섬네일|쐐기곱 ('''<span style="color:#779ECB;">연보라색</span>''' 평행사변형)과 관련지어 나타낸 벡터곱 ('''<span style="color:blue;">파란색</span>''' 벡터). 평행한 단위 벡터 ('''<span style="color:#CC0000;">빨간색</span>''')의 길이에 대한 벡터곱의 길이는 기준 평행사변형 ('''<span style="color:#CC4E5C;">연한 빨간색</span>''')의 넓이에 대한 쐐기곱의 넓이가 된다.]]

3차원 [[유클리드 공간]] <math>\mathbb R^3</math>에서의 외대수를 생각하자. 이 경우,
:<math>\bigwedge^0\mathbb R^3\cong\mathbb R</math>
:<math>\bigwedge^1\mathbb R^3\cong\mathbb R^3</math>
:<math>\bigwedge^2\mathbb R^3\cong\mathbb R^3</math>
:<math>\bigwedge^3\mathbb R^3\cong\mathbb R</math>
이므로, [[호지 쌍대]]에 따라 외대수의 1차 및 2차 원소를 둘 다 3차원 벡터로 여길 수 있다.

이 경우, 외대수의 쐐기곱을 벡터의 [[벡터곱]]으로 다음과 같이 나타낼 수 있다.
:<math>\mathbf u\times\mathbf v=*(\mathbf u\wedge\mathbf v)\qquad(u,v\in\mathbb R^3)</math>
즉, 3차원 벡터의 [[벡터곱]]은 쐐기곱의 특수한 경우이다. 그러나 3차원이 아닌 다른 차원에서는 <math>\dim\bigwedge^1V\ne\dim\bigwedge^2V</math>이므로, 두 벡터의 곱을 벡터로 여길 수 없다.

마찬가지로, 3차원 벡터의 [[삼중곱]]은 다음과 같이 쐐기곱으로 나타낼 수 있다.
:<math>\mathbf u\cdot\mathbf v\times\mathbf w=*(\mathbf u\wedge\mathbf v\wedge\mathbf w)</math>

== 역사 ==
[[헤르만 그라스만]]이 1844년에 《선형 확장 이론: 수학의 새 분야》({{llang|de|Die Lineale Ausdehnungslehre, ein neuer Zweig der Mathematik}})<ref>{{서적 인용|날짜=1844|이름=Hermann|성=Graßmann|제목=Die Lineale Ausdehnungslehre: ein neuer Zweig der Mathematik: Dargestellt und durch Anwendungen auf die übrigen Zweige der Mathematik, wie auch auf die Statik, Mechanik, die Lehre vom Magnetismus und die Krystallonomie erläutert|출판사=Verlag von Otto Wigand|위치=[[라이프치히]]|url=https://archive.org/details/dielinealeausde00grasgoog Die lineale Ausdehnungslehre|언어=de}}</ref>에서 도입하였다. 그라스만은 자신의 이론을 "확장 이론"({{llang|de|Ausdehnungslehre}})이라고 불렀다. 이후 그라스만의 이론은 오랫동안 잊혀져 있다가, 1888년에 [[주세페 페아노]]가 그의 이론을 재발견하였고 재조명하였다. 이후, [[앙리 푸앵카레]] · [[엘리 카르탕]] · [[가스통 다르부]] 등에 의해, [[미분 형식]]의 형태로 현대 [[미분기하학]]의 핵심적인 위치를 차지하게 되었다.

== 응용 ==
[[미분기하학]]에서는 [[접다발]]의 각 올인 [[접공간]]에 각각 외대수를 취하여 얻는 [[벡터 다발]]의 단면을 '''[[미분 형식]]'''이라고 한다. 미분 형식은 현대 미분기하학에서 핵심적인 위치를 차지한다.

[[물리학]]에서, 외대수는 [[페르미온]] 값을 갖는 장들을 나타내기 위하여 쓰인다. 이들은 [[반가환수]]의 값을 갖는데, 반가환수는 외대수의 원소로 정의할 수 있다. 또한, [[초대칭]] 이론의 경우 [[초장 (물리학)|초장]]들은 [[초다양체]] 위에 정의되는데, 이는 국소적으로 외대수를 갖춘 [[유클리드 공간]] [[매끄러운 함수]]환과 동형인 [[층 (수학)|층]]을 갖춘 [[위상 공간 (수학)|위상 공간]]이다.

== 각주 ==
{{각주}}
* {{서적 인용|first1=S.|last1=Mac Lane|authorlink1=손더스 매클레인|last2=Birkhoff|first2=G.|title=Algebra|publisher=American Mathematical Society|날짜=1988|isbn=978-0-8218-1646-2|판=3|url=http://www.ams.org/bookstore-getitem/item=CHEL-330-H|언어=en}}
* {{서적 인용|first = Nicolas|last=Bourbaki|authorlink=니콜라 부르바키 | title =Algebra I: Chapters 1–3 | 총서= Elements of Mathematics | publisher = Springer | 날짜 = 1989|isbn=978-3-540-64243-5|url=http://www.springer.com/us/book/9783540642435|언어=en}}

== 외부 링크 ==
* {{eom|title=Exterior algebra|first=A.L.|last=Onishchik}}
* {{eom|title=Exterior product|first=L.P. |last=Kuptsov}}
* {{매스월드|id=ExteriorAlgebra|title=Exterior algebra|저자=Eric Weisstein, Todd Rowland}}
* {{매스월드|id=WedgeProduct|title=Wedge product}}
* {{웹 인용|url=http://ncatlab.org/nlab/show/exterior+algebra|제목=Exterior algebra|확인날짜=2015-03-24|보존url=https://web.archive.org/web/20150311143825/http://ncatlab.org/nlab/show/exterior+algebra|보존날짜=2015-03-11|url-status=dead}}
* {{수학노트|title=외대수(exterior algebra)와 다중선형대수(multilinear algebra)}}

== 같이 보기 ==
* [[클리퍼드 대수]]
* [[리 대수]]
* [[미분 형식]]
* [[호지 쌍대]]
* [[코쥘 복합체]]

{{선형대수학}}

[[분류:다중선형대수학]]
[[분류:미분 형식]]
[[분류:대수]]