완화자 문서 원본 보기

{{위키데이터 속성 추적}}
[[파일:Mollified_Illustration.svg|섬네일|일 [[차원]]의 완화자이다(위쪽). 아래는 빨간색은 꺽인 점(왼쪽)과 뾰족한 도약(오른쪽)이 있는 함수이고, 파란색은 완화된 형태이다.]]
[[수학]]에서 '''완화자'''는 [[분포 (해석학)|분포 이론]]에서 [[합성곱]]으로 매끄럽지 않은 [[일반화된 함수|(일반화된) 함수]]를 근사해 매끄러운 함수의 [[수열]]을 만들 때 쓰이는 [[매끄러운 함수]]이다. 직관적으로 주어진 불규칙한 함수가 완화자로 합성곱을 취한 함수는 "완화"된 것이다. 즉 원래의 매끄럽지않은 (일반화된) 함수화 가까우면서 그 날카로운 특징이 매끄러워질 것이다.<ref>Respect to the [//en.wikipedia.org/wiki/Topology topology] of the given space of generalized functions.</ref> 이것을 만든 [[커트 오토 프리드리히]](Kurt Otto Friedrichs) 이후 '''프리드리히 완화자'''로 불리게 되었다.<ref>See {{Harv|Friedrichs|1944|pp=136–139}}.</ref>

== 역사적 메모 ==
완화자는 편미분방정식의 고전적인 이론의 분기점으로 불리는 [[커트 오토 프리드리히]]의 논문 (Friedrichs 1944, pp. 136–139)에서 알려졌다.<ref name="Laxref">See the commentary of [//en.wikipedia.org/wiki/Peter_Lax Peter Lax] to the paper {{Harv|Friedrichs|1944}} in {{Harv|Friedrichs|1986|loc=volume 1, p. 117}}.</ref> 이 수학적 대상의 이름은 기이한 기원을 가지고 있다: [[럭스 페테르]]는 이 이름에 관한 이야기를 그의 주석(Friedrichs 1986, volume 1, p. 117)에서 밝혔다. 럭스에 의하면, 그 때에 수학자 [http://genealogy.math.ndsu.nodak.edu/id.php?id=342 도날드 알렉산더 플랜더스]는 프리드리히의 동료였다: 그는 영어 사용에 관하여 조언하는 것을 즐겨했기 때문에 그는 플랜더스에게 자신이 사용하는 매끄럽게 하는 연산자의 이름에 관하여 조언을 구했다. 플랜더스는 청도교였기 때문에 그의 친구 Moll이 그의 도덕적 자질을 인정받아 [[몰 플랜더스]](Moll Flanders)라는 이름을 얻게 되었다: 따라서 그는 두 플랜더스의 새로운 이름과 동사'완화하다'([[wiktionary:mollify|to mollify]])를 결합한 말장난으로 새로운 수학적 개념을 "mollifier" 라고 이름붙였다. 이는 비유적으로 '매끄럽게 하다'라는 의미를 가진다.<ref>Lax {{Harv|Friedrichs|1986|loc=volume 1, p. 117}} writes precisely that:-"''On English usage Friedrichs liked to consult his friend and colleague, Donald Flanders, a descendant of puritans and a puritan himself, with the highest standard of his own conduct, noncensorious towards others. ''</ref>

이전에 [[세르게이 소볼레프]]가 완화자를 그의 1938년에 논문에 사용했다.<ref>See {{Harv|Sobolev|1938}}.</ref> 그 논문은 [[소볼라프 부등식|소볼레프 내장 정리]]의 증명을 포함한다: {{하버드 인용 본문|Friedrichs|1953|p=196}}는 스스로 완화자를 처음 소개한것은 소블레프의 업적이였음을 인정했다:-"''이 완화자는 소볼라프와 그 저자에 의해서 소개되었다...''".

완화자의 개념에 약간의 오해가 있음을 지적해야 한다: 프리드리히는 "'''완화자'''"를 그 [[적분 변환|커널]]이 지금 완화자라고 하는 함수의 일종인 [[적분 변환|적분 연산자]]라고 정의했다. 하지만 그 선형 적분의 특성은 그 커널에 의해 완전히 결정되었기 때문에 완화자라는 이름은 일반적으로 많이 사용되는 커널이 물려받게 되었다.

== 정의 ==
[[파일:Heat_eqn.gif|오른쪽|프레임|점진적인 완화를 거치고 있는 함수이다.]]

=== 현대적(분포 기반) 정의 ===
Definition 1. 만약 ''<math>\varphi</math>'' 가 ℝ''<sup>n</sup>'', ''n'' ≥ 1에서 다음의 세 조건을 만족하는 매끄러운 함수라면
: (1)<span class="nowrap">&nbsp;&nbsp;</span> [[지지집합|콤팩트 지지집합]]을 가지고 있어야 한다<ref>Such as a [//en.wikipedia.org/wiki/Bump_function bump function]</ref>
: (2)<span class="nowrap">&nbsp;&nbsp;</span><math>\int_{\mathbb{R}^n}\!\varphi(x)\mathrm{d}x=1</math>
: (3)<span class="nowrap">&nbsp;&nbsp;</span><math>\lim_{\epsilon\to 0}\varphi_\epsilon(x) = \lim_{\epsilon\to 0}\epsilon^{-n}\varphi(x / \epsilon)=\delta(x)</math>
여기서 <math>\delta(x)</math> ''<math>\varphi</math>''는 '''완화자'''이다. 함수 ''<math>\varphi</math>'' 는 또한 다음의 조건들을 만족할 수 있다:<ref>See {{harv|Giusti|1984|p=11}}.</ref> 예를 들어 이것이 다음을 만족한다면
: (4)<span class="nowrap">&nbsp;&nbsp;</span> 모든 ''x'' ∈ ℝ''<sup>n</sup>'',에 대해서 \varphi (x) ≥ 0 라면 이것은 '''양의 완화자'''라고 불린다
: (5)<span class="nowrap">&nbsp;&nbsp;</span> 어떤 무한히 미분가능한 함수 ''<math>\mu</math>'' : ℝ<sup>+</sup> → ℝ에 대하여 \varphi (x)=\mu (|x|)라면 이것은 '''대칭 완화자'''라고 불린다

=== 프리드리히의 정의에 대한 주석 ===
'''주 1'''. 분포 이론이 여전히 넓게 알려지지도 사용되지도 않았을 때,<ref>As when the paper {{Harv|Friedrichs|1944}} was published, few years before [//en.wikipedia.org/wiki/Laurent_Schwartz Laurent Schwartz] widespread his work.</ref> 위의 특징 {{EquationNote|4|(3)}}은 함수 ''<math>\scriptstyle\varphi_\epsilon</math>''와 적절한 [[힐베르트 공간|힐베르트]]나 [[바나흐 공간]]에 속해 있는 주어진 함수의 [[합성곱]]이 마지막에 ''ε'' → 0으로 [[수렴급수|수렴]]한다고 말함으로써 얻어졌다:<ref>Obviously the [//en.wikipedia.org/wiki/Topology topology] with respect to convergence occurs is the one of the [//en.wikipedia.org/wiki/Hilbert_space Hilbert] or [//en.wikipedia.org/wiki/Banach_space Banach space] considered.</ref> 이것이 정확히 [[커트 오토 프리드리히|프리드리히]]가 한 것이다.<ref>See {{harv|Friedrichs|1944|pp=136–138}}, properties '''PI''', '''PII''', '''PIII''' and their consequence '''PIII<sub>0</sub>'''.</ref> 이것은 또한 완화자가 왜 [[approximate identities]]와 관계가 있는지를 명확히한다.<ref name="Fredref">Also, in this respect, {{harvtxt|Friedrichs|1944|pp=132}} says:-"''The main tool for the proof is a certain class of smoothing operators approximating unity, the "mollifiers"''.</ref>

'''주 2'''. 이 문서의 "[[역사적 메모]]"에서 간략히 설명했듯이 용어 "완화자"는 다음의 [[합성곱|합성곱 연산자]]를 정의하는 것이였다:<ref>See {{harv|Friedrichs|1944|p=137}}, [//en.wikipedia.org/wiki/Paragraph paragraph] 2, "''Integral operators''".</ref>
: <math>\Phi_\epsilon(f)(x)=\int_{\mathbb{R}^n}\varphi_\epsilon(x-y) f(y)\mathrm{d}y</math>
여기서 <math>\scriptstyle\varphi_\epsilon(x)=\epsilon^{-n}\varphi(x/\epsilon)</math> 이고 ''<math>\varphi</math>''는 위에서 기술한 처음 세 조건을 만족하고 하나 이상의 추가조건을 만족하는 매끄러운 함수이다.

== 구체적인 예 ==
다음과 같이 정의된 ℝ''<sup>n</sup>'' 에서 변수를 갖는 함수 <math>\varphi (x)</math>를 생각해보자

<math>\varphi(x) = \begin{cases} e^{-1/(1-|x|^2)}/I_n& \text{ if } |x| < 1\\
                 0& \text{ if } |x|\geq 1
                 \end{cases}</math>

여기서 수치적 상수 <math> I_n</math>은 정상화를 보장한다. 이것은 쉽게 이 함수가 [[비 해석적 매끄러운 함수|무한히 미분가능하고, 비 해석적]]이며 [[미분계수]]가 |''x''| = 1에서 0이 되는 것을 볼 수 있다. ''<math>\varphi</math>''는 따라서 위에서 서술한대로 완화자로 사용할 수 있다: 이것은 또한 쉽게 ''<math>\varphi</math>''<math>(x)</math>가 ''양이면서 대칭인 완화자''임을 볼 수 있다.<ref>See {{Harv|Hörmander|1990|p=14}}, [//en.wikipedia.org/wiki/Lemma_(mathematics) lemma] 1.2.3.: the example is stated in implicit form by first defining {{math|''f''(''t'') {{=}} exp(-1/''t'')}} for {{math|''t''}} ∈ ℝ<sup>+</sup>, and then considering {{math|''f''(''x'') {{=}} ''f'' (1-<nowiki>|</nowiki>''x''<nowiki>|</nowiki><sup>2</sup>) {{=}} exp(-1/(1-<nowiki>|</nowiki>''x''<nowiki>|</nowiki><sup>2</sup>))}} for {{math|''x''}} ∈ ℝ''<sup>n</sup>''.</ref>
[[파일:Mollifier_Illustration.svg|가운데|프레임|일 차원에서 함수 <math>\varphi (x)</math>]]

== 특성 ==
완화자의 모든 속성은 합성곱의 연산의 행태와 관련되어 있다: 다음은 [[분포 (해석학)|분포 이론]]의 내용에서 찾을 수 있는 모든 증명의 목록이다.<ref>See for example {{Harv|Hörmander|1990}}.</ref>

=== 매끄럽게하기 속성 ===
어떤 분포 <math>T</math>에 대해 [[실수]] <math>\epsilon</math>
: <math>T_\epsilon = T\ast\varphi_\epsilon</math>
여기서 <math>\ast</math> 합성곱이며, 이것은 매끄러운 함수이다.

=== Approximation of identity ===
어떤 분포 <math>T</math>에 대하여 실수 <math>\epsilon</math> 의 지표를 갖는 다음의 합성곱은 <math>T</math>
: <math>\lim_{\epsilon\to 0}T_\epsilon = \lim_{\epsilon\to 0}T\ast\varphi_\epsilon=T\in D^\prime(\mathbb{R}^n)</math>

=== 합성곱의 지지 ===
어떤 분포 <math>T</math>
: <math>\mathrm{supp}T_\epsilon=\mathrm{supp}(T\ast\varphi_\epsilon)\subset\mathrm{supp}T+\mathrm{supp}\varphi_\epsilon</math>
여기서 <math>\mathrm{supp}</math>은 분포의 의미에서 [[분포 (해석학)|지지]]를 나타내며, <math>+</math> 는 [[민코프스키 덧셈]]을 나타낸다.

== 적용 ==
완화자의 기본적인 적용은 매끄러운 함수에 유효한 특성들이 매끄럽지 않은 경우에도 유효한지 증명하는 것이다:

=== 분포의 결과 ===
일부 [[일반화된 함수]]의 이론에서, 완화자는 [[일반화된 함수|분포의 곱셈]]을 정의하는데 사용된다: 정확하게, <math>S</math>와 <math>T</math>
: <math>\lim_{\epsilon\to 0}S_\epsilon\cdot T=\lim_{\epsilon\to 0}S\cdot T_\epsilon\overset{\mathrm{def}}{=}S\cdot T</math>
은 다양한 [[일반화된 함수]]의 이론에서 그 생산물을 (만약 존재한다면)정의한다.

=== "약=강" 이론 ===
매우 비공식적으로 완화자는 두 다른 종류의 미분연산자의 확장의 특성을 증명하는데 사용된다: 강한 확장과 [[약한 공식화|약한 확장]]. 논문 (Friedrichs 1944)은 이 개념을 꽤 잘 나타낸다: 하지만  이것이 진정으로 무엇을 의미하는지를 서술하기 위해서 많은 기술적 상세기술이 필요하나 이 짧은 설명에서는 정식으로 설명할 수 없다.

=== 매끄러운 절단 함수 ===
[[단위 구]] <math>B_1 = \{x : |x|<1\}</math>의 [[지시 함수|특성 함수]]와 매끄러운 함수 ''<math>\varphi_{1/2}</math>'' ({{EquationNote|4|(3)}}에서 <math>\scriptstyle\epsilon = 1/2</math>)의 합성곱을 통해 다음의 함수를 얻는다.
: <math>
\chi_{B_1,1/2}(x)=\chi_{B_1}\ast\varphi_{1/2}(x)=\int_{\mathbb{R}^n}\!\!\!\chi_{B_1}(x-y)\varphi_{1/2}(y)\mathrm{d}y=\int_{B_{1/2}}\!\!\!
\chi_{B_1}(x-y) \varphi_{1/2}(y)\mathrm{d}y \ \ \ (\because supp(\varphi_{1/2})=B_{1/2})
</math>
이것은 <math>B_{1/2} = \{ x: |x| < 1/2 \}</math><math>B_{3/2}=\{ x: |x| < 3/2 \}</math>. T이것은 <math>|x|</math> ≤ <math>1/2</math>이고 <math>|y|</math> ≤ <math>1/2</math><math> |x-y|</math> ≤ <math>1</math> 따라서 <math>|x|</math> ≤ <math>1/2</math>
: <math>
\int_{B_{1/2}}\!\!\!\chi_{B_1}(x-y) \varphi_{1/2}(y)\mathrm{d}y= \int_{B_{1/2}}\!\!\!
 \varphi_{1/2}(y)\mathrm{d}y=1
</math>.
이 생성이 주어진 [[컴팩트 집합]]의 [[근방]]에서 동일한 매끄러운 함수를 얻기 위해 어떻게 일반화 될 수 있는지, 그리고이 집합까지의 [[거리]]가 주어진 <math>\scriptstyle\epsilon</math>.<ref>A proof of this fact can be found in {{Harv|Hörmander|1990|p=25}}, Theorem 1.4.1.</ref> 이런 함수는 (매끄러운) '''절단 함수'''라고 불린다: 이 함수들은 [[곱셈]]을 통해 주어진 [[일반화된 함수|(일반화된) 함수]]의 [[특이점]]을 제거하는데 쓰인다. 이것은 주어진 [[집합]]에서만 곱해져서 [[일반화된 함수|(일반화된) 함수]]의 값에서 바뀌지 않은 값이 나온다 따라서 이는 [[분포 (해석학)|지지]]를 수정한다: 또한 절단 함수는 [[매끄러운 함수|매끄러운 단위 분할]]의 기본적인 부분이다.

== 같이 보기 ==
* [[Approximate identity]]
* [[비 해석적 매끄러운 함수]]
* [[범프 함수]]
* [[합성곱]]
* [[바이어슈트라스 변환]]
* [[분포 (해석학)]]
* [[커트 오토 프레드릭]]
* [[일반화된 함수]]
* [[세르게이 소볼레프]]

== 각주 ==
{{각주}}

== 참고 자료 ==
* {{인용|last=Friedrichs|first=Kurt Otto|author-link=Kurt Otto Friedrichs|title=The identity of weak and strong extensions of differential operators|journal=[[Transactions of the American Mathematical Society]]|volume=55|issue=1|pages=132–151|date=January 1944|url=http://www.ams.org/journals/tran/1944-055-00/S0002-9947-1944-0009701-0/home.html|doi=10.1090/S0002-9947-1944-0009701-0|jstor=1990143|mr=0009701|zbl=0061.26201}}. The first paper where mollifiers were introduced.
* {{인용|last=Friedrichs|first=Kurt Otto|author-link=Kurt Otto Friedrichs|title=On the differentiability of the solutions of linear elliptic differential equations|journal=[[Communications on Pure and Applied Mathematics]]|volume=VI|issue=3|pages=299–326|year=1953|url=http://www3.interscience.wiley.com/journal/113395283/abstract|doi=10.1002/cpa.3160060301|mr=0058828|zbl=0051.32703|access-date=2017-08-08|archive-date=2013-01-05|archive-url=https://archive.today/20130105122505/http://www3.interscience.wiley.com/journal/113395283/abstract}}. A paper where the [[미분가능한 함수|differentiability]] of [[타원곡선|solutions of elliptic partial differential equations]] is investigated by using mollifiers.
* {{인용|last=Friedrichs|first=Kurt Otto|author-link=Kurt Otto Friedrichs|editor-last=Morawetz|editor-first=Cathleen S.|editor-link=Cathleen Synge Morawetz|title=Selecta|place=Boston-[[Basel]]-[[Stuttgart]]|publisher=[[Birkhäuser Verlag]]|year=1986|series=Contemporary Mathematicians|volume=|pages=427 (Vol. 1); pp. 608 (Vol. 2)|url=https://books.google.com/books?id=l1Z_yHVjor4C&pg=PP1&dq=Kurt+Otto+Friedrichs+selecta|doi=|zbl=0613.01020|isbn=0-8176-3270-0}}. A selection from Friedrichs' works with a biography and commentaries of David Isaacson, Fritz John, Tosio Kato, [[럭스 페테르|Peter Lax]], [[루이스 니런버그|Louis Nirenberg]], Wolfgag Wasow, Harold Weitzner.
* {{인용|last=Giusti|first=Enrico|author-link=Enrico Giusti|title=Minimal surfaces and functions of bounded variations|place=[[Basel]]-[[Boston]]-[[Stuttgart]]|publisher=Birkhäuser Verlag|year=1984|series=Monographs in Mathematics|volume=80|pages=xii+240|url=https://books.google.com/books?id=dNgsmArDoeQC&printsec=frontcover&dq=Minimal+surfaces+and+functions+of+bounded+variations|mr=0775682|zbl=0545.49018|isbn=0-8176-3153-4}}.
* {{인용|last=Hörmander|first=Lars|author-link=Lars Hörmander|title=The analysis of linear partial differential operators I|place=[[Berlin]]-[[Heidelberg]]-[[뉴욕|New York]]|publisher=[[Springer-Verlag]]|year=1990|series=Grundlehren der Mathematischen Wissenschaft|volume=256|edition=2nd|url=|doi=|mr=1065136|zbl=0712.35001|isbn=0-387-52343-X}}.
* {{인용|last=Sobolev|first=Sergei L.|author-link=Sergei Sobolev|title=Sur un théorème d'analyse fonctionnelle|journal=[[Matematicheskii Sbornik|Recueil Mathématique (Matematicheskii Sbornik)]]|volume=4(46)|issue=3|pages=471–497|year=1938|language=러시아어, 프랑스어|url=http://mi.mathnet.ru/eng/msb/v46/i3/p471|zbl=0022.14803}}. The paper where Sergei Sobolev proved his embedding theorem, introducing and using [[적분 변환|integral operators]] very similar to mollifiers, without naming them.

[[분류:함수해석학]]
[[분류:매끄러운 함수]]