완전 유계 공간 문서 원본 보기

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[[해석학 (수학)|해석학]]에서 '''완전 유계 공간'''(完全有界空間, {{llang|en|totally bounded space}}) 또는 '''프리콤팩트 공간'''({{llang|en|precompact space}})은 임의적으로 "작은" 집합들로 구성된 유한 [[덮개 (위상수학)|덮개]]를 갖는 공간이다. 여기서 임의적으로 "작은" 집합의 개념은 [[거리 공간]] 구조 또는 보다 일반적으로 [[균등 공간]] 구조로 정의된다.

== 정의 ==
=== 균등 공간을 통한 정의 ===
[[균등 공간]] <math>(X,\mathcal E)</math>에 대하여 다음 조건들이 서로 [[동치]]이며, 이를 만족시키는 [[균등 공간]]을 '''완전 유계 공간'''이라고 한다.
* 임의의 [[측근 (수학)|측근]] <math>E\in\mathcal E</math>에 대하여, <math>X_1^2,X_2^2,\dots,X_n^2\subseteq E</math>인 유한 <math>X</math>-[[덮개 (위상수학)|덮개]] <math>X_1,X_2,\dots,X_n\subseteq X</math>, <math>\textstyle\bigcup_{i=1}^nX_i=X</math>가 존재한다.
* <math>(X,\mathcal E)</math>의 [[완비 균등 공간|완비화]]는 [[콤팩트 공간]]이다.
* <math>X</math> 위의 모든 [[필터 (수학)|필터]]는 [[코시 필터|코시 부분 필터]]를 갖는다.
* <math>X</math> 위의 모든 [[극대 필터]]는 [[코시 필터]]이다.<ref>{{저널 인용|제목=Sur les espaces uniformes précompacts|성=Newns|이름=W. F.|저널=Portugaliae mathematica|권=13|호=1|쪽=33–34|날짜=1954|mr=0066626|zbl=0057.38902|url=http://purl.pt/2240/2/|언어=fr|확인날짜=2016-06-13|보존url=https://web.archive.org/web/20160806090935/http://purl.pt/2240/2/|보존날짜=2016-08-06|url-status=dead}}</ref>
(이 조건들이 동치임을 보이는 것은 [[선택 공리]]를 필요로 한다.)

=== 근접 공간을 통한 정의 ===
{{구별2|접근 공간|문서 유형=단락}}
[[집합]] <math>X</math> 위의 '''근접 구조'''({{llang|en|proximity structure, p-structure}})는 다음 조건들을 만족시키는, [[멱집합]] 위의 [[이항 관계]] <math>\delta\subseteq\mathcal P(X)\times\mathcal P(X)</math>이다.
* <math>\forall A\subseteq X\colon\varnothing\nsim_\delta A</math>
* <math>\forall x\in X\colon\{x\}\sim_\delta\{x\}</math>
* <math>\forall A,B\subseteq X\colon A\sim_\delta B\implies B\sim_\delta A</math>
* <math>\forall A,B,C\subseteq X\colon A\sim_\delta B\subseteq C\implies A\sim_\delta C</math>
* <math>\forall A,B,C\subseteq X\colon A\sim_\delta(B\cup C)\implies A\sim_\delta B\lor A\sim_\delta C</math>
* <math>\forall A,B\subseteq X\colon A\nsim_\delta X\setminus B\implies(\exists C\subseteq X\colon A\nsim_\delta X\setminus C\land C\nsim_\delta X\setminus B)</math>
'''근접 공간'''({{llang|en|proximity space, p-space}})은 근접 구조를 갖춘 [[집합]]이다.

두 근접 공간 <math>(X,\delta_X)</math>와 <math>(Y,\delta_Y)</math> 사이의 '''근접 함수'''({{llang|en|proximity map, p-map}})는 다음 조건을 만족시키는 [[함수]] <math>f\colon X\to Y</math>이다.
* 임의의 <math>A,B\subseteq X</math>에 대하여, 만약 <math>A\sim_{\delta_X}B</math>라면, <math>f(A)\sim_{\delta_Y}f(B)</math>이다.

다음과 같은 3개의 [[범주 (수학)|범주]]를 생각하자.
* <math>\operatorname{Top}</math>: [[위상 공간 (수학)|위상 공간]]과 [[연속 함수]]의 범주
* <math>\operatorname{Prox}</math>: 근접 공간과 근접 함수의 범주. 특히, 근접 함수의 [[함수의 합성|합성]]은 근접 함수이다.
* <math>\operatorname{Unif}</math>: [[균등 공간]]과 [[균등 연속 함수]]의 범주

근접 공간 <math>(X,\delta)</math> 위에 다음과 같은 [[폐포 (위상수학)|폐포]] 또는 [[근방 필터]]를 정의하여 [[위상 공간 (수학)|위상 공간]]으로 만들 수 있다.
:<math>\operatorname{cl}A=\{x\in X\colon\{x\}\sim_\delta A\}</math>
:<math>\mathcal N_x=\{N\subseteq X\colon\{x\}\nsim_\delta X\setminus N\}</math>
이 경우, 모든 근접 함수는 [[연속 함수]]이다. 즉, 이는 [[충실한 함자]]
:<math>F\colon\operatorname{Prox}\to\operatorname{Top}</math>
를 이룬다.

임의의 [[균등 공간]] <math>(X,\mathcal E)</math>가 주어졌을 때, <math>\mathcal P(X)</math> 위에 다음과 같은 [[이항 관계]] <math>\delta</math>를 정의하자.
:<math>A\sim_\delta B\iff\forall E\in\mathcal E\exists a\in A\exists b\in B\colon a\sim_Eb</math>
그렇다면, <math>(X,\delta)</math>는 근접 공간을 이루며, 그 근접 위상은 [[균등 위상]]과 일치한다. 또한, 모든 [[균등 연속 함수]]는 근접 함수이다. 즉, 이는 [[충실한 함자]]
:<math>G\colon\operatorname{Unif}\to\operatorname{Prox}</math>
를 정의하며, <math>GF</math>는 균등 공간의 범주와 위상 공간의 범주 사이의 [[충실한 함자]]와 일치한다. 근접 공간 또는 균등 공간의 [[곱 (범주론)|범주론적 곱]] 위의 위상은 [[곱위상]]과 일치하지만, 균등 공간의 [[곱 (범주론)|곱]] 위의 접근 구조는 일반적으로 곱 근접 구조가 아니다. 즉, <math>F</math>와 <math>GF</math>는 [[곱 (범주론)|곱]]을 보존하지만, <math>G</math>는 아니다. 특히, <math>G</math>는 [[왼쪽 수반 함자]]를 갖지 않는다.

반대로, 임의의 근접 공간 <math>(X,\delta)</math>에 대하여, 이 근접 구조를 유도하는 균등 구조가 존재한다. 즉, 근접 공간은 [[균등 공간]]들의 근접 동형에 따른 [[동치류]]로 여길 수 있다. 또한 임의의 근접 공간 <math>(X,\delta)</math>에 대하여, 이 근접 구조를 유도하는 균등 구조 가운데 가장 [[위상의 비교|엉성한]] 균등 구조가 존재한다. 구체적으로, 이는 다음과 같은 기본계에 의하여 정의된다.
:<math>\mathcal B=\left\{\bigcup_{i=1}^nD_i\times D_i\colon n\in\mathbb N,\;\C_1,\ldots,C_n,D_1,\ldots,D_n\subseteq X,\;X=\bigcup_{i=1}^nC_i,\;C_i\nsim_\delta X\setminus D_i\right\}</math>
균등 공간에서 위와 같은 꼴의 균등 공간으로 가는 모든 접근 함수는 [[균등 연속 함수]]이다. 따라서, 이는 다음과 같은 [[충실충만한 함자|충실충만한]] [[매장 함자]]를 정의하며, 또한 이는 <math>G</math>의 [[오른쪽 수반 함자]]를 이룬다.
:<math>H\colon\operatorname{Prox}\to\operatorname{Unif}</math>
:<math>G\dashv H</math>

이에 따라, <math>\operatorname{Prox}</math>는 <math>\operatorname{Unif}</math>의 어떤 [[충만한 부분 범주]] <math>\operatorname{TBUnif}</math>와 [[동형]]이다. 또한, <math>\operatorname{TBUnif}</math>는 <math>\operatorname{Unif}</math>의 [[반사 부분 범주]]를 이루며, 또한 [[전반사 부분 범주]]이자 [[단반사 부분 범주]]이다. <math>\operatorname{TBUnif}</math>의 대상을 '''완전 유계 공간'''이라고 한다. 즉, [[균등 공간]] <math>(X,\mathcal E)</math>에 대하여, 만약 <math>\mathcal E</math>가 그와 같은 접근 구조를 유도하는 균등 구조들 가운데 가장 [[위상의 비교|엉성]]하다면, <math>(X,\mathcal E)</math>를 '''완전 유계 공간'''이라고 한다. 이 정의는 균등 공간을 통한 정의와 [[동치]]이다.

== 성질 ==
완전 유계성은 [[완비 균등 공간|완비화]]에 대하여 불변이다. 즉, 임의의 [[균등 공간]] <math>X</math>에 대하여 다음 두 조건이 서로 [[동치]]이다.
* <math>X</math>는 완전 유계 공간이다.
* <math>X</math>의 [[완비 균등 공간|완비화]] <math>\bar X</math>는 완전 유계 공간이다.

[[균등 공간]]에 대한 '''[[하이네-보렐 정리]]'''에 따르면, 임의의 [[균등 공간]]에 대하여 다음 두 조건이 서로 [[동치]]이다.<ref>{{저널 인용|제목=A totally bounded, complete uniform space is compact|이름=D. L.|성=Frank|doi=10.1090/S0002-9939-1965-0175088-5|mr=0175088|저널=Proceedings of the American Mathematical Society|권=16|날짜=1965|쪽=514–514|issn=0002-9939|언어=en}}</ref>
* [[콤팩트 공간]]이다.
* [[완비 균등 공간]]이자 완전 유계 공간이다.

=== 완전 유계 거리 공간 ===
[[거리 공간]]은 자연스럽게 [[균등 공간]] 구조를 갖는다. [[거리 공간]] <math>(X,d)</math>에 대하여, 다음 두 조건이 서로 [[동치]]이다.<ref name="Munkres">{{서적 인용
|url=http://www.pearsonhighered.com/bookseller/product/Topology/9780131816299.page
|이름=James R.
|성=Munkres
|저자링크=제임스 멍크레스
|제목=Topology
|언어=en
|판=2
|출판사=Prentice Hall
|연도=2000
|isbn=978-0-13-181629-9
|zbl=0951.54001
|mr=0464128
}}</ref>{{rp|275}}
* 완전 유계 공간이다. 즉, 임의의 양의 [[실수]] <math>\epsilon>0</math>에 대하여, 반지름이 <math>\epsilon</math>인 [[열린 공]]들로 구성된 유한 <math>X</math>-덮개가 존재한다.
* <math>X</math>의 모든 [[점렬]]은 [[코시 열|코시 부분 점렬]]을 갖는다.
즉, (코시) [[필터 (수학)|필터]] 대신 (코시) [[점렬]]을 사용할 수 있다.

모든 완전 유계 [[거리 공간]]은 [[유계 공간]]이다. 그러나 그 역은 성립하지 않는다.

== 예 ==
[[유클리드 공간]]의 [[부분 집합]]에 대하여, 다음 두 조건이 서로 [[동치]]이다.
* [[유계 공간]]이다.
* 완전 유계 공간이다.

=== 완전 유계 공간이 아닌 유계 공간 ===
임의의 [[바나흐 공간]]의 단위 [[초구]]는 [[유계 공간]]이다. 그러나 임의의 [[바나흐 공간]]에 대하여 다음 두 조건이 서로 [[동치]]이다.
* 단위 [[초구]]가 완전 유계 공간이다.
* 유한 차원 [[바나흐 공간]]이다.

모든 (유한 또는 무한) [[이산 거리 공간]]은 [[유계 공간]]이다. 그러나 임의의 [[이산 거리 공간]]에 대하여 다음 두 조건이 서로 [[동치]]이다.
* 완전 유계 공간이다.
* [[유한 집합]]이다.

== 같이 보기 ==
* [[콤팩트 공간]]
* [[국소 콤팩트 공간]]
* [[직교 콤팩트 공간]]
* [[파라콤팩트 공간]]
* [[상대 콤팩트 집합]]
== 참고 문헌 ==
{{각주}}

== 외부 링크 ==
* {{eom|title=Totally-bounded space}}
* {{nlab|id=totally bounded space|title=Totally bounded space}}
* {{nlab|id=precompact space|title=Precompact space}}
* {{웹 인용|url=https://proofwiki.org/wiki/Definition:Totally_Bounded|제목=Definition: totally bounded|웹사이트=ProofWiki|언어=en|확인날짜=2016-06-13|보존url=https://web.archive.org/web/20120207000722/http://www.proofwiki.org/wiki/Definition:Totally_Bounded|보존날짜=2012-02-07|url-status=dead}}
* {{웹 인용|url=https://proofwiki.org/wiki/Equivalence_of_Definitions_of_Total_Boundedness|제목=Equivalence of definitions of total boundedness|웹사이트=ProofWiki|언어=en|확인날짜=2016-06-13|보존url=https://web.archive.org/web/20110607085153/http://www.proofwiki.org/wiki/Equivalence_of_Definitions_of_Total_Boundedness|보존날짜=2011-06-07|url-status=dead}}
* {{웹 인용|url=https://proofwiki.org/wiki/Totally_Bounded_Metric_Space_is_Bounded|제목=Totally bounded metric space is bounded|웹사이트=ProofWiki|언어=en|확인날짜=2016-06-13|보존url=https://web.archive.org/web/20110607085441/http://www.proofwiki.org/wiki/Totally_Bounded_Metric_Space_is_Bounded|보존날짜=2011-06-07|url-status=dead}}
* {{웹 인용|url=http://topospaces.subwiki.org/wiki/Totally_bounded_metric_space|제목=Totally bounded metric space|웹사이트=Topospaces|언어=en}}

[[분류:계량기하학]]