완전수 문서 원본 보기

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[[파일:Perfect number Cuisenaire rods 6.png|섬네일]]
[[수론]]에서 '''완전수'''(完全數, {{llang|en|perfect number}})는 [[진약수의 합]](자기 자신을 제외한 양의 [[약수]]를 모두 더한 값)이 자기 자신과 같은 [[자연수]]다. 또는 모든 양의 약수를 더했을 때 자기 자신의 2배가 되는 자연수라고도 한다.

처음 5개의 완전수는 [[6]], [[28]], [[496]], [[8128]], 33550336<small>(3355만 336)</small>이다. {{OEIS|A000396}}
    6 = 1 + 2 + 3
   28 = 1 + 2 + 4 + 7 + 14
  496 = 1 + 2 + 4 + 8 + 16 + 31 + 62 + 124 + 248
 8128 = 1 + 2 + 4 + 8 + 16 + 32 + 64 + 127 + 254 + 508 + 1016 + 2032 + 4064

== 짝수 완전수 ==
고대 그리스인들은 이들 네 개의 완전수밖에는 알지 못했다. [[유클리드]]는 이들을 <math>2^{n-1} \cdot (2^n - 1)</math> 에 알맞은 수를 대입해 구할 수 있다는 것을 발견했다.
:''n'' = 1 일 때: &nbsp; 2<sup>0</sup> · (2<sup>1</sup> − 1) = 0
:''n'' = 2 일 때: &nbsp; 2<sup>1</sup> · (2<sup>2</sup> − 1) = 6
:''n'' = 3 일 때: &nbsp; 2<sup>2</sup> · (2<sup>3</sup> − 1) = 28
:''n'' = 5 일 때: &nbsp; 2<sup>4</sup> · (2<sup>5</sup> − 1) = 496
:''n'' = 7 일 때: &nbsp; 2<sup>6</sup> · (2<sup>7</sup> − 1) = 8128

이때 <math>n</math>은 언제나 [[소수 (수론)|소수]]이지만 <math>n</math>이 소수라고 2<sup>''n''</sup>&nbsp;−&nbsp;1도 꼭 소수가 되지는 않는다. 2<sup>''n''</sup>&nbsp;−&nbsp;1이 소수일 때는 이를 [[메르센 소수]]라고 부른다. [[마랭 메르센]]은 [[17세기]]에 [[정수론]]과 완전수를 연구한 수도승이었다.
:<math>2^{n-1} \cdot (2^n - 1) = \frac {M_n (M_n + 1)} 2 </math> 즉, 짝수 완전수와 메르센 소수 사이에는 일대일 대응이 있다는 것이 밝혀졌다.

모든 짝수 완전수가 <math>2^{n-1} \cdot (2^n - 1)</math> 꼴이므로, 모든 짝수 완전수는 연속된 자연수의 합으로 표현할 수 있다. 그러나 [[메르센 수]]가 소수가 아닌 경우에는 해당 숫자는 [[과잉수]]가 된다. 그와 동시에 모두 [[반완전수]]이기도 하다. 그러한 예는 120, 2016, 32640, 130816 등이 있다. 15, 63, 255, 511 등은 모두 메르센 수들 중에서 [[소수 (수론)|소수]]가 아닌 [[합성수]]이기 때문이다.

    0 = 0
    6 = 1 + 2 + 3
   28 = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7
  496 = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + . . . + 30 + 31

메르센 소수의 수가 유한한지 무한한지는 알려져 있지 않다. 그러므로 짝수 완전수의 수가 무한한지도 알려져 있지 않다.

== 홀수 완전수 ==
{{미해결|수학|홀수 완전수는 존재하는가?}}

만약 홀수 완전수가 존재한다면 그 수는 다음 조건을 만족한다.
* 10<sup>1500</sup>보다 크다.<ref name="Ochem and Rao (2012)">{{저널 인용| last1=Ochem | first1=Pascal | last2=Rao | first2=Michaël | title=Odd perfect numbers are greater than 10<sup>1500</sup> | journal=[[Mathematics of Computation]] | year=2012 | volume=81 | issue=279 | doi=10.1090/S0025-5718-2012-02563-4 | url=http://www.lirmm.fr/~ochem/opn/opn.pdf | pages=1869–1877 | zbl=1263.11005 | issn=0025-5718 | doi-access=free }}</ref>
* 105의 배수가 아니며<ref name="Kühnel U">{{저널 인용|last=Kühnel|first=Ullrich|title=Verschärfung der notwendigen Bedingungen für die Existenz von ungeraden vollkommenen Zahlen|journal=Mathematische Zeitschrift|year=1950|volume=52|pages=202–211|doi=10.1007/BF02230691|s2cid=120754476|language=de}}</ref> ''N'' ≡ 1 (mod 12) 또는 ''N'' ≡ 81 (mod 324) 또는 ''N'' ≡ 117 (mod 468)꼴이다.<ref name="Roberts T (2008)">{{저널 인용|last=Roberts|first=T|title=On the Form of an Odd Perfect Number|journal=Australian Mathematical Gazette|year=2008|volume=35|issue=4|pages=244|url=http://www.austms.org.au/Publ/Gazette/2008/Sep08/CommsRoberts.pdf}}</ref>
* 가장 큰 소인수는 10<sup>8</sup>보다 크고<ref name="Goto and Ohno (2008)">{{저널 인용|last=Goto|first=T|author2=Ohno, Y|title=Odd perfect numbers have a prime factor exceeding 10<sup>8</sup>|journal=Mathematics of Computation|year=2008|volume=77|issue=263|pages=1859–1868|doi=10.1090/S0025-5718-08-02050-9|url=http://www.ma.noda.tus.ac.jp/u/tg/perfect/perfect.pdf|access-date=30 March 2011|bibcode=2008MaCom..77.1859G|doi-access=free|archive-date=2011-08-07|archive-url=https://web.archive.org/web/20110807101906/http://www.ma.noda.tus.ac.jp/u/tg/perfect/perfect.pdf|url-status=}}</ref> <math>\sqrt[3]{3N}</math>보다 작다.<ref name="AK 2012">{{저널 인용|last1=Konyagin |first1=Sergei |last2=Acquaah |first2=Peter |title=On Prime Factors of Odd Perfect Numbers |journal=International Journal of Number Theory |date=2012 |volume=8 |issue=6 |pages=1537–1540|doi=10.1142/S1793042112500935 }}</ref>
* 두 번째로 가장 큰 소인수는 10000보다 크고,<ref name="Ianucci DE (1999)">{{저널 인용|last=Iannucci|first=DE|title=The second largest prime divisor of an odd perfect number exceeds ten thousand|journal=Mathematics of Computation|year=1999|volume=68|issue=228|pages=1749–1760|url=https://www.ams.org/journals/mcom/1999-68-228/S0025-5718-99-01126-6/S0025-5718-99-01126-6.pdf|access-date=30 March 2011|doi=10.1090/S0025-5718-99-01126-6|bibcode=1999MaCom..68.1749I|doi-access=free}}</ref> <math>\sqrt[5]{2N}</math>보다 작다.<ref name="Zelinsky 2019">{{저널 인용|last1=Zelinsky |first1=Joshua |title=Upper bounds on the second largest prime factor of an odd perfect number |journal=International Journal of Number Theory |date=July 2019 |volume=15 |issue=6 |pages=1183–1189 |doi=10.1142/S1793042119500659 |arxiv=1810.11734 |s2cid=62885986 }}.</ref>
* 세 번째로 가장 큰 소인수는 100보다 크고,<ref name="Ianucci DE (2000)">{{저널 인용|last=Iannucci|first=DE|title=The third largest prime divisor of an odd perfect number exceeds one hundred|journal=Mathematics of Computation|year=2000|volume=69|issue=230|pages=867–879|url=https://www.ams.org/journals/mcom/2000-69-230/S0025-5718-99-01127-8/S0025-5718-99-01127-8.pdf|access-date=30 March 2011|doi=10.1090/S0025-5718-99-01127-8|bibcode=2000MaCom..69..867I|doi-access=free}}</ref> <math>\sqrt[6]{2N}</math>보다 작다.<ref name="Zelinsky 2021a">{{저널 인용|first1=Sean|last1=Bibby|first2=Pieter|last2=Vyncke|last3=Zelinsky |first3=Joshua |title=On the Third Largest Prime Divisor of an Odd Perfect Number |journal=Integers |date=23 November 2021 |volume=21 |url=http://math.colgate.edu/~integers/v115/v115.pdf |access-date=6 December 2021}}</ref>
* 소인수는 중복을 포함하여 적어도 101개이고 서로 다른 소인수는 10개 이상이다.<ref name="Ochem and Rao (2012)"/><ref name="Nielsen Pace P. (2015)">{{저널 인용|last=Nielsen|first=Pace P.|title=Odd perfect numbers, Diophantine equations, and upper bounds|journal=Mathematics of Computation|year=2015|volume=84|issue=295|pages=2549–2567|url=https://math.byu.edu/~pace/BestBound_web.pdf|access-date=13 August 2015|doi=10.1090/S0025-5718-2015-02941-X|doi-access=free|archive-date=2015-07-08|archive-url=https://web.archive.org/web/20150708185554/https://math.byu.edu/~pace/BestBound_web.pdf|url-status=}}</ref> 만약 3이 인수가 아니면, 서로 다른 소인수는 적어도 12개이다.<ref name="Nielsen Pace P. (2007)">{{저널 인용|last=Nielsen|first=Pace P.|title=Odd perfect numbers have at least nine distinct prime factors|journal=Mathematics of Computation|year=2007|volume=76|pages=2109–2126|url=https://math.byu.edu/~pace/NotEight_web.pdf|access-date=30 March 2011|doi=10.1090/S0025-5718-07-01990-4|issue=260|arxiv=math/0602485|bibcode=2007MaCom..76.2109N|s2cid=2767519|archive-date=2021-11-03|archive-url=https://web.archive.org/web/20211103100630/https://math.byu.edu/~pace/NotEight_web.pdf|url-status=}}</ref>
* ''N''은 <math>N=q^{\alpha} p_1^{2e_1} \cdots p_k^{2e_k}</math>의 형태이며 다음을 만족시킨다.
:* <math>q,p_1,\cdots ,p_k</math>는 서로 다른 소수이다. (오일러)
:* <math>q\equiv \alpha\equiv 1\pmod{4}</math> (오일러)
:* ''N''의 가장 작은 소인수는 <math>\frac{k-1}{2}</math> 이하이다.<ref name="Zelinsky 2021">{{저널 인용|last1=Zelinsky |first1=Joshua |title=On the Total Number of Prime Factors of an Odd Perfect Number |journal=Integers |date=3 August 2021 |volume=21 |url=http://math.colgate.edu/~integers/v76/v76.pdf |access-date=7 August 2021}}</ref>
:* ''N''을 나누는, 10<sup>62</sup>보다 큰 소수의 거듭제곱수가 적어도 하나 있다.<ref name="Ochem and Rao (2012)"/>
:* <math> N < 2^{(4^{k+1}-2^{k+1})}</math><ref name="Chen and Tang">{{저널 인용|last1=Chen |first1=Yong-Gao |last2=Tang |first2=Cui-E |title=Improved upper bounds for odd multiperfect numbers. |journal=Bulletin of the Australian Mathematical Society |date=2014 |volume=89 |issue=3 |pages=353–359|doi=10.1017/S0004972713000488 |doi-access=free }}</ref><ref name="Nielsen (2003)">{{저널 인용|last=Nielsen|first=Pace P.|title=An upper bound for odd perfect numbers|journal=Integers|year=2003|volume=3|pages=A14–A22|url=http://www.westga.edu/~integers/vol3.html|access-date=23 March 2021}}</ref>
:* <math>\alpha + 2e_1 + 2e_2 + 2e_3 + \cdots + 2e_k \geq \frac{99k-224}{37} </math>.<ref name="Zelinsky 2021"/><ref name="Ochem and Rao (2014)">{{저널 인용| last1=Ochem | first1=Pascal | last2=Rao | first2=Michaël | title=On the number of prime factors of an odd perfect number.  | journal=[[Mathematics of Computation]] | year=2014 | volume=83 | issue=289 | pages=2435–2439  | doi=10.1090/S0025-5718-2013-02776-7 | doi-access=free }}</ref><ref name="ClayotonHansen">{{저널 인용|last1=Graeme Clayton, Cody Hansen |title=On inequalities involving counts of the prime factors of an odd perfect number |journal=Integers |date=2023 |volume=23 |arxiv=2303.11974 |url=http://math.colgate.edu/~integers/x79/x79.pdf |access-date=29 November 2023}}</ref>
:* <math> qp_1p_2p_3 \cdots p_k < 2N^{\frac{17}{26}}</math>.<ref name="LucaPomerance">{{저널 인용|last1=Pomerance |first1=Carl |last2=Luca |first2=Florian |title=On the radical of a perfect number |journal=New York Journal of Mathematics |date=2010 |volume=16 |pages=23–30 |url=http://nyjm.albany.edu/j/2010/16-3.html |access-date=7 December 2018}}</ref>

더 나아가서 지수 ''e''<sub>1</sub>,&nbsp;...,&nbsp;''e''<sub>''k''</sub>에 대해서는 다음과 같은 결과가 알려져 있다.
* 모든 ''e''<sub>''i''</sub>가 ''e''<sub>''i''</sub>&nbsp;≡&nbsp;1 ([[Modular arithmetic|mod]] 3)인 것은 아니다.<ref name="McDaniel (1970)">{{저널 인용| last1=McDaniel | first1=Wayne L. | title=The non-existence of odd perfect numbers of a certain form | journal=Archiv der Mathematik | volume=21 | year=1970 | issue=1 | pages=52–53 | doi=10.1007/BF01220877 | mr=0258723 | s2cid=121251041 | issn=1420-8938 }}</ref>
* (''e''<sub>1</sub>,&nbsp;...,&nbsp;''e''<sub>''k''</sub>) &ne; (1, ..., 1, 3),<ref name="Kanold (1950)">{{저널 인용| last1=Kanold | author-link=:de:Hans-Joachim Kanold | first1=Hans-Joachim | title=Satze uber Kreisteilungspolynome und ihre Anwendungen auf einige zahlentheoretisehe Probleme. II | journal=[[Journal für die reine und angewandte Mathematik]] | volume=188  | year=1950 | issue=1 | pages=129–146 | doi=10.1515/crll.1950.188.129 | mr=0044579 | s2cid=122452828 | issn=1435-5345 }}</ref> (1, ..., 1, 5), (1, ..., 1, 6).<ref name="Cohen and Williams (1985)">{{저널 인용| last1=Cohen | first1=G. L. | last2=Williams | first2=R. J. | title=Extensions of some results concerning odd perfect numbers | journal=[[Fibonacci Quarterly]] | volume=23 | year=1985 | issue=1 | pages=70–76 | url=https://www.fq.math.ca/Scanned/23-1/cohen.pdf | mr=0786364 | issn=0015-0517 }}</ref>
* {{math|1= ''e''<sub>1</sub> = ... = ''e''<sub>''k''</sub> = ''e''}}인 경우,
** ''e''는 3,<ref name="Hagis and McDaniel (1972)">{{저널 인용| last1=Hagis | first1=Peter Jr. | last2=McDaniel | first2=Wayne L. | title=A new result concerning the structure of odd perfect numbers | journal=Proceedings of the American Mathematical Society | volume=32 | year=1972 | issue=1 | pages=13–15 | doi=10.1090/S0002-9939-1972-0292740-5 | mr = 0292740 | issn=1088-6826 | doi-access=free }}</ref> 5, 6, 8, 11, 14, 18,<ref name="Cohen and Williams (1985)" /> 24<ref name="McDaniel and Hagis (1975)">{{저널 인용| last1=McDaniel | first1=Wayne L. | last2=Hagis | first2=Peter Jr. | title=Some results concerning the non-existence of odd perfect numbers of the form <math>p^{\alpha} M^{2\beta}</math> | journal=[[Fibonacci Quarterly]] | volume=13 | year=1975 | issue=1 | pages=25–28 | url=https://www.fq.math.ca/Scanned/13-1/mcdaniel.pdf | mr=0354538 | issn=0015-0517 }}</ref>가 아니다.
** <math> k\leq 2e^2+8e+2</math>, <math> N<2^{4^{2e^2 + 8e+3}}</math>.<ref name="Yamada (2019)">{{저널 인용| last1=Yamada | first1=Tomohiro | title=A new upper bound for odd perfect numbers of a special form | journal=Colloquium Mathematicum | volume=156 | year=2019 | issue=1 | pages=15–21 | doi=10.4064/cm7339-3-2018 | issn=1730-6302 | arxiv=1706.09341 | s2cid=119175632 }}</ref>

== 같이 보기 ==
* [[초완전수]]
* [[반완전수]]
* [[준완전수]]
* [[부족수]]
* [[과잉수]]

== 각주 ==
{{각주}}

{{전거 통제}}

[[분류:완전수| ]]
[[분류:정수열]]
[[분류:수론의 미해결 문제]]