완비 측도 공간 문서 원본 보기

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[[측도론]]에서 '''완비 측도 공간'''(完備測度, {{llang|en|complete measure}})는 측도가 0인 [[가측 집합]]의 모든 [[부분 집합]]이 [[가측 집합]]인 [[측도 공간]]이다.

== 정의 ==
[[측도 공간]] <math>(X,\Sigma,\mu)</math>이 다음 조건을 만족시킨다면, '''완비 측도 공간'''이라고 한다.
* 모든 [[영집합]]은 [[가측 집합]]이다. 즉, 만약 <math>T\subset S\in\Sigma</math>에 대하여 <math>\mu(S)=0</math>이라면 <math>T\in \Sigma</math>이다.
이 경우, 영집합의 부분 집합은 측도의 공리에 따라서 항상 영집합이 된다.

=== 측도의 완비화 ===
완비하지 않은 [[측도 공간]] <math>(X,\Sigma,\mu)</math>에 대하여, 이를 완비 측도 공간 <math>(X,\Sigma_0,\mu_0)</math>에 대응시키는 표준적인 연산이 존재한다. 이를 측도 공간의 '''완비화'''({{llang|en|completion}})라고 하며, 다음과 같다.
* <math>\Sigma_0</math>은 <math>\Sigma</math>와 <math>\{T\subset X|\exists S\supset T\colon \mu(S)=0\}</math>를 포함하는 가장 작은 [[시그마 대수]]이다.
* <math>T\in\Sigma_0</math>에 대하여, <math>\mu_0</math>은 다음과 같다.
::<math>\mu_0(T)=\inf_{T\subset S\in\Sigma}\mu(S)\in[0,\infty]</math>

== 예 ==
유클리드 공간 <math>\mathbb R^n</math> 위의 [[보렐 측도]] <math>(\mathbb R^n,\mathcal B(\mathbb R^n),\mu_{\mathcal B})</math>는 완비 측도가 아니다. 이 측도의 완비화는 [[르베그 측도]] <math>(\mathbb R^n,\mathcal L(\mathbb R^n),\mu_{\mathcal L})</math>이다.

== 외부 링크 ==
* {{eom|title=Complete measure}}
* {{웹 인용|url=https://proofwiki.org/wiki/Definition:Complete_Measure_Space|제목=Definition: complete measure space|웹사이트=ProofWiki|언어=en|확인날짜=2016-08-28|보존url=https://web.archive.org/web/20140201133345/http://www.proofwiki.org/wiki/Definition:Complete_Measure_Space|보존날짜=2014-02-01|url-status=dead}}
* {{웹 인용|url=https://proofwiki.org/wiki/Definition:Completion_(Measure_Space)|제목=Definition: completion (measure space)|웹사이트=ProofWiki|언어=en|확인날짜=2016-08-28|보존url=https://web.archive.org/web/20140201133351/http://www.proofwiki.org/wiki/Definition:Completion_(Measure_Space)|보존날짜=2014-02-01|url-status=dead}}
* {{웹 인용|url=https://proofwiki.org/wiki/Completion_Theorem_(Measure_Spaces)|제목=Completion theorem (measure spaces)|웹사이트=ProofWiki|언어=en|확인날짜=2016-08-28|보존url=https://web.archive.org/web/20170709161323/https://proofwiki.org/wiki/Completion_Theorem_(Measure_Spaces)|보존날짜=2017-07-09|url-status=dead}}

{{전거 통제}}

[[분류:측도론]]