완비 불 대수 문서 원본 보기

{{위키데이터 속성 추적}}
{{대수 구조|expanded=격자}}
[[순서론]]에서 '''완비 불 대수'''(完備Boole代數, {{llang|en|complete Boolean algebra}})는 [[완비 격자]]인 [[불 대수]]이다.

== 정의 ==
=== 순서론적 정의 ===
'''완비 불 대수'''는 [[완비 격자]]인 [[불 대수]]이다. 두 완비 불 대수 사이의 '''완비 불 대수 준동형'''은 완비 격자 준동형이자 불 대수 준동형인 [[함수]]이다.

마찬가지로, 임의의 [[기수 (수학)|기수]] <math>\kappa</math>에 대하여, '''<math>\kappa</math>-완비 불 대수'''는 크기 <math>\kappa</math> 미만의 모든 부분 집합이 [[상한]]과 [[하한]]을 갖는 [[불 대수]]이며, '''<math>\kappa</math>-완비 불 대수 준동형'''은 크기 <math>\kappa</math> 미만의 [[상한]]과 [[하한]]을 보존하는 불 대수 준동형이다. <math>\aleph_0</math>-완비 불 대수는 [[불 대수]]와 같은 개념이며, <math>\aleph_1</math>-완비 불 대수는 '''[[시그마 대수]]'''라고 한다.

=== 위상수학적 정의 ===
[[불 대수]]와 불 대수 준동형의 범주는 [[스톤 공간]]과 [[연속 함수]]의 범주의 [[반대 범주]]이다. 이 경우, 불 대수 <math>B</math>에 대응하는 [[스톤 공간]] <math>\operatorname{Spec}(B)</math>이 주어졌을 때, 만약 다음 조건이 성립한다면 <math>B</math>를 '''완비 불 대수'''라고 한다.
* 임의의 [[열린집합]] <math>U\subseteq\operatorname{Spec}(B)</math>의 [[폐포 (위상수학)|폐포]]는 [[열린집합]]이다.

== 성질 ==
=== 함의 관계 ===
다음과 같은 함의 관계가 성립한다.
:{| style="text-align: center"
|| || || || || [[완비 격자]] || ⇐ || [[완비 헤이팅 대수]] ||  ⇐ || 완비 불 대수
|-
|| || || || || || || || || ⇓
|-
|| || || || || ⇓ || || ⇓ || || [[시그마 대수]]
|-
|| || || || || || || || || ⇓
|-
| [[원순서 집합]] || ⇐ || [[부분 순서 집합]] || ⇐ || [[유계 격자]] || ⇐ || [[헤이팅 대수]] || ⇐ || [[불 대수]]
|}

=== 기초적 성질 ===
임의의 완비 불 대수 <math>B</math>의 원소 <math>b\in B</math> 및 부분 집합 <math>A\subseteq B</math>에 대하여, 다음이 성립한다.
* (무한 [[분배 법칙]]) <math>\textstyle b\land\bigvee A=\bigvee_{a\in A}(b\land a)</math>
* (무한 [[분배 법칙]]) <math>\textstyle b\lor\bigwedge A=\bigwedge_{a\in A}(b\lor a)</math>
* (무한 [[드 모르간 법칙]]) <math>\textstyle\lnot\bigvee A=\bigwedge_{a\in A}(\lnot a)</math>
* (무한 [[드 모르간 법칙]]) <math>\textstyle\lnot\bigwedge A=\bigvee_{a\in A}(\lnot a)</math>

=== 크기 ===
[[기수 (수학)|기수]] <math>\kappa</math>에 대하여 다음 세 조건이 서로 [[동치]]이다.<ref>{{저널 인용|제목=A note on complete Boolean algebras|이름=R. S.|성=Pierce|doi=10.1090/S0002-9939-1958-0102487-6 |저널=Proceedings of the American Mathematical Society|권=9|날짜=1958|쪽=892–896|언어=en}}</ref><ref>{{저널 인용|url=http://msp.org/pjm/1972/40-3/pjm-v40-n3-p03-p.pdf|제목=Cardinality of 𝔨-complete Boolean algebras|날짜=1972|이름=W. W.|성=Comfort|이름2=Anthony W.|성2=Hager|저널=Pacific Journal of Mathematics|mr=0307997|zbl=0232.06008|url=https://projecteuclid.org/euclid.pjm/1102968553|권=40|호=3|쪽=541–545|언어=en}}</ref><ref>{{저널 인용|이름=J. Donald|성=Monk|이름2=Paul R.|성2=Sparks|제목=Counting Boolean algebras|저널=Notices of the American Mathematical Society|권=18|날짜=1971|쪽=551–551|언어=en}}</ref>
* <math>|B|=\kappa</math>인 완비 불 대수 <math>B</math>가 존재한다.
* <math>|B|=\kappa</math>인 [[시그마 대수]](<math>\aleph_1</math>-완비 불 대수) <math>B</math>가 존재한다.
* 만약 <math>\kappa</math>가 무한 기수라면, <math>\kappa^{\aleph_0}=\kappa</math>이다. 만약 <math>\kappa</math>가 유한 기수라면, <math>\kappa=2^n</math>인 기수 <math>n</math>이 존재한다.

=== 시코르스키 확장 정리 ===
다음과 같은 데이터가 주어졌다고 하자.
* 불 대수 <math>\tilde B</math>의 부분 불 대수 <math>B\subseteq\tilde B</math>
* 완비 불 대수 <math>C</math>
* 불 대수 준동형 <math>f\colon B\to C</math>
'''시코르스키 확장 정리'''({{llang|en|Sikorski extension theorem}})에 따르면, <math>f=\tilde f|_B</math>가 성립하는 불 대수 준동형 <math>\tilde f\colon\tilde B\to C</math>가 존재한다.

=== 매장 가능성 ===
[[부분 순서 집합]] <math>(P,\le)</math>에 대하여 다음 두 조건이 서로 [[동치]]이며, 이를 만족시키는 부분 순서 집합을 '''분리 부분 순서 집합'''(分離部分順序集合, {{llang|en|separative poset}})이라고 한다.
* 임의의 <math>x,y\in P</math>에 대하여, <math>x\not\le y</math>라면, 임의의 <math>z\le x</math>에 대하여, <math>\{z,y\}</math>는 [[하계 (수학)|하계]]를 갖지 않는다.<ref name="Jech">>{{서적 인용 | last=Jech | first=Thomas | title=Set theory | url=https://archive.org/details/settheory0000jech_f7i4 | publisher= Springer-Verlag | series=Springer Monographs in Mathematics | 날짜=2003 | doi=10.1007/3-540-44761-X | issn= 1439-7382 | 판 = 3 | isbn= 978-3-540-44085-7 | zbl = 1007.03002 | 언어=en | id={{iaid|settheory0000jech_f7i4}}}}</ref>{{rp|204, Definition 14.8}}
* <math>P\cong S</math>가 되는 완비 불 대수 <math>B</math>와 [[부분 집합]] <math>S\subseteq B\setminus\{\bot_B\}</math>가 존재한다.<ref name="Jech"/>{{rp|205, Lemma 14.9, Theorem 14.10}} (<math>\cong</math>은 순서 동형이다.)

=== 범주론적 성질 ===
완비 불 대수와 완비 불 대수 준동형의 범주 <math>\operatorname{CompBoolAlg}</math>는 [[구체적 범주]]이며, [[완비 격자]]와 완비 격자 준동형의 범주 <math>\operatorname{CompLat}</math>의 [[충만한 부분 범주]]이다.

망각 함자
:<math>\operatorname{CompBoolAlg}\to\operatorname{Set}</math>
는 [[왼쪽 수반 함자]]를 갖지 않는다. 즉, [[자유 대상|자유]] 완비 불 대수는 일반적으로 존재하지 않는다.<ref>{{저널 인용|이름=H.|성=Gaifman|제목=Infinite Boolean polynomials I|저널=Fundamenta Mathematicae|권=54|호=3|날짜=1964|쪽=229–250|mr=0168503|url=http://pldml.icm.edu.pl/pldml/element/bwmeta1.element.bwnjournal-article-fmv54i1p17bwm|issn=0016-2736|언어=en}}</ref><ref>{{저널 인용|이름=Alfred Washington|성=Hales|제목=On the non-existence of free complete Boolean algebras|저널=Fundamenta Mathematicae|권=54|호=1|날짜=1964|쪽=45–66|mr=0163863|url=http://pldml.icm.edu.pl/pldml/element/bwmeta1.element.bwnjournal-article-fmv54i1p6bwm|issn=0016-2736|언어=en}}</ref><ref>{{서적 인용|url=http://resolver.caltech.edu/CaltechTHESIS:08012011-122250596|제목=On the nonexistence of free complete Boolean algebras|기타=박사 학위 논문 (지도 교수 Robert P. Dilworth)|이름=Alfred Washington|성=Hales|날짜=1962|출판사=[[캘리포니아 공과대학교]]|언어=en}}</ref><ref>{{저널 인용|제목=New proof of a theorem of Gaifman and Hales|이름=Robert M.|성=Solovay|저자링크=로버트 솔로베이|날짜=1966-03|mr=0186598|zbl=0158.24903|issn=0273-0979|저널=Bulletin of the American Mathematical Society|doi=10.1090/S0002-9904-1966-11493-3|권=72|쪽=282–284|언어=en}}</ref> 그러나 임의의 기수 <math>\kappa</math>에 대하여, <math>\kappa</math>-완비 불 대수 및 <math>\kappa</math>-완비 불 대수 준동형의 범주 <math>\operatorname{CompBoolAlg}_\kappa</math>의 경우 자유 대상이 존재한다.

특히, <math>\operatorname{CompBoolAlg}</math>는 [[쌍대 완비 범주]]가 아니다.

== 예 ==
모든 유한 [[불 대수]]는 완비 불 대수이다.

=== 멱집합 ===
완비 불 대수 <math>B</math>에 대하여, 다음 두 조건이 서로 [[동치]]이다.
* <math>B\cong(\mathcal P(S),\subseteq)</math>인 집합 <math>S</math>가 존재한다.
* 임의의 원소 <math>b\in B</math>에 대하여, <math>\textstyle b=\bigvee A</math>인 <math>A\subseteq\min(B\setminus\{\bot\})</math>가 존재한다.
특히, 후자가 성립한다면
:<math>B\cong\mathcal P(\min(B\setminus\{\bot\}))</math>
이다. 여기서 <math>\min(B\setminus\{\bot\})</math>는 [[부분 순서 집합]] <math>B\setminus\{\bot\}</math>의 [[극소 원소]]들의 집합이며, <math>\bot\in B</math>는 <math>B</math>의 [[최소 원소]]이다. <math>B\setminus\{\bot\}</math>의 원소는 보통 '''원자'''({{llang|en|atom}})라고 한다.

=== 위상 수학 ===
[[위상 공간 (수학)|위상 공간]] <math>X</math>의 [[정칙 열린집합]]들의 족은 완비 불 대수를 이룬다.

== 역사 ==
시코르스키 확장 정리는 로만 시코르스키({{llang|pl|Roman Sikorski}}, 1925~1983)가 증명하였다.<ref>{{서적 인용|성=Sikorski|이름=Roman|제목=Boolean algebras|총서=Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete|권=25|출판사=Springer-Verlag|mr=126393|doi=10.1007/978-3-642-85820-8|isbn=978-3-642-85822-2|날짜=1960|zbl=0087.02503|언어=en}}</ref>

== 같이 보기 ==
* [[완비 격자]]
* [[장소 (수학)]]
== 각주 ==
{{각주}}

== 외부 링크 ==
* {{nlab|id=complete Boolean algebra|title=Complete Boolean algebra}}
* {{nlab|id=CompBoolAlg}}
* {{웹 인용|url=http://mathoverflow.net/questions/89487/examples-for-nice-boolean-algebras-that-are-not-complete-or-not-atomic|제목=Examples for “nice” Boolean algebras that are not complete or not atomic|출판사=Math Overflow|언어=en}}

[[분류:강제법]]
[[분류:격자 이론]]
[[분류:순서론]]