완비 범주 문서 원본 보기

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[[범주론]]에서 '''완비 범주'''(完備範疇, {{llang|en|complete category}})는 집합 크기의 모든 [[극한 (범주론)|극한]]들을 갖는 [[범주 (수학)|범주]]이다.

== 정의 ==
[[범주 (수학)|범주]] <math>\mathcal C</math>에 대하여 다음 두 조건이 서로 [[동치]]이며, 이를 만족시키는 범주를 '''완비 범주'''라고 한다.
* (작은 극한의 존재) 임의의 [[작은 범주]] <math>\mathcal J</math> 및 [[함자 (수학)|함자]] <math>F\colon\mathcal J\to\mathcal C</math>에 대하여, <math>F</math>는 [[극한 (범주론)|극한]] <math>\varprojlim F</math>를 갖는다.
* 다음 두 조건이 성립한다.
** (동등자의 존재) 임의의 두 사상 <math>f,g\colon X\to Y</math>에 대하여, [[동등자]] <math>\operatorname{Eq}\{f,g\}</math>가 존재한다.
** (작은 곱의 존재) 임의의 <math>\mathcal C</math>의 대상들의 [[집합]] <math>S\subseteq\mathcal C</math>에 대하여, [[곱 (범주론)|곱]] <math>\prod S</math>가 존재한다.

[[범주 (수학)|범주]] <math>\mathcal C</math>에 대하여 다음 두 조건이 서로 [[동치]]이며, 이를 만족시키는 범주를 '''쌍대 완비 범주'''(雙對完備範疇, {{llang|en|cocomplete category}})라고 한다.
* (작은 쌍대극한의 존재) 임의의 [[작은 범주]] <math>\mathcal J</math> 및 [[함자 (수학)|함자]] <math>F\colon\mathcal J\to\mathcal C</math>에 대하여, <math>F</math>는 [[쌍대극한]] <math>\varinjlim F</math>를 갖는다.
* 다음 두 조건이 성립한다.
** (쌍대동등자의 존재) 임의의 두 사상 <math>f,g\colon X\to Y</math>에 대하여, [[쌍대동등자]] <math>\operatorname{Coeq}\{f,g\}</math>가 존재한다.
** (작은 쌍대곱의 존재) 임의의 <math>\mathcal C</math>의 대상들의 [[집합]] <math>S\subseteq\mathcal C</math>에 대하여, [[쌍대곱]] <math>\coprod S</math>가 존재한다.

[[범주 (수학)|범주]] <math>\mathcal C</math>에 대하여 다음 조건들이 서로 [[동치]]이며, 이를 만족시키는 범주를 '''유한 완비 범주'''라고 한다.
* (작은 극한의 존재) 유한 개의 대상 및 유한 개의 사상을 갖는 범주 <math>\mathcal J</math> 및 [[함자 (수학)|함자]] <math>F\colon\mathcal J\to\mathcal C</math>에 대하여, <math>F</math>는 [[극한 (범주론)|극한]] <math>\varprojlim F</math>를 갖는다.
* 다음 두 조건이 성립한다.
** (동등자의 존재) 임의의 두 사상 <math>f,g\colon X\to Y</math>에 대하여, [[동등자]] <math>\operatorname{Eq}\{f,g\}</math>가 존재한다.
** (유한 곱의 존재) 임의의 <math>\mathcal C</math>의 대상들의 [[유한 집합]] <math>S\subseteq\mathcal C</math>에 대하여, [[곱 (범주론)|곱]] <math>\prod S</math>가 존재한다.
* 다음 두 조건이 성립한다.
** (당김의 존재) 임의의 <math>X\xrightarrow fZ\xleftarrow gY</math>에 대하여, [[당김 (범주론)|당김]] <math>X\times_ZY</math>가 존재한다.
** (끝 대상의 존재) [[끝 대상]] <math>1\in\mathcal C</math>가 존재한다.
* 다음 세 조건이 성립한다.
** (동등자의 존재) 임의의 두 사상 <math>f,g\colon X\to Y</math>에 대하여, [[동등자]] <math>\operatorname{Eq}\{f,g\}</math>가 존재한다.
** (이항 곱의 존재) 임의의 <math>\mathcal C</math>의 두 대상 <math>X,Y\in\mathcal C</math>에 대하여, [[곱 (범주론)|곱]] <math>X\times Y</math>가 존재한다.
** (끝 대상의 존재) [[끝 대상]] <math>1\in\mathcal C</math>가 존재한다.

== 성질 ==
[[작은 범주]]에 대하여, 다음 조건들이 서로 [[동치]]이다.
* 완비 범주이다.
* 쌍대 완비 범주이다.
또한, 작은 완비 범주는 항상 [[얇은 범주]]이다. 즉, 임의의 두 대상 사이의 사상의 수는 0개 아니면 1개이다.<ref name="Freyd">{{저널 인용
|성1=Freyd
|이름1=Peter J.
|제목=Abelian categories
|언어=en
|저널=Reprints in Theory and Applications of Categories
|권=2003
|호=3
|쪽=1–164
|날짜=2003
|mr=2050440
|zbl=1041.18001
}}</ref>{{rp|78, Exercise D}}

모든 [[아벨 범주]]는 유한 완비 범주이자 유한 쌍대 완비 범주이다.

== 예 ==
[[대수 구조 다양체]]의 범주는 모두 완비 범주이자 쌍대 완비 범주이다. 예를 들어, 다음 범주들은 완비 범주이자 쌍대 완비 범주이다.
* [[집합]]과 [[함수]]의 범주 <math>\operatorname{Set}</math>
* [[군 (수학)|군]]의 범주 <math>\operatorname{Grp}</math>
* [[아벨 군]]의 범주 <math>\operatorname{Ab}</math>
* [[환 (수학)|환]]의 범주 <math>\operatorname{Ring}</math>
* [[가환환]]의 범주 <math>\operatorname{CRing}</math>
* [[환 (수학)|환]] <math>R</math>에 대하여, <math>R</math> 위의 왼쪽 [[가군]]들의 범주 <math>R\text{-Mod}</math>

[[작은 범주]]들의 범주 <math>\operatorname{Cat}</math> 역시 완비 범주이자 쌍대 완비 범주이다.

[[부분 순서 집합]] <math>P</math>를 [[얇은 범주]]로 간주하였을 때, 다음 두 조건이 동치이다.
* <math>P</math>는 완비 범주이다.
* <math>G</math>는 [[완비 격자]]이다.

[[군 (수학)|군]] <math>G</math>를 하나의 대상을 갖는 범주로 간주하였을 때, 다음 두 조건이 동치이다.
* <math>G</math>는 완비 범주이다.
* <math>G</math>는 [[자명군]]이다.

=== 완비 범주가 아닌 범주 ===
[[체 (수학)|체]]의 범주는 유한 완비 범주가 아니며, 유한 쌍대 완비 범주도 아니다. 체의 범주에서는 일반적으로 [[곱 (수학)|곱]]이나 [[쌍대곱]]이 존재하지 않는다.

모든 [[순서수]]들의 [[얇은 범주]]는 쌍대 완비 범주이지만, [[끝 대상]]이 없으므로 완비 범주가 아니다.

== 각주 ==
{{각주}}
*{{서적 인용 |last=Mac Lane |first=Saunders |저자링크=손더스 매클레인|제목=Categories for the working mathematician |publisher=Springer |날짜=1998 |판=2 |series=Graduate Texts in Mathematics|issn=0072-5285|권= 5 |isbn=978-1-4419-3123-8 | zbl=0906.18001 | mr=1712872 |doi=10.1007/978-1-4757-4721-8|언어=en }}

== 외부 링크 ==
* {{nlab|id=complete category|title=Complete category}}
* {{nlab|id=cocomplete category|title=Cocomplete category}}
* {{nlab|id=finitely complete category|title=Finitely complete category}}
* {{nlab|id=finitely cocomplete category|title=Finitely cocomplete category}}
* {{nlab|id=complete small category|title=Complete small category}}
* {{nlab|id=M-complete category}}

{{전거 통제}}

[[분류:범주론]]