완비 균등 공간 문서 원본 보기

{{위키데이터 속성 추적}}
[[일반위상수학]]에서 '''완비 균등 공간'''(完備均等空間, {{llang|en|complete uniform space}})은 그 속에 "있어야 하지만 없는 점"이 없는 [[균등 공간]]이다. 즉, '''코시 그물'''({{llang|en|Cauchy net}})이라는 특별한 종류의 [[그물 (수학)|그물]]은 "수렴하여야 하는" 그물이며, 모든 코시 그물이 실제로 수렴한다면 (즉, 수렴하는 점이 존재한다면) 그 [[균등 공간]]을 완비 균등 공간이라고 한다. 이는 [[완비 거리 공간]]의 개념의 일반화이다.

== 정의 ==
[[거리 공간]]을 다룰 때는 [[코시 열]]의 개념을 사용하지만, 임의의 [[균등 공간]]을 다룰 때는 [[점렬]] 대신 [[필터 (수학)|필터]] 또는 [[그물 (수학)|그물]]을 사용해야 한다.

'''완비 균등 공간'''은 모든 코시 필터가 수렴 필터인 균등 공간이다. 이는 모든 코시 그물이 수렴하는 것과 동치이다. 이는 [[완비 거리 공간]]의 개념의 일반화이다. 즉, 임의의 [[거리 공간]] <math>X</math>에 대하여, <math>X</math>가 완비 균등 공간인 것은 <math>X</math>가 [[완비 거리 공간]]인 것과 [[동치]]이다.

=== 코시 필터 ===
[[균등 공간]] <math>(X,(\approx_E)_{E\in\mathcal E})</math> 위의 '''코시 필터'''({{llang|en|Cauchy filter}}) <math>\mathcal F\subseteq\mathcal P(X)</math>는 다음 조건을 만족시키는 <math>\mathcal P(X)</math> 위의 [[필터 (수학)|필터]]이다.
* 임의의 [[측근 (수학)|측근]] <math>E\in\mathcal E</math>에 대하여, <math>F\times F\subseteq E</math>가 되는 <math>F\in\mathcal F</math>가 존재한다.
즉, 코시 필터는 “임의로 작은” 집합을 포함하는 필터이다. <math>(X,(\approx_E)_{E\in\mathcal E})</math> 위의 코시 필터들의 집합은 포함 관계에 따라 [[부분 순서 집합]]을 이룬다. 임의의 코시 필터 <math>\mathcal F</math>에 대하여, <math>\mathcal F_{\min}\subseteq\mathcal F</math>인 [[극소 원소|극소]] 코시 필터 <math>\mathcal F_{\min}</math>가 항상 유일하게 존재함을 보일 수 있다. 구체적으로, 이는 다음과 같다.
:<math>\mathcal F_\min=\{E[F,-]\colon E\in\mathcal E,\;F\in\mathcal F\}</math>
:<math>E[F,-]=\{y\in X\colon\exists x\in F\colon x\approx_Ey\}</math>
특히, 모든 점의 (균등 위상에 대한) [[근방 필터]]는 극소 코시 필터를 이룬다.

=== 코시 그물 ===
[[필터 (수학)|필터]] 대신 [[그물 (수학)|그물]]의 언어를 사용할 수도 있다.

[[상향 원순서 집합]] <math>(I,\lesssim)</math>를 [[정의역]]으로, [[균등 공간]] <math>(X,(\approx_E)_{E\in\mathcal E})</math>를 [[공역]]으로 하는 [[그물 (수학)|그물]] <math>(x_i)_{i\in I}\subseteq X</math>이 주어졌다고 하자. 만약 임의의 [[측근 (수학)|측근]] <math>E\in\mathcal E</math>에 대하여, 다음 조건을 만족시키는 <math>i\in I</math>가 존재한다면, <math>(x_i)_{i\in I}</math>를 '''코시 그물'''({{llang|en|Cauchy net}})이라고 한다.
* 임의의 <math>j,k\gtrsim i</math>에 대하여, <math>x_j\approx_Ex_k</math>
주어진 코시 그물에 대하여, 이로부터 유도되는 필터는 항상 코시 필터이며, 반대로 코시 필터에 의하여 정의되는 그물은 코시 그물이다.

코시 그물은 [[코시 열]]의 개념의 일반화이다. 즉, [[거리 공간]] 속의 [[점렬]]에 대하여, [[코시 열]]인 것은 코시 그물인 것과 [[동치]]이다.

== 성질 ==
=== 하우스도르프 완비화 ===
[[하우스도르프 공간|하우스도르프]] 완비 균등 공간들의 범주 <math>\operatorname{HausCompUnif}</math>는 모든 균등 공간들의 범주 <math>\operatorname{Unif}</math>의 [[반사 부분 범주]]를 이룬다. 즉, 포함 [[함자 (수학)|함자]]
:<math>\operatorname{HausCompUnif}\hookrightarrow\operatorname{Unif}</math>
는 [[왼쪽 수반 함자]]
:<math>\bar{}\colon\operatorname{Unif}\to\operatorname{HausCompUnif}</math>
를 갖는다. 이를 균등 공간의 '''하우스도르프 완비화'''({{llang|en|Hausdorff completion}})라고 한다.

이는 구체적으로 다음과 같다. 임의의 균등 공간 <math>(X,(\approx_E)_{E\in\mathcal E})</math>의 [[극소 원소|극소]] 코시 필터들의 [[집합]]을  <math>\min\operatorname{Cauchy}(X,\mathcal E)</math>라고 표기하자. <math>(X,(\approx_E)_{E\in\mathcal E})</math>의 '''하우스도르프 완비화'''는 [[집합]]으로서 <math>\bar X=\min\operatorname{Cauchy}(X,\mathcal E)</math>이며, 그 위의 [[균등 공간]] 구조는 다음과 같은 기본계 <math>\bar{\mathcal B}</math>에 의하여 정의된다.
:<math>\bar{\mathcal B}=\left\{\mathfrak C(E)\colon E\in\mathcal E,\;E=E^{\operatorname{op}}\right\}</math>
:<math>\mathcal F\approx_{\mathfrak C(E)}\mathcal G\iff\exists A\in\operatorname{Small}(E)\colon A\in\mathcal F\cap\mathcal G\qquad(\mathcal F,\mathcal G\in\bar X,\;E\in\mathcal E)</math>
:<math>\operatorname{Small}(E)=\{A\subseteq X\colon a\approx_Eb\;\forall a,b\in A\}</math>
즉, [[대칭 관계|대칭]] [[측근 (수학)|측근]] <math>E</math>에 대하여, <math>\mathfrak C(E)</math>는 적어도 하나 이상의 <math>E</math>-작은 집합을 공유하는 극소 코시 필터 [[순서쌍]]들의 집합이다. <math>\bar X</math>로 가는 자연스러운 함수
:<math>i\colon X\to\bar X</math>
:<math>i\colon x\mapsto\mathcal N_x</math>
가 존재한다. 여기서 <math>\mathcal N_x</math>는 <math>x</math>의 [[근방 필터]]이다 (이는 항상 <math>X</math> 위의 극소 코시 필터를 이룬다). <math>i</math>는 [[균등 연속 함수]]이며, <math>i(X)\subseteq\bar X</math>는 [[조밀 집합]]이다. 또한, <math>\tilde i\colon X\to i(X)</math>는 [[열린 함수]]이자 [[닫힌 함수]]이자 [[고유 함수]]다.<ref name="BourbakiGT1-4">{{서적 인용
|성1=Bourbaki
|이름1=Nicolas
|제목=General topology. Chapters 1–4
|언어=en
|판=Reprint of the 1966 edition
|총서=Elements of Mathematics (Berlin)
|출판사=Springer-Verlag
|위치=Berlin
|날짜=1989
|isbn=3-540-19374-X
|mr=0979294
|zbl=0683.54003
}}</ref>{{rp|197, §2.3.8, Remark}} 사실, <math>i(X)</math>는 <math>X</math>의 하우스도르프화를 정의한다. 특히, 만약 <math>X</math>가 [[하우스도르프 공간|하우스도르프]] 균등 공간이라면 <math>i</math>는 [[균등 공간]]의 [[매장 (수학)|매장]]이다.

=== 완비 균등화 가능 공간 ===
위상 공간 <math>X</math>에 대하여, 만약 <math>X</math> 위에 그 위상과 호환되는 완비 균등 공간 구조를 부여할 수 있다면, <math>X</math>를 '''완비 균등화 가능 공간'''(完備均等化可能空間, {{llang|en|completely uniformizable space}})이라고 한다.

모든 [[정칙 공간|정칙]] [[파라콤팩트 공간]]은 완비 균등화 가능 공간이다.<ref>{{서적 인용|이름=John L.|성=Kelley|저자링크=존 리로이 켈리|제목=General topology|url=https://www.springer.com/mathematics/geometry/book/978-0-387-90125-1|isbn=0-387-90125-6|판=2|날짜=1975|총서=Graduate Texts in Mathematics|issn=0072-5285|권=27|언어=en|출판사=Springer|zbl=0306.54002}}</ref>{{rp|208, Problem 6.L(d)}}

=== 완비 위상군 ===
임의의 [[위상군]] 위에는 2개의 표준적인 [[균등 공간]] 구조가 존재하며, 이를 [[오른쪽 균등 공간 구조]] <math>\mathcal E_{\operatorname{right}}</math>와 [[왼쪽 균등 공간 구조]] <math>\mathcal E_{\operatorname{left}}</math>라고 한다. 또한, 오른쪽·왼쪽 균등 공간 구조보다 섬세한 가장 엉성한 균등 공간 구조 <math>\mathcal E_{\operatorname{right}}\vee\mathcal E_{\operatorname{left}}</math>를 생각할 수 있다. 이를 양쪽({{llang|en|two-sided}}) 균등 공간 구조라고 한다. 세 균등 공간 구조는 모두 위상군의 위상을 유도한다. [[아벨 군|아벨]] [[위상군]] 또는 [[콤팩트 공간|콤팩트]] [[위상군]]의 경우, 세 가지 균등 공간 구조가 일치한다. 이러한 위상군을 [[균형군]]이라고 한다.

오른쪽·왼쪽 완비 위상군은 자명하게 양쪽 완비 위상군이다. 오른쪽 완비성과 왼쪽 완비성은 서로 [[동치]]이다. 즉, [[위상군]] <math>G</math>에 대하여, 다음 두 조건이 서로 [[동치]]이다.<ref name="BourbakiGT1-4" />{{rp|245, Proposition 4}}
* <math>(G,\mathcal E_{\operatorname{right}})</math>는 완비 균등 공간이다.
* <math>(G,\mathcal E_{\operatorname{left}})</math>는 완비 균등 공간이다.

모든 [[국소 콤팩트]] [[하우스도르프 공간|하우스도르프]] [[위상군]]은 왼쪽·오른쪽·양쪽 완비 균등 공간이다.<ref name="BourbakiGT1-4" />{{rp|245, Corollary 1}}

임의의 [[위상군]] <math>G</math>의 양쪽 완비화 위에는 <math>G</math>를 확장하는 유일한 위상군 구조가 존재한다. 반면 오른쪽 완비화 또는 왼쪽 완비화는 위상군을 이룰 필요가 없다. 만약 <math>G</math>의 오른쪽 또는 왼쪽 완비화가 위상군을 이룬다면, 이는 항상 양쪽 완비화와 일치한다. [[균형군]]의 경우, 오른쪽·왼쪽·양쪽 완비화가 일치하며, 따라서 완비화는 위상군을 이룬다.

== 참고 문헌 ==
{{각주}}

== 외부 링크 ==
* {{eom|title=Complete space}}
* {{nlab|title=Cauchy filter}}
* {{nlab|id=complete space|title=Complete space}}

[[분류:일반위상수학]]