완비 국소환 문서 원본 보기

{{위키데이터 속성 추적}}
[[가환대수학]]에서 '''완비 국소환'''(完備局所環, {{llang|en|complete local ring}})은 [[극대 아이디얼]]에서 스스로의 [[완비화 (환론)|완비화]]와 같은 [[국소 가환환]]이다.<ref>{{서적 인용|제목=Lectures around complete local rings | 성=Wehrfritz | 이름=Bertram A. F. | 언어=en}}</ref> 

== 정의 ==
[[국소 가환환]] <math>(R,\mathfrak m,\kappa)</math>이 주어졌다고 하자. 이 경우 [[극대 아이디얼]] <math>\mathfrak m</math>의 거듭제곱에 대한 [[몫환]]
:<math>\dotsb \to R/\mathfrak m^3 \to R/\mathfrak m^2 \to R/\mathfrak m = \kappa</math>
을 취할 수 있으며, 이에 대한 [[완비화 (환론)|완비화]]
:<math>\hat R=\varprojlim_{n\to\infty} \frac R{\mathfrak m^n}</math>
를 취할 수 있으며, [[환 준동형]]
:<math>\phi_n \colon R \to R/\mathfrak m^n</math>
으로부터 표준적인 [[환 준동형]]
:<math>\phi_\infty \colon R \to \hat R</math>
이 존재한다. 만약 이 준동형이 [[전단사 함수]]라면(즉, 환의 [[동형 사상]]이라면), <math>R</math>를 '''완비 국소환'''이라고 한다. 이는 [[위상환]]을 이룬다.

보다 구체적으로, 다음 두 조건이 성립해야 한다.
* (하우스도르프 조건) <math>\textstyle\bigcap_{n=0}^\infty \mathfrak m^n = 0</math>
* (완비성) 임의의 원소열 <math>r_0,r_1,r_2,\dotsc \in R</math>에 대하여, 만약 <math>r_i - r_{i-1} \in \mathfrak m^i</math>라면, 충분히 큰 <math>i</math>에 대하여 <math>r = r_i = r_{i+1} = r_{i+2} = \dotsb</math>가 되는 <math>r\in R</math>가 존재한다.

== 성질 ==
=== 함의 관계 ===
모든 완비 국소환은 [[헨젤 환]]이다.

모든 [[아르틴 환|아르틴]] [[국소 가환환]]은 (자명하게) 뇌터 완비 국소 가환환이다. 이 경우 충분히 큰 <math>n</math>에 대하여 <math>\mathfrak m^n = 0</math>이다.

모든 뇌터 완비 가환환은 [[탁월한 가환환]]이다.

=== 매틀리스 쌍대성 ===
<math>(R,\mathfrak m,\kappa)</math>가 뇌터 완비 국소환이며, <math>E</math>가 <math>\kappa</math>의 [[단사 껍질]]이라고 하자. 그렇다면, <math>R</math> 위의 [[뇌터 가군]]의 범주 <math>\operatorname{NoetMod}_R</math>의 [[반대 범주]]와 [[아르틴 가군]]의 범주 <math>\operatorname{ArtMod}_R</math> 사이에 다음과 같은 [[범주의 동치]]가 존재한다.
:<math>D \colon \operatorname{NoetMod}_R^{\operatorname{op}} \to \operatorname{ArtMod}_R</math>
:<math>D \colon M \mapsto \hom_R(M,E)</math>
:<math>D^{-1} \colon M \mapsto \hom_R(M,E)</math>
이를 '''매틀리스 쌍대성'''({{llang|en|Matlis duality}})이라고 한다.

특히, [[뇌터 가군]]이자 [[아르틴 가군]]인 가군(즉, [[가군의 길이|길이]]가 유한한 가군)의 범주는 스스로의 [[반대 범주]]와 동치이다.

=== 국소화 함자 ===
임의의 국소 가환환 <math>(R,\mathfrak m,\kappa)</math>에 대하여, [[완비화 (환론)|완비화]]를 통해 완비 국소환
:<math>\hat R = \varprojlim_{n\to\infty}\frac R{\mathfrak m^n}</math>
을 정의할 수 있다. 이는 국소환과 국소 준동형의 범주에서 완비 국소환과 국소 준동형의 범주로 가는 함자
:<math>\hat{} \colon \operatorname{LocCRing} \to \operatorname{compLocCRing}</math>
를 정의한다.

이 함자 아래, <math>\hat R</math>의 극대 아이디얼은
:<math>\hat{\mathfrak m} = \{(r_1+\mathfrak m,r_2+\mathfrak m^2,\dotsc)\in \hat R\colon r_1 + \mathfrak m = \mathfrak m\}</math>
이다. 그 [[잉여류체]]는 원래 국소환의 잉여류체와 표준적으로 같다.
:<math>R / \mathfrak m \cong \hat R / \hat{\mathfrak m}</math>

이 함자 아래, 다음 두 조건이 서로 [[동치]]이다.
* <math>R</math>가 [[뇌터 가환환|뇌터]] [[국소 가환환]]이다.
* <math>\hat R</math>가 뇌터 완비 국소환이다.

== 분류 ==
'''코언 구조 정리'''({{llang|en|Cohen structure theorem}})에 따르면, 모든 뇌터 완비 국소환은 어떤 완비 [[정칙 국소환]]의 [[몫환]]으로 표현될 수 있다.

모든 완비 [[정칙 국소환]]은 완전히 분류되었다. 구체적으로, 완비 [[정칙 국소환]]의 목록은 다음과 같다.
* 어떤 [[자연수]] <math>n \in \mathbb N</math> 및 [[체 (수학)|체]] <Math>K</math>에 대하여, [[형식적 멱급수환]] <Math>K[\![x_1,x_2,\dotsc,x_n]\!]</math>
** 이 경우, [[크룰 차원]]은 <math>n</math>이다.
* 어떤 [[자연수]] <math>n\in\mathbb N</math> 및 <math>p</math>-코언 환 <math>K</math>에 대하여, [[형식적 멱급수환]] <Math>K[\![x_1,x_2,\dotsc,x_n]\!]</math>
** 이 경우, [[크룰 차원]]은 <math>n+1</math>이다.
* 어떤 [[자연수]] <math>n\in\mathbb N</math> 및 <math>p</math>-코언 환 <math>K</math>에 대하여, [[형식적 멱급수환]]의 몫 <Math>K[\![x_1,x_2,\dotsc,x_n]\!]/(p - x)</math>. 여기서 <math>x \in \mathfrak m^2 \setminus (p)</math>이며, <math>\mathfrak m = (p,x_1,x_2,\dotsc,x_n)</math>은 <math>K[\![x_1,\dotsc,x_n]\!]</math>의 유일한 [[극대 아이디얼]]이다.
** 이 경우, [[크룰 차원]]은 <math>n</math>이다.
여기서, 소수 <math>p</math>에 대하여, <math>p</math>-'''코언 환'''({{llang|en|Cohen ring}})은 완비 [[이산 값매김환]] <math>(D,\mathfrak m,\kappa)</math> 가운데, <math>\operatorname{char}D = 0</math>이며 <math>\operatorname{char}\kappa = p</math>이며 <math>\mathfrak m = (p)</math>인 것이다. 예를 들어, [[p진 정수|<math>p</math>진 정수환]] <math>\mathbb Z_p</math>는 코언 환이다.

== 예 ==
체 <math>K</math>에 대하여 [[형식적 멱급수환]]
:<math>K[\![x]\!]</math>
은 완비 국소환이다. 또한, [[소수 (수론)|소수]] <math>p</math>에 대하여 [[p진 정수|<Math>p</math>진 정수환]] <math>\mathbb Z_p</math>는 완비 국소환이다.

=== 완비 국소환이 아닌 환 ===
[[p진수체|<math>p</math>진수체]] <math>\mathbb Q_p</math>의 [[대수적 폐포]]의 완비화 <math>\mathbb C_p</math>를 생각하자. 이 역시 [[대수적으로 닫힌 체]]이다. 이에 대응하는 [[값매김환]](즉, <math>\mathbb C_p</math>에서 <math>p</math>진 값매김이 음이 아닌 정수인 원소로 구성된 [[부분환]])의 극대 아이디얼 <math>\mathfrak m</math>은
:<math>0 \ne \mathfrak m = \mathfrak m^2 = \mathfrak m^3 = \dotsb</math>
을 만족시킨다. 따라서 이는 하우스도르프 조건을 만족시키지 못해 완비 가환환을 이루지 못한다.

== 역사 ==
코언 구조 정리는 1946년에 [[어빈 솔 코언]]이 증명하였다.<ref>{{저널 인용 | last1=Cohen | first1=Irvin Sol | 저자링크=어빈 솔 코언 | title=On the structure and ideal theory of complete local rings | jstor= 1990313 |mr=0016094 | year=1946 | journal=Transactions of the American Mathematical Society | issn=0002-9947 | volume=59 | pages=54–106 | doi=10.2307/1990313|언어=en}}</ref>

== 각주 ==
{{각주}}

== 외부 링크 ==
* {{웹 인용|url=https://math.stackexchange.com/questions/128838/example-of-a-non-noetherian-complete-local-ring | 제목=Example of a non-Noetherian complete local ring | 웹사이트=Stack Exchange |언어=en}}
* {{웹 인용|url=http://www.math.lsa.umich.edu/~hochster/615W10/supStructure.pdf | 제목=The structure theory of complete local rings | 이름=Melvin | 성=Hochster | 언어=en}}
* {{웹 인용|url=https://commalg.subwiki.org/wiki/Complete_local_ring | 제목=Complete local ring | 웹사이트=Commalg | 언어=en}}

[[분류:가환대수학]]