와니어 함수 문서 원본 보기

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'''와니어 함수'''는 [[고체물리학]]에서 이용되는 완전집합 함수로 물리학자 그레고리 와니어가 도입하였다. 고체에서 서로 다른 격자에 해당하는 와니어 함수는 서로 수직을 이룬다. 와니어 함수는 고체물리학에서 다양하게 이용되고 있는데, 예를 들면 전자의 결합력을 분석하는데 쓰일 수 있다. 부도체에서의 와니어 함수는 공간적으로 국소화된 형태를 가진다는 것이 증명되었다.


== 정의 ==
와니어 함수의 정의는 여러가지가 있지만, 가장 간단하고 자주 사용되는 정의는 다음과 같다<ref>C. Kittel, Quantum Theory of Solid. 2nd edition, Wiley, p.195 (1987)</ref>. 고체에서 전자는 [[블로호 파]]로 기술되는데, 블로호 파는
:<math>\psi_{\mathbf{k}}(\mathbf{r}) = e^{i\mathbf{k}\cdot\mathbf{r}}u_{\mathbf{k}}(\mathbf{r})</math>
여기서 <math>\, u_{\mathbf{k}}(\mathbf{r})</math>는 고체와 같은 대칭성을 갖는 함수이다. 이로부터 와니어 함수는
:<math>\phi_{\mathbf{R}}(\mathbf{r}) = \frac{1}{\sqrt{N}} \sum_{\mathbf{k}} e^{-i\mathbf{k}\cdot\mathbf{R}} \psi_{\mathbf{k}}(\mathbf{r})</math>
와 같이 정의되고 여기서,
*'''R'''는 격자 벡터(즉 격자 벡터 마다 와니어 함수가 지정된다)
* ''N''는 주어진 고체에서의 [[원시세포]]의 개수
* '''k'''에 대한 합은 첫째 브릴루앙 영역에 있는 모든 '''k'''점에 대한 합이다. 만일 ''N''이 매우 크다면, 합을 적분으로 바꿀 수 있고 ,
:<math>\sum_{\mathbf{k}} \longrightarrow \frac{N}{\Omega} \int_{BZ} d^3\mathbf{k}</math>
와 같이 나타낼 수 있다. 여기서 BZ는 브릴루앙 영역을 나타내고,<math>{\Omega}</math>는 브릴루앙 영역의 넓이를 나타낸다.

== 성질 ==

와니어 함수는 아래와 같은 성질을 갖고 있으며 이 성질은 고체물리학에서 다양하게 이용되고 있다.
* 블로호 파는 서로 다른 격자 벡터에 대한 와니어 함수의 합으로 나타낼 수 있다.
:<math>\psi_{\mathbf{k}}(\mathbf{r}) = \frac{1}{\sqrt{N}} \sum_{\mathbf{R}} e^{i\mathbf{k}\cdot\mathbf{R}} \phi_{\mathbf{R}}(\mathbf{r})</math>
여기서 격자 벡터 '''R'''에 합은 고체의 모든 격자 벡터에 대당한다.
* 각 격자 벡터 '''R'''에 대한 와니어 함수는 상호간에 수직이고 정규화되어있다.
:<math>\int_{crystal}  \phi_{\mathbf{R}}(\mathbf{r})^* \phi_{\mathbf{R'}}(\mathbf{r}) d^3\mathbf{r} = \frac{1}{N} \sum_{\mathbf{k,k'}}\int_{crystal} e^{i\mathbf{k}\cdot\mathbf{R}} \psi_{\mathbf{k}}(\mathbf{r})^*  e^{-i\mathbf{k'}\cdot\mathbf{R'}} \psi_{\mathbf{k'}}(\mathbf{r}) d^3\mathbf{r} =  \frac{1}{N} \sum_{\mathbf{k,k'}} e^{i\mathbf{k}\cdot\mathbf{R}} e^{-i\mathbf{k'}\cdot\mathbf{R'}} \delta_{\mathbf{k,k'}} = \frac{1}{N} \sum_{\mathbf{k}} e^{i\mathbf{k}\cdot\mathbf{(R'-R)}}=\delta_{\mathbf{R,R'}} </math>
* 일반적으로 격자 '''R'''에 해당하는 와니어 함수 <math>\phi_{\mathbf{R}}</math>는 실 공간에서 격자 벡터 '''R'''의 주변에 공간적으로 국소화되어 있으며, 그 격자 벡터와 멀어지면 함수 값은 아주 빨리 0으로 수렴한다. 그러나 이 성질에 대한 일반적인 증명은 매우 어렵고 이에 대한 연구가 아직 진행되고 있다.


== 인용 ==
<references/>
== 같이 보기 ==
* [[블로흐 정리]]
* [[기하학적 위상]]

[[분류:고체물리학]]