올뭉치 문서 원본 보기

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[[위상수학]]에서 '''올뭉치'''({{llang|en|fibration|파이브레이션}}) 또는 '''올화'''(-化) 또는 '''파이버화'''(fiber化)는 [[올다발]]의 일반화이다. 올다발과 달리, 올들이 서로 [[호모토피 동치]]이지만 [[위상동형]]이 아닐 수 있다.

== 정의 ==
[[위상 공간 (수학)|위상 공간]] <math>E</math>, <math>B</math> 사이의 함수 <math>\pi\colon E\to B</math> 및 위상 공간 <math>X</math>에 대하여 다음 조건이 성립한다면, <math>\pi</math>가 <math>X\overset{\times0}\hookrightarrow X\times[0,1]</math>에 대하여 '''[[오른쪽 올림 성질]]'''을 만족시킨다고 한다.
:임의의
* [[호모토피]] <math>f\colon X\times[0,1]\to B</math>
* <math>\pi\circ \tilde f_0=f|_{X\times\{0\}}</math>인 [[연속 함수]] <math>\tilde f_0\colon X\to E</math>
:에 대하여, 항상 다음 조건을 만족시키는 호모토피 <math>\tilde f\colon X\times[0,1]\to E</math>가 존재한다.
* <math>f=\pi\circ\tilde f</math>
* <math>\tilde f_0=\tilde f|_{X\times\{0\}}</math>
즉, 다음 그림과 같다.
:<math>\begin{matrix}
X&\xrightarrow{\tilde f_0}&E\\
{\scriptstyle\times\{0\}}\downarrow&\nearrow\scriptstyle\tilde f&\downarrow\scriptstyle\pi\\
X\times[0,1]&\xrightarrow[f]{}&B
\end{matrix}</math>

[[위상 공간 (수학)|위상 공간]] <math>E</math>, <math>B</math> 사이의 함수 <math>\pi\colon E\to B</math>가 임의의 [[위상 공간 (수학)|위상 공간]] <math>X</math>에 대하여 [[오른쪽 올림 성질]]을 만족시킨다면, '''후레비치 올뭉치'''({{llang|en|Hurewicz fibration}})라고 한다.

[[위상 공간 (수학)|위상 공간]] <math>E</math>, <math>B</math> 사이의 함수 <math>\pi\colon E\to B</math>가 임의의 [[CW 복합체]] <math>X</math>에 대하여 [[오른쪽 올림 성질]]을 만족시킨다면, '''세르 올뭉치'''({{llang|en|Serre fibration}})라고 한다.

후레비치 올뭉치 또는 세르 올뭉치 <math>\pi\colon E\to B</math>의, <math>b\in B</math>에서의 '''올'''({{llang|en|fiber}})은 [[원상 (수학)|원상]] <math>f^{-1}(b)\subseteq E</math>이다.

== 성질 ==
<math>B</math>가 [[파라콤팩트 공간]]이라면, [[올다발]] <math>\pi\colon E\to B</math>는 항상 후레비치 올뭉치를 이룬다. 모든 후레비치 올뭉치는 세르 올뭉치이다.

만약 <math>B</math>가 [[경로 연결 공간]]이라면, 후레비치 올뭉치 <math>E\to B</math>의 모든 올들은 서로 [[호모토피 동치]]이다. 그러나 올들은 ([[올다발]]과 달리) 서로 [[위상동형]]일 필요가 없다.

밑 <math>B</math>가 [[경로 연결 공간]]인 올다발 <math>E\to B</math>의 올이 <math>F</math>라면, 전체 공간 <math>E</math>의 [[오일러 지표]]는 밑과 올의 오일러 지표의 곱이다.
:<math>\chi(E)=\chi(B)\chi(F)</math>
이는 [[세르 스펙트럼 열]]을 통해 보일 수 있다.

== 예 ==
모든 [[올다발]]은 (모든 올이 서로 [[위상 동형]]인) 세르 올뭉치이다.

임의의 [[경로 연결]] [[점을 가진 공간]] <math>(X,\bullet_X)</math>에 대하여, [[고리 공간]] <math>\Omega X=[\mathbb S^1,X]_\bullet</math> 및 경로 공간 <math>\mathcal PX=[\mathbb I,X]_\bullet</math>을 생각하자. 여기서 <math>\mathbb I</math>는 밑점 0을 가진 [[폐구간]] <math>[0,1]</math>이다. 그렇다면, 다음과 같은 세르 올뭉치가 존재한다.
:<math>\Omega X\hookrightarrow\mathcal PX\twoheadrightarrow X</math>
여기서 사영 사상 <Math>\mathcal PX\twoheadrightarrow X</math>는 다음과 같다.
:<math>(\gamma\colon[0,1]\to X, \gamma(0)=\bullet_X)\mapsto \gamma(1)</math>

== 역사 ==
세르 올뭉치의 개념은 [[장피에르 세르]]가 1951년에 박사 학위 논문에서 도입하였다.<ref>{{저널 인용|제목=Homologie singulière des espaces fibres|doi=10.2307/1969485|이름=J.-P.|성=Serre|저자링크=장피에르 세르|jstor=1969485|저널= Annals of Mathematics (Second Series)|권=54|호=3|날짜=1951-11|쪽=425–505|언어=en}}</ref> 후레비치 올뭉치의 개념은 [[비톨트 후레비치]]가 1955년에 도입하였다.<ref>{{저널 인용|이름=Witold|성=Hurewicz|저자링크=비톨트 후레비치|제목= On the concept of fiber space|저널= Proceedings of the National Academy of Sciences of the United States of America |권=41|호=11|날짜=1955-11-15|쪽=956–961|mr=0073987|pmid=16589780|pmc=534313|jstor=89187|doi=10.1073/pnas.41.11.956 |언어=en}}</ref>

== 같이 보기 ==
* [[모형 범주]]
* [[올다발]]

== 각주 ==
{{각주}}

== 외부 링크 ==
* {{nlab|id=Hurewicz fibration}}
* {{nlab|id=Serre fibration}}
* {{nlab|id=Hurewicz connection}}
* {{웹 인용|url=http://mathoverflow.net/questions/119115/example-of-fiber-bundle-that-is-not-a-fibration|제목=Example of fiber bundle that is not a fibration|출판사=Math Overflow|언어=en}}

{{전거 통제}}

[[분류:호모토피 이론]]
[[분류:대수적 위상수학]]