올림과 버림 문서 원본 보기

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{{다른 뜻 넘어옴|내림|[[범주론]] 및 [[대수기하학]] 용어|내림 데이터}}
'''올림'''과 '''버림'''(또는 '''내림''', '''절단''')은 [[근삿값]]을 구하는 방법 중 하나이다.

== 올림 ==
'''올림'''은 올림하려는 수보다 작지 않은 수 중에서 오차의 한계를 만족하는 가장 작은 수를 택한다. 수학적으로는 다음과 같이 표현할 수 있다.
{{인용문|<math>x\in\mathbb{R}</math>이고 오차의 한계가 <math>10^k \left(k\in\mathbb{Z}\right)</math>일 때, <math>x=n+\alpha,\ n=z\times 10^k\left(z\in\mathbb{Z}\right),\ \alpha\in\left[0,10^k\right)</math>로 쓸 수 있으면, <math>x</math>의 올림은 <math>\alpha=0</math>일 때 <math>n</math>이고, <math>\alpha\ne 0</math>일 때 <math>n+10^k</math>이다.}}
특히, 오차의 한계가 1(<math>\scriptstyle{k=0}</math>)인 경우, 즉 소수점 첫째 자리에서 올림하는 경우 <math>x</math>의 올림을 <math>\left\lceil x \right\rceil</math>라고도 쓰며, 이것은 <math>x</math>보다 작지 않은 최소 정수를 찾는 것과 같다.

*오차의 한계가 10이 되도록 하는 것을 "일의 자리에서 올림", 오차의 한계가 100이 되도록 하는 것을 "십의 자리에서 올림" 같은 식으로 말한다.
*오차의 한계가 1이 되도록 하는 것을 "소수점 (이하) 첫째 자리에서 올림", 오차의 한계가 0.1이 되도록 하는 것을 "소수점 (이하) 둘째 자리에서 올림" 같은 식으로 말한다.
*73을 일의 자리에서 올림하면 80이 되고(73=70+3 → 70+10=80), 십의 자리에서 올림하면 100이 된다(73=0+73 → 0+100=100).
*51.6137을 소수점 셋째 자리에서 올림하면 51.62이 되고(51.6137=51.61+0.0037 → 51.61+0.01=51.62), 일의 자리에서 올림하면 60이 된다(51.6137=50+1.6137 → 50+10=60).
*70을 일의 자리에서 올림하면 70이 된다(70=70+0 → 70).
*701을 십의 자리에서 올림하면 800이 된다(701=700+1 → 700+100=800).
*-211을 일의 자리에서 올림하면 -210이 된다(-211=-220+9 → -220+10=-210).
*-4.331을 소수점 첫째 자리에서 올림하면 -4가 되고(-4.331=-5+0.669 → -5+1=-4), 소수점 둘째 자리에서 올림하면 -4.3이 된다(-4.331=-4.4+0.069 → -4.4+0.1=-4.3).

== 버림 ==
'''버림'''은 버림하려는 수보다 크지 않은 수 중에서 오차의 한계를 만족하는 가장 큰 수를 택한다. 수학적으로는 다음과 같이 표현할 수 있다.
{{인용문|<math>x\in\mathbb{R}</math>이고 오차의 한계가 <math>10^k \left(k\in\mathbb{Z}\right)</math>일 때, <math>x=n+\alpha,\ n=z\times 10^k\left(z\in\mathbb{Z}\right),\ \alpha\in\left[0,10^k\right)</math>로 쓸 수 있으면, <math>x</math>의 버림은 <math>n</math>이다.}}
특히, 오차의 한계가 1(<math>\scriptstyle{k=0}</math>)인 경우, 즉 소수점 첫째 자리에서 버림하는 경우를 '''정수부분을 찾는다'''고 말한다.

* 오차의 한계가 10이 되도록 하는 것을 "일의 자리에서 버림", 오차의 한계가 100이 되도록 하는 것을 "십의 자리에서 버림" 같은 식으로 말한다.
* 오차의 한계가 1이 되도록 하는 것을 "소수점 (이하) 첫째 자리에서 버림", 오차의 한계가 0.1이 되도록 하는 것을 "소수점 (이하) 둘째 자리에서 버림" 같은 식으로 말한다.
* 13.141592를 일의 자리에서 버림하면 10이다(13.141592=10+3.141592 → 10).
* 5.6341432를 소수점 넷째 자리에서 버림하면 5.634이다(5.6341432=5.634+0.0001432 → 5.634).
* 32.438191288을 소수점 다섯째 자리에서 버림하면 32.4381이다(2.438191288=32.4381+0.000091288).
* 9265358을 백의 자리에서 버림하면 9265000이다9265358=9265000+358 → 9265000).
* -333.3을 일의 자리에서 버림하면 -340이다(-333.3=-340+6.7 → -340).
* -4.14를 소수점 첫째 자리에서 버림하면 -5이다(-4.14=-5+0.86 → -5).

== 절단의 상대오차 ==
실수 x를 [[부동소수점]] 기계 숫자로 나타낸 것을 fl(x)라고 할 때, 절단 오차를 구하는 과정은 다음과 같다. 우선 십진수 양의 실수 x는 [[부동소수점#형태|정규화]]된 형태로 다음으로 나타낼 수 있다.
:<math>x = (0.b_1 b_2 \cdots b_k b_{k+1} \cdots)_{10} \times 10^e</math>
k자리로 절단하는 경우의 [[관측값#상대오차|상대오차]]를 구한다면
:<math>\begin{matrix}
\left| \frac{x-fl(x)}{x} \right| &=& \left| \frac{(0.b_1 b_2 \cdots b_k b_{k+1} \cdots) \times 10^n - (0.b_1 b_2 \cdots b_k) \times 10^n}{(0.b_1 b_2 \cdots b_k b_{k+1} \cdots) \times 10^n} \right| \\
       &=& \left| \frac{0.b_{k+1} b_{k+2} b_{k+3} \cdots}{0.b_1 b_2 \cdots b_k b_{k+1}} \times 10^{-k} \right| \\
       &\leq& \frac{1}{0.1} \times 10^{-k} = 10^{-k+1}
\end{matrix}</math>
따라서 절단의 상대오차는 <math> \left| \frac{x-fl(x)}{x} \right| \leq 10^{-k+1}</math>이다.

== 참고 문헌 ==
* {{서적 인용|저자1=Abdelwahab Kharab|저자2=Ronald B. Guenther|제목=An Introduction to Numerical Methods A MATLAB Approach|번역제목=이공학도를 위한 수치해석|날짜=2013|출판사=학산미디어|isbn=978-89-966211-8-8 |ref=harv}}

== 같이 보기 ==
* [[바닥 함수와 천장 함수]]
* [[반올림]]

[[분류:산술]]
[[분류:수치해석학]]