올림 문서 원본 보기

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{{다른 뜻|반올림|수학에서 [[사상 (수학)|사상]]의 올림|근삿값을 구하는 방법}}

[[파일:Lifting diagram.svg|right|섬네일|100px|그림에서 사상 ''h''는 사상 ''f''의 올림이다.]]
[[수학]]의 [[범주론]] 등에서 주어진 [[사상 (수학)|사상]] ''f'': ''X'' → ''Y''와 사상 ''g'': ''Z'' → ''Y''에 대하여, ''f''에서 ''Z''로의 '''올림'''(lifting)이란 사상''h'': ''X'' → ''Z''를 의미하며, {{nowrap|1=''f'' = ''g''∘''h''}}로 표기한다.

[[위상수학]]에서 올림의 가장 대표적인 경우는 특정 [[위상 공간 (수학)|위상 공간]]에서 [[피복 공간]]의 [[경로 (위상수학)|경로]]로 올리는 것이다. 이를테면, [[구 (기하학)|구]]의 한 점과 반대쪽 점을 잇는 사상, 구에서 ([[사영 평면]]을 덮는) [[연속 함수]]로의 사상을 생각해보자. 이 사영 평면에서 경로는 [[구간|단위 구간]] [0,1]에서 출발하는 연속 함수이다. 이때 구 위의 두 점을 잇는 경로에 대하여 그 중 하나의 점을 택하는 식으로 해당 경로(사상)를 구로 올림할 수 있으며, 이때 함수의 연속성은 유지된다. 이제 구 위의 두 점을 잇는 경로는 올려진 사상에서는 유일한 경로가 된다. 따라서 연속 함수 사상을 갖는 위상 공간의 [[범주 (수학)|범주]]에서 다음과 같이 표시할 수 있다:
:<math>f\colon\, [0,1] \to \mathbb{RP}^2</math> (사영 평면 경로)
:<math>g\colon\, S^2 \to \mathbb{RP}^2</math> (피복 함수)
:<math>h\colon\, [0,1] \to S^2</math> (구 위의 경로)

올림의 개념은 여러 곳에서 쓰인다. 예를 들어 [[올뭉치]]는 올림의 존재성으로 정의되며, [[스킴 (수학)|스킴]]에서의 분리된 [[고유 함수]]에 대한 판별 조건 등은 특정 올림에 대한 '유일성의 정리'로 전개된다.

[[대수적 위상수학]]과 [[호몰로지 대수학]]에서 [[텐서곱]]과 Hom 함자는 [[수반 함자|수반]]이다. 그러나 언제나 [[완전열]]로의 올림을 보장하지는 않는다. 이것이 [[Ext 함자]]와 [[Tor 함자]]를 따로 정의내리는 배경이 된다.

== 같이 보기 ==
* [[피복 공간]]
* [[사영 가군]]

{{토막글|수학}}

[[분류:범주론]]