올대상 문서 원본 보기

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[[모형 범주]]의 이론에서, '''올대상'''(對象, {{llang|en|fibrant object}})은 [[끝 대상]]으로의 유일한 사상이 쌍대올뭉치를 이루는, 모형 범주 속의 대상이다. 마찬가지로 '''쌍대올대상'''(雙對-對象, {{llang|en|fibrant object}})은 [[시작 대상]]으로의 유일한 사상이 올뭉치를 이루는 모형 범주 속의 대상이다.

== 정의 ==
[[모형 범주]] <math>\mathcal C</math>의 [[시작 대상]]을 <math>\varnothing</math>, [[끝 대상]]을 <math>\bullet</math>이라고 하자. 그렇다면, 다음을 정의한다.
* <math>\mathcal C</math>에서의 '''올대상'''({{llang|en|fibrant object}})은 유일한 사상 <math>X\to\bullet</math>이 올뭉치인 대상 <math>X</math>이다.<ref name="MP">{{서적 인용|이름1=Peter|성1=May|이름2=Kathleen|성2=Ponto|제목=More concise algebraic topology: localization, completion, and model categories|url=http://www.math.uchicago.edu/~may/TEAK/KateBookFinal.pdf|총서=Chicago Lectures in Mathematics|isbn=978-022651178-8|날짜=2012-02|출판사=University of Chicago Press|언어=en|확인날짜=2017-06-20|보존url=https://web.archive.org/web/20170706083202/http://www.math.uchicago.edu/~may/TEAK/KateBookFinal.pdf|보존날짜=2017-07-06|url-status=dead}}</ref>{{rp|277, Definition 14.2.7}}
* <math>\mathcal C</math>에서의 '''쌍대올대상'''({{llang|en|cofibrant object}})은 유일한 사상 <math>\varnothing\to X</math>가 쌍대올뭉치인 대상 <math>X</math>이다.<ref name="MP"/>{{rp|277, Definition 14.2.7}}
* <math>\mathcal C</math>에서의 '''쌍올대상'''(雙-對象, {{llang|en|bifibrant object}})은 올대상이자 쌍대올대상인 대상이다.<ref name="MP"/>{{rp|278, Definition 14.2.7}}

=== 올대상 분해 ===
모형 범주 <math>\mathcal C</math>의 대상 <math>X\in\mathcal C</math>의 '''올대상 분해'''({{llang|en|fibrant resolution}})는 다음과 같다.<ref name="MP"/>{{rp|277, Definition 14.2.7}}
:<math>X\xrightarrow\simeq\hat X\twoheadrightarrow\bullet</math>
여기서 <math>\xrightarrow\simeq</math>는 호모토피 동치이며, <math>\twoheadrightarrow</math>는 올뭉치이며, <math>\bullet</math>은 [[끝 대상]]이다. 즉, <math>\hat X</math>는 올대상이다. 만약 <math>\xrightarrow\simeq</math>가 추가로 쌍대올뭉치라면, 이를 '''좋은 올대상 분해'''({{llang|en|good fibrant resolution}})라고 한다.

모형 범주 <math>\mathcal C</math>의 대상 <math>X\in\mathcal C</math>의 '''쌍대올대상 분해'''({{llang|en|cofibrant resolution}})는 다음과 같다.<ref name="MP"/>{{rp|277, Definition 14.2.7}}
:<math>\varnothing\hookrightarrow \hat X\xrightarrow\simeq X</math>
여기서 <math>\xrightarrow\simeq</math>는 호모토피 동치이며, <math>\hookrightarrow</math>는 쌍대올뭉치이며, <math>\varnothing</math>은 [[시작 대상]]이다. 즉, <math>\hat X</math>는 올대상이다. 만약 <math>\xrightarrow\simeq</math>가 추가로 올뭉치라면, 이를 '''좋은 쌍대올대상 분해'''({{llang|en|good cofibrant resolution}})라고 한다.

== 성질 ==
모형 범주의 정의에 따라, 모든 대상은 좋은 올대상 분해 및 좋은 쌍대올대상 분해를 갖는다.

== 예 ==
[[단체 집합]]의 모형 범주에서 올뭉치는 칸 올뭉치({{llang|en|Kan fibration}})이며, 올대상은 '''[[칸 복합체]]'''({{llang|en|Kan complex}})라고 한다.

[[위상 공간 (수학)|위상 공간]]의 (퀼런) 모형 범주에서 [[CW 복합체]]는 쌍대올대상이다. 이에 따라, 모든 위상 공간은 [[CW 복합체]]와의 [[약한 호모토피 동치]]를 갖는다.

== 각주 ==
{{각주}}

== 외부 링크 ==
* {{nlab|id=fibrant object|title=Fibrant object}}
* {{nlab|id=fibrant replacement|title=Fibrant replacement}}
* {{nlab|id=fibrant type|title=Fibrant type}}
* {{nlab|id=Kan complex}}
* {{nlab|id=m-cofibrant space}}

[[분류:호모토피 이론]]