올다발 문서 원본 보기

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[[위상수학]]에서 '''올다발'''({{llang|en-US|fiber bundle}}, {{llang|en-GB|fibre bundle}})은 [[국소적]]으로 두 공간의 곱집합처럼 보이는 [[위상 공간 (수학)|위상 공간]]이다. 전체적(globally)으로는 위상적으로 단순한 곱집합과 [[위상동형]]이 아니라 더 복잡한 위상구조를 가지고 있을 수 있다. 다발 이론은 [[대수적 불변량]]을 통해 주어진 올다발이 어떤 위상구조를 가지는지 다룬다.

==정의==
<math>E, B, F</math>가 세 개의 [[위상 공간 (수학)|위상 공간]]이라고 하자. 대략, <math>E</math>의 모든 점 근처의 [[근방]]이 <math>B\times F</math>의 꼴이라면 <math>E</math>를 '''밑공간'''({{lang|en|base space}}) <math>B</math> 위에 놓인, '''올공간'''({{lang|en|fiber space}})이 <math>F</math>인 '''올다발'''이라고 한다.

엄밀히 말해, 올다발 <math>(E,B,\pi,F)</math>는 다음과 같은 데이터로 이루어져 있다. <math>E</math>, <math>B</math>, <math>F</math>는 위상 공간이며,
:<math>\pi\colon E \to B</math>
는 올다발에서 밑공간으로 사영하는 연속적인 [[전사 함수]]다. 이 데이터가 올다발을 이루기 위해서는 임의의 점 <math>x\in E</math>에 대하여, <math>\pi^{-1}(U)</math>가 <math>U\times F</math>와 [[위상동형]]인 [[근방]] <math>U\ni\pi(x)</math>가 존재하여야 한다. 뿐만 아니라, <math>\pi\colon\pi^{-1}(U)\to U</math>가 사영 함수 <math>U\times F\to U</math>와 (위상 동형 아래) 같아야 한다.

=== 다발 사상 ===
같은 밑공간 위의 두 올다발
:<math>E\overset{\pi_E}\twoheadrightarrow B\overset{\pi_F}\twoheadleftarrow F</math>
이 주어졌다고 하자. <math>E</math>에서 <math>F</math>로 가는 '''다발 사상'''(-寫像, {{llang|en|bundle map}}) <math>f\colon E\to F</math>는
:<math>\pi_E=f\circ\pi_F</math>
를 만족시키는 [[연속 함수]]이다. 즉, 다음 그림이 가환하여야 한다.
:<math>\begin{matrix}
E&\overset{\pi_E}\twoheadrightarrow&B\\
{\scriptstyle f}\downarrow&&\downarrow\scriptstyle\operatorname{id}_B\\
F&\underset{\pi_F}\twoheadrightarrow&B
\end{matrix}</math>

== 예 ==
=== 자명한 다발 ===
올다발의 가장 간단한 예는 <math>E=B\times F</math>인 경우다. 이 때 <math>\pi\colon(b,f)\mapsto b</math>는 단순히 사영 함수다. 이러한 경우를 '''자명한 다발'''({{lang|en|trivial bundle}})이라고 한다.

=== 벡터 다발 ===
{{본문|벡터 다발}}
올다발의 대표적인 예는 '''[[벡터 다발]]'''이다. 이는 올다발의 올공간이 [[벡터 공간]]인 경우로, [[리만 다양체]]의 [[접다발]]과 [[공변접다발]]이 대표적인 예이다. 1차원 벡터 다발은 '''[[선다발]]'''이라고 한다.

=== 주다발 ===
{{본문|주다발}}
'''[[주다발]]'''은 올공간이 [[군 (수학)|군]]을 이루는 경우로, [[미분위상수학]]과 [[미분기하학]]에서 중요한 역할을 하며 또한 [[게이지 이론]]에 핵심적인 개념이다.

=== 피복 공간 ===
{{본문|피복 공간}}
올공간이 <math>n</math>개의 점으로 구성된 [[이산 공간]]인 올공간은 <math>n</math>겹 '''[[피복 공간]]'''이라고 한다.

=== 기타 올다발 ===
이 밖에도, 올이 다른 임의의 [[위상 공간 (수학)|위상 공간]]을 이룰 수 있다. 예를 들어, [[호프 다발]]은 그 올이 [[구 (기하학)|구]]인 경우다.

== 참고 문헌 ==
* {{서적 인용|성=Steenrod|이름=Norman|제목=The topology of fibre bundles|위치=[[프린스턴 (뉴저지주)|Princeton]]|출판사=[[프린스턴 대학교|Princeton University]] Press|날짜=1951|총서=Princeton Mathematical Series |권=14| isbn=978-0-691-00548-5|언어=en|mr=0039258|zbl=0942.55002}}
* {{인용|first=David|last=Bleecker|title=Gauge Theory and Variational Principles|publisher=Addison-Wesley publishing|publication-place=Reading, Mass|year=1981|isbn=0-201-10096-7}}
* {{콘퍼런스 인용| first = C | last = Ehresmann | authorlink=샤를 에레스만|title = Les connexions infinitésimales dans un espace fibré différentiable | booktitle = Colloque de Topologie (Espaces fibrés), Bruxelles, 1950 |publisher = Georges Thone, Liège; Masson et Cie., Paris, 1951 | pages = 29–55}}
* {{인용|first=Dale|last=Husemöller|title=Fibre Bundles|publisher=Springer Verlag|year=1994|isbn=0-387-94087-1}}
* {{인용|first=Peter W.|last=Michor|title=Topics in Differential Geometry|series=Graduate Studies in Mathematics|volume=Vol. 93|publisher=American Mathematical Society|publication-place=Providence|year=2008}} (''to appear'').
* {{springer|first=M.I.|last=Voitsekhovskii|id=F/f040060|title=Fibre space|year=2001}}

== 외부 링크 ==
* {{eom|title=Fibre space}}
* {{매스월드|id=FiberBundle|title=Fiber bundle}}
* {{매스월드|id=Bundle|title=Bundle}}
* {{매스월드|id=Fiber|title=Fiber}}
* {{매스월드|id=BundleMap|title=Bundle map}}
* {{매스월드|id=BundleSection|title=Bundle section}}
* {{nlab|id=fiber bundle|title=Fiber bundle}}
* {{nlab|id=fiber bundles in physics|title=Fiber bundles in physics}}
* {{nlab|id=bundle|title=Bundle}}
* {{nlab|id=fiber|title=Fiber}}

== 같이 보기 ==
* [[올뭉치]]
* [[엽층]]
* [[주다발]]
* [[벡터 다발]]
* [[선다발]]
* [[에레스만 접속]]

{{전거 통제}}

[[분류:올다발| ]]