오차 삼중체 문서 원본 보기

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[[수학]]에서 '''오차 삼중체'''({{llang|en|Quintic threefold}})는 4차원 [[사영 공간]] <math>\mathbb{P}^4</math>에서 오차 초곡면(즉, 여차원이 1)인 다형체이다. 비특이 오차 삼중체는 [[칼라비-야우 다양체]]도 된다.

비특이 오차 삼중체의 호지 다이아몬드는 다음과 같다.
[[파일:오차 삼중체의 호지다이아몬드.png|가운데|섬네일|282x282픽셀]]

수학자 [[로베르튀스 데이크흐라프]]는 "모든 대수 기하학자가 알고 있는 숫자 중 하나는 2,875이다. 왜냐하면 분명히 그것은 오차 삼중체 안의 모든 직선들의 수이기 때문이다"라고 말했다.<ref>{{웹 인용|url=https://www.youtube.com/watch?v=6oWLIVNI6VA|제목=The Unreasonable Effectiveness of Quantum Physics in Modern Mathematics|성=Robbert Dijkgraaf|저자링크=Robbert Dijkgraaf|날짜=29 March 2015|웹사이트=youtube.com|출판사=Trev M|보존url=https://web.archive.org/web/20230908014116/https://www.youtube.com/watch?v=6oWLIVNI6VA|보존날짜=2023-09-08|url-status=|확인날짜=10 September 2015}} see 29 minutes 57 seconds</ref>

== 정의 ==
오차 삼중체는 <math>\mathbb{P}^4</math>안의 <math>5</math>차 [[사영 다형체]]이고, [[칼라비-야우 다양체]]의 특별한 종류이다. 많은 예제가 <math>\mathbb{P}^4</math>안의 [[초곡면]] 또는 <math>\mathbb{P}^4</math>에 있는 완전 교차 또는 다른 다형체의 특이점을 해결하는 매끄러운 다형체로 구성된다. 집합으로서 칼라비-야우 다양체는 다음과 같다.<math display="block">X = \{x = [x_0:x_1:x_2:x_3:x_4] \in \mathbb{CP}^4 : p(x) = 0 \}</math><math display="block">X = \{x = [x_0:x_1:x_2:x_3:x_4] \in \mathbb{CP}^4 : p(x) = 0 \} </math>여기서 <math>p(x)</math>는 <math>5</math>차 동차 다항식이다. 가장 많이 연구된 예 중 하나는 다항식<math display="block">p(x) = x_0^5 + x_1^5 + x_2^5 + x_3^5 + x_4^5  </math>에서 나온 것이다. 이를 페르마 다항식이라고 한다. [[첨가공식 (대수기하)|Adjunction 공식]], [[매끄러운 스킴|매끄러움 조건]] 등을 통해 이 다항식이 [[칼라비-야우 다양체]]이기도 함을 증명한다.

=== P<sup>4</sup>안의 초곡면 ===
동차 다항식 <math>f \in \Gamma(\mathbb{P}^4,\mathcal{O}(d))</math>이 (여기서 <math>\mathcal{O}(d)</math>는 [[보편 가역층|초평면 선다발]]의 세르 꼬임이다.) 다음 대수에서 [[사영 다형체]] 또는 사영 스킴 <math>X</math>을 정의한다. <math display="block">\frac{k[x_0,\ldots, x_4]}{(f)}  </math>여기서 <math>k</math>는, 예를 들어, <math>\mathbb{C}</math> 같은 체이다. 그런 다음 표준 [[표준 선다발|다발]]을 계산하기 위해 Adjunction 공식을 사용하여 다음을 얻는다.<math display="block">\begin{align}
\Omega_X^3 &= \omega_X \\
&= \omega_{\mathbb{P}^4}\otimes \mathcal{O}(d) \\
&\cong \mathcal{O}(-(4+1))\otimes\mathcal{O}(d) \\
&\cong \mathcal{O}(d-5)
\end{align}  </math>따라서, 이 다형체가 칼라비-야우 다양체가 되려면, 자명한 표준 다발이 있음을 의미하며 그 차수는 <math>5</math>이여야 한다. 추가로 이 다형체가 [[매끄러운 스킴|매끄러우면]] 칼라비-야우 다양체이다. 이는 다항식들<math display="block">\partial_0f,\ldots, \partial_4f </math>의 영점을 보고, 집합<math display="block">\{ x = [x_0:\cdots:x_4] | f(x) = \partial_0f(x) = \cdots = \partial_4f(x) = 0 \} </math>이 공집합임을 보면 확인할 수 있다.

== 예 ==
=== 페르마 오차 삼중체 ===
칼라비-야우 다양체를 확인하는 가장 쉬운 예 중 하나는 다항식<math display="block">f = x_0^5 + x_1^5 + x_2^5 + x_3^5 + x_4^5  </math>의 영점 집합에 의해 정의되는 페르마 오차 삼중체에 의해 제공된다. <math>f</math>의 편도함수들은<math display="block">\begin{align}
\partial_0f = 5x_0^4\\
\partial_1f = 5x_1^4 \\
\partial_2f = 5x_2^4 \\
\partial_3f = 5x_3^4 \\
\partial_4f = 5x_4^4 \\
\end{align}  </math>이고, 이 식들이 영이 되는 점들은 오직 <math>\mathbb{P}^4</math>의 좌표축에 의해 주어지고, <math>[0:0:0:0:0]</math>은 <math>\mathbb{P}^4</math>안의 점이 아니므로 영점 집합은 비어 있다.

==== 호지 추측의 시험장으로써 ====
무한소로 일반화된 [[호지 추측]]이라는 어려운 문제가 오차 삼중체에 대한 경우 해결된다.<ref>{{저널 인용|제목=Lines on the Fermat quintic threefold and the infinitesimal generalized Hodge conjecture|저널=Transactions of the American Mathematical Society|성=Albano|이름=Alberto|성2=Katz|이름2=Sheldon|url=https://www.ams.org/tran/1991-324-01/S0002-9947-1991-1024767-6/|날짜=1991|권=324|호=1|쪽=353–368|언어=en|doi=10.1090/S0002-9947-1991-1024767-6|issn=0002-9947}}</ref> 실제로 이 초곡면의 모든 직선은 명시적으로 찾을 수 있다.

=== 오차 삼중체의 Dwork 족 ===
다양한 맥락에서 연구되는 오차 삼중체의 또 다른 인기 있는 예는 [[드워크 가족|Dwork 족]]이다. 그러한 족에 대한 유명한 연구 중 하나는 Candelas, De La Ossa, Green 및 Parkes가 [[거울 대칭]]을 발견했을 때<ref>{{저널 인용|제목=A pair of Calabi-Yau manifolds as an exactly soluble superconformal theory|저널=Nuclear Physics B|성=Candelas|이름=Philip|성2=De La Ossa|이름2=Xenia C.|url=https://dx.doi.org/10.1016/0550-3213%2891%2990292-6|날짜=1991-07-29|권=359|호=1|쪽=21–74|언어=en|bibcode=1991NuPhB.359...21C|doi=10.1016/0550-3213(91)90292-6|issn=0550-3213|성3=Green|이름3=Paul S.|성4=Parkes|이름4=Linda}}</ref>이다. 이것은 족<math display="block">f_\psi = x_0^5 + x_1^5 + x_2^5 + x_3^5 + x_4^5 - 5\psi x_0x_1x_2x_3x_4  </math>에 의해 제공된다.<ref>{{서적 인용|url=https://www.springer.com/gp/book/9783540440598|제목=Calabi-Yau Manifolds and Related Geometries: Lectures at a Summer School in Nordfjordeid, Norway, June 2001|성=Gross|이름=Mark|성2=Huybrechts|이름2=Daniel|날짜=2003|편집자-성=Ellingsrud|편집자-이름=Geir|편집자2-성=Olson|총서=Universitext|출판사=Springer-Verlag|위치=Berlin Heidelberg|쪽=123–125|언어=en|isbn=978-3-540-44059-8|성3=Joyce|이름3=Dominic|편집자3-성=Ranestad|편집자4-성=Stromme}}</ref><sup>페이지 123-125</sup> 여기서 <math>\psi</math>는 1의 5 [[1의 거듭제곱근|제곱근]]이 아닌 단일 매개변수이다. 이는 <math>f_\psi</math>의 편도함수들의 근을 계산하여 찾을 수 있다. 편도함수들은 다음과 같이 주어진다:<math display="block">\begin{align}
\partial_0f_\psi = 5x_0^4 - 5\psi x_1x_2x_3x_4 \\
\partial_1f_\psi = 5x_1^4 - 5\psi x_0x_2x_3x_4 \\
\partial_2f_\psi = 5x_2^4 - 5\psi x_0x_1x_3x_4 \\
\partial_3f_\psi = 5x_3^4 - 5\psi x_0x_1x_2x_4\\
\partial_4f_\psi = 5x_4^4 - 5\psi x_0x_1x_2x_3\\
\end{align} </math>편도함수가 모두 0인 점에서 이는 <math>x_i^5 = \psi x_0x_1x_2x_3x_4</math> 관계를 제공한다. 예를 들어, <math>\partial_0f_\psi</math>에서 <math>5</math>를 나누고 각 변에 <math>x_0</math>을 곱해서

<math display="block">\begin{align}
5x_0^4 &= 5\psi x_1x_2x_3x_4 \\
x_0^4 &= \psi x_1x_2x_3x_4 \\
x_0^5 &= \psi x_0x_1x_2x_3x_4
\end{align} </math>를 얻는다. <math>x_i^5 = \psi x_0x_1x_2x_3x_4</math>와 이러한 방정식 족을 곱함으로써 해가 <math>x_i = 0</math> 또는 <math>\psi^5 = 1</math>임을 보여주는 다음 등식을 얻는다.<math display="block">\prod x_i^5 = \psi^5 \prod x_i^5    </math>그러나 첫 번째 경우에는 <math>f_\psi</math>로 변하는 항이 사라지기 때문에 특이점이 <math>\psi^5 = 1</math>에 있어야하므로 매끄러운 영점 부분 집합을 제공한다. 주어진 그러한 <math>\psi</math>에 대해, 특이점은 다음과 같은 형태이다.<math display="block">[\mu_5^{a_0}:\cdots:\mu_5^{a_4}]\; \text{s.t.}\; \mu_5^{\sum a_i}=\psi^{-1}  </math>

여기서 <math>\mu_5 = e^{2 \pi i / 5}</math>. 예를 들어, 점<math display="block">[\mu_5^4:\mu_5^{-1}:\mu_5^{-1}:\mu_5^{-1}:\mu_5^{-1}] </math>은 <math>f_1</math>과 그 이후의 편도함수 둘 다의 해다. 왜냐하면, <math>(\mu_5^i)^5 = (\mu_5^5)^i = 1^i = 1</math>, 그리고 <math>\psi = 1</math>이기 때문이다.

=== 다른 예 ===
* [[바르트-니에토 퀸틱|바르트-니에토 오차 삼중체]]
* [[콘사니-숄텐 5차|콘사니-숄텐 오차 삼중체]]

== 오차 삼중체 안의 곡선 ==
<math>1</math>차 유리 곡선들의 수는 [[슈베르트 미적분]]을 사용하여 명시적으로 계산할 수 있다. <math>T^*</math>를 랭크 <math>5</math> 벡터 공간의  <math>2</math> -평면의 [[그라스만 다양체|그라스마니안]] <math>G(2,5)</math>의 랭크 <math>2</math> 벡터 다발이라 하자. <math>G(2,5)</math>를 <math>\mathbb{G}(1,4)</math>로 사영하면 <math>\mathbb{P}^4</math> 안의 1차 사영 그라스마니안 직선이다. 그리고 <math>T^*</math>는 이 사영 그라스마니안의 벡터 다발로 [[내림 데이터|내려간다]]. 이의 총 [[천 특성류]]는 저우 환 <math>A^\bullet(\mathbb{G}(1,4))</math> 안에서 다음과 같다.<math display="block">c(T^*) = 1 + \sigma_1 + \sigma_{1,1} </math>이제, 이 다발의 단면 <math>l \in \Gamma(\mathbb{G}(1,4),T^*)</math>은 선형 동차 다항식 <math>\tilde{l} \in \Gamma(\mathbb{P}^4,\mathcal{O}(1))</math>에 대응한다.  그래서, <math>\text{Sym}^5(T^*)</math>의 단면은 <math>\Gamma(\mathbb{P}^4,\mathcal{O}(5))</math>의 단면인 오차 다항식에 대응 한다. 그러면, 오차 삼중체에 놓인 직선들의 수를 구하려면, 이 적분<math display="block">\int_{\mathbb{G}(1,4)} c(\text{Sym}^5(T^*)) = 2875  </math>을 계산하는 것으로 충분하다.<ref>{{서적 인용|title=Enumerative Geometry and String Theory|last=Katz|first=Sheldon|pages=108}}</ref>이는 분할 원리를 사용하여 수행할 수 있다. 왜냐하면<math display="block">\begin{align}
c(T^*) &= (1+\alpha)(1+\beta) \\
&= 1 + (\alpha + \beta) + \alpha\beta
\end{align} </math>그리고 <math>2</math>차원 벡터 공간 <math>V = V_1\oplus V_2</math>의 경우,<math display="block">\text{Sym}^5(V) = \bigoplus_{i=0}^5 (V_1^{\otimes 5-i}\otimes V_2^{\otimes i}) </math>그래서 <math>\text{Sym}^5(T^*)</math>의 총 천 특성류는 곱<math display="block">c(\text{Sym}^5(T^*)) = \prod_{i=0}^5 (1 + (5-i)\alpha + i\beta) </math>으로 주어진다. 그러면 [[오일러 특성류]] 또는 최고차 특성류는 다음과 같다.<math display="block">5\alpha(4\alpha + \beta)(3\alpha + 2\beta)(2\alpha + 3\beta)(\alpha + 4\beta)5\beta </math>이것을 원래의 천 특성류 측면에서 관계 <math>\sigma_{1,1}\cdot \sigma_1^2 = \sigma_{2,2}</math>, <math>\sigma_{1,1}^2 = \sigma_{2,2}</math>를 이용해서 확장하면 다음과 같다.<math display="block">\begin{align}
c_6(\text{Sym}^5(T^*)) &= 25\sigma_{1,1}(4\sigma_1^2 + 9\sigma_{1,1})(6\sigma_1^2 + \sigma_{1,1}) \\
&= (100 \sigma_{2,2} + 225\sigma_{2,2})(6\sigma_1^2 + \sigma_{1,1}) \\
&= 325\sigma_{2,2}(6\sigma_1^2 + \sigma_{1,1})
\end{align}   </math>

=== 유리 곡선 ===
헤르베르트 클레멘스는 주어진 일반 오차 삼중체 안의 주어진 차수의 모든 유리 곡선들의 수는 유한하다고 추측하였다. (어떤 매끄럽지만 일반이 아닌(non-generic) 오차 삼중체는 무한한 직선 족을 내포하고 있다.) 셸던 카츠가 7차까지 이 추측이 성립함을 보였다. 그는 또한 모든 2차 유리 곡선의 수 609250를 계산 하였다. Philip Candelas, Xenia de la Ossa 등은 임의의 차수에 대한 유리 곡선들의 가상 수에 대한 일반적 공식을 추측하였고 Givental이 증명하였다. (가상 수가 실제 수와 같다는 것은 클레멘스의 추측의 증명에 달렸다. 현재까지 11차 유리 곡선까지 증명되었다. {{하버드 인용 본문|Cotterill|2012}}). 일반 오차 삼중체 안의 차수별 유리 곡선들의 수는 다음 수열로 주어진다.

: 2875, 609250, 317206375, 242467530000, ... {{OEIS|A076912}}.

일반 오차 삼중체는 칼라비-야우 삼중체이고 주어진 차수의 유리 곡선의 모듈라이 공간은 이산적이고 유한 집합(따라서 콤팩트)이므로 잘 정의된 도날드슨-토마스 불변량 ("가상 점 수")을 갖는다. 적어도 1차와 2차의 경우 이는 실제 점 수와 일치한다.

== 같이 보기 ==
* [[거울 대칭 가설]]
* [[거울 대칭|거울대칭(끈이론)]]
* [[그로모프-위튼 불변량]]
* 야코비 이데알 - 호지 분해에 대한 명확한 기초를 제공한다.
* 변형 이론
* [[호지 구조]]
* [[슈베르트 미적분학]] - 오차 삼중체의 직선들 수를 결정하는 방법

== 각주 ==
{{각주}}

* {{인용|last=Arapura|first=Donu|title="Computing Some Hodge Numbers"|url=http://www.math.purdue.edu/~dvb/preprints/book-chap17.pdf}}
* {{인용|last1=Candelas|first1=Philip|last2=de la Ossa|first2=Xenia C.|last3=Green|first3=Paul S.|last4=Parkes|first4=Linda|title=A pair of Calabi-Yau manifolds as an exactly soluble superconformal theory|doi=10.1016/0550-3213(91)90292-6|mr=1115626|year=1991|journal=Nuclear Physics B|volume=359|issue=1|pages=21–74|bibcode=1991NuPhB.359...21C}}
* {{인용|last=Clemens|first=Herbert|author-link=Herbert Clemens|title=Topics in transcendental algebraic geometry (Princeton, N.J., 1981/1982)|publisher=[[Princeton University Press]]|series=Ann. of Math. Stud.|mr=756858|year=1984|volume=106|chapter=Some results about Abel-Jacobi mappings|pages=289–304}}
* {{인용|last1=Cotterill|first1=Ethan|title=Rational curves of degree 11 on a general quintic 3-fold|mr=2967162|year=2012|journal=The Quarterly Journal of Mathematics|volume=63|issue=3|pages=539–568|doi=10.1093/qmath/har001}}
* {{인용|last1=Cox|first1=David A.|author-link=David A. Cox|last2=Katz|first2=Sheldon|author-link2=Sheldon Katz|title=Mirror symmetry and algebraic geometry|url=https://www.ams.org/bookstore-getitem/item=surv-68.s|publisher=[[American Mathematical Society]]|location=Providence, R.I.|series=Mathematical Surveys and Monographs|isbn=978-0-8218-1059-0|mr=1677117|year=1999|volume=68}}
* {{인용|last1=Givental|first1=Alexander B.|title=Equivariant Gromov-Witten invariants|doi=10.1155/S1073792896000414|mr=1408320|year=1996|journal=[[International Mathematics Research Notices]]|issue=13|pages=613–663|volume=1996|doi-access=free}}
* {{인용|last=Katz|first=Sheldon|author-link=Sheldon Katz|title=On the finiteness of rational curves on quintic threefolds|url=http://www.numdam.org/item?id=CM_1986__60_2_151_0|mr=868135|year=1986|journal=[[Compositio Mathematica]]|volume=60|issue=2|pages=151–162}}
* {{인용|last1=Pandharipande|first1=Rahul|title=Rational curves on hypersurfaces (after A. Givental)|url=http://www.numdam.org/item?id=SB_1997-1998__40__307_0|mr=1685628|year=1998|journal=Astérisque|volume=1997/98|issue=252|pages=307–340|arxiv=math/9806133|bibcode=1998math......6133P}}

[[분류:복소다양체]]
[[분류:대수다양체]]