오일러 특성류 문서 원본 보기

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[[대수적 위상수학]]에서 '''오일러 특성류'''(Euler特性類, {{llang|en|Euler characteristic class}})는 유향 실수 [[벡터 다발]]에 의하여 정의되는 [[특성류]]이다. 거칠게 말해 벡터 다발이 얼마나 ‘뒤틀려 있는지’를 나타낸다. [[다양체]]의 [[접다발]]의 오일러 특성류는 [[오일러 지표]]와 같다.

== 정의 ==
=== 톰 동형에 의한 정의 ===
다음 데이터가 주어졌다고 하자.
* [[위상 공간 (수학)|위상 공간]] <math>X</math>
* [[유클리드 공간]] <math>\mathbb R^n</math>을 올로 하는 <math>X</math> 위의 [[벡터 다발]] <math>E</math>와 사영 <math>\pi\colon E\to X</math>
* <math>E</math> 위에 정의된 [[방향 (다양체)|방향]]. 다시 말해 각 <math>x\in X</math>에 대하여 정수 계수 [[상대 코호몰로지]]류 <math>\operatorname H^n(E_x,E_x\setminus\{0\};\mathbb Z)</math>를 부여하며 이 대응은 연속적이다.
<math>E\setminus X=\bigcup_{x\in X}(E_x\setminus\{0_{E_x}\})</math>로 정의하면, 방향으로부터 [[톰 동형]]<ref name="MS">{{서적 인용
  |이름 = John Willard|성=Milnor | 저자링크=존 밀너 | 이름2= James Dillon |성2= Stasheff
  |제목= Characteristic classes
  |출판사=Princeton University Press
  |날짜= 1974
  | url = http://press.princeton.edu/titles/1571.html | 총서=Annals of Mathematics Studies | 권=76 | isbn=978-0-691-08122-9 | 언어=en}}</ref>{{rp|97, §9}}
:<math>\phi\colon\operatorname H^\bullet(X;\mathbb Z)\to\operatorname H^{\bullet+n}(E,E\setminus X;\mathbb Z)</math>
:<math>\phi\colon x\mapsto (\pi^*x)\smile u</math>
가 존재하므로 정수 계수 [[상대 코호몰로지]]류 <math>u\in\operatorname H^n(E,E\setminus X;\mathbb Z)</math>를 특정할 수 있다.

한편, 사상 <math>C_\bullet(X) \hookrightarrow C_\bullet(E) \twoheadrightarrow C_\bullet(E)/C_\bullet{(E\setminus X)}</math>에 의한 코호몰로지끼리의 사상
: <math>\operatorname H^n(E,E\setminus X;\mathbb Z) \overset{q^*}\to \operatorname H^n(E) \overset{{\pi^{-1}}^*}\to \operatorname H^n(X)</math>
가 존재하는데, 이를 통해 [[코호몰로지류]]
:<math>{\pi^{-1}}^*q^*u\in \operatorname H^n(X;\mathbb Z)</math>
를 만들 수 있으며 이를 <Math>E</math>의 '''오일러 특성류''' <math>\operatorname e(E)</math>로 정의한다.<ref name="MS"/>{{rp|98, §9}}

=== 장해 이론에 의한 정의 ===

== 성질 ==
오일러 특성류는 다른 [[특성류]]와 마찬가지로 다음과 같은 공리적 성질들을 만족시킨다.
* [[함자 (수학)|함자성]]: 임의의 두 유향 실수 벡터 다발 <math>E\twoheadrightarrow X</math>, <math>E\twoheadrightarrow Y</math> 및 향을 보존하는 연속 [[올다발 사상]] <math>F\to E</math>에 대하여, <math>\operatorname e(F)=(f\restriction Y)^*\operatorname e(E)</math>.
* 합에 대한 분해: 임의의 두 유향 실수 벡터 다발 <math>E\twoheadrightarrow X</math>, <math>E\twoheadrightarrow X</math>에 대하여, <math>\operatorname e(E\oplus F)=\operatorname e(E)\smile\operatorname e(F)</math>.
* 만약 <math>E</math>에 반대 방향을 부여한 것을 <math>\bar E</math>라고 한다면, <math>\operatorname e(\bar E)=-\operatorname e(E)</math>

또한, 오일러 특성류는 다음과 같은 특성을 갖는다.
:만약 <math>E</math>가 어디서도 0이 아닌 [[단면 (올다발)|단면]]을 갖는다면, <math>\operatorname e(E)=0</math>
즉, 오일러 특성류는 실수 [[벡터 다발]]이 어디서도 0이 아닌 [[단면 (올다발)|단면]]을 갖는 것의 방해물이다. 그러나 오일러 특성류는 어디서도 0이 아닌 [[단면 (올다발)|단면]]의 존재의 [[필수 조건]]이지만 [[충분 조건]]이 아니다.<ref>{{서적 인용|이름1=Raoul|성1=Bott|저자링크1=라울 보트|이름2=Loring Wuliang|성2=Tu|저자링크2=로링 투|제목=Differential forms in algebraic topology |날짜=1982|총서=Graduate Texts in Mathematics|권=82|issn=0072-5285|출판사=Springer-Verlag|isbn=978-1-4419-2815-3 |doi=10.1007/978-1-4757-3951-0|mr=658304|zbl= 0496.55001|언어=en}}</ref>{{rp|Example 23.16}}

=== 다른 특성류와의 관계 ===
표준적 [[몫환]] [[환 준동형|준동형]]
:<math>(+2\mathbb Z)\colon\mathbb Z\to\mathbb Z/{2\mathbb Z}=\mathbb F_2</math>
으로 유도되는 사상
:<math>(+2\mathbb Z)_*\colon \operatorname H^\bullet(X;\mathbb Z)\to\operatorname H^\bullet(X;\mathbb F_2)</math>
아래, 오일러 특성류의 [[상 (수학)|상]]은  최고차 [[슈티펠-휘트니 특성류]]이다.
:<math>(+2\mathbb Z)_*\operatorname e(E)=\operatorname w_n(E)</math>

임의의 <math>k</math>차원 복소수 벡터 다발 <math>E</math>는 <math>2n</math>차원 유향 실수 벡터 다발로 여길 수 있다. 이 경우, 오일러 특성류는 최고차 [[천 특성류]]와 같다.
:<math>\operatorname e(E)=\operatorname c_n(E)</math>

<math>2n</math> 차원 유향 벡터 다발 <math>E</math>의 오일러 특성류의 제곱은 최고차 [[폰트랴긴 특성류]]와 같다.
:<math>\operatorname e(E)\smile\operatorname e(E)=\operatorname p_n(E)</math>

=== 매끄러운 다양체의 경우 ===
<math>M</math>이 <math>n</math>차원 [[연결 공간|연결]] [[유향 다양체|유향]] [[매끄러운 다양체]]라고 하자. 그렇다면, 그 [[접다발]] <math>\operatorname TM</math>은 유향 실수 [[매끄러운 벡터 다발]]이다. 그 오일러 특성류와 [[기본류]] <math>[M]\in\operatorname H_n(M;\mathbb Z)</math>의 [[교곱]]은 <math>\operatorname H_0(M;\mathbb Z)\cong\mathbb Z</math>의 원소이며 그 값은 [[오일러 지표]]와 같다.
:<math>[M]\frown \operatorname e(\mathrm TM)=\chi(M)</math>
다시 말해 오일러 특성류는 오일러 지표의 일반화라 할 수 있다.

== 역사 ==
[[파일:René Thom.jpeg|섬네일|르네 톰]]

[[르네 톰]]은 [[슈티펠-휘트니 특성류]]를 일반화한 특성류가 [[오일러 지표]]와 관련이 있다는 것을 {{출처|발견했다|날짜=2019-06-06}}.<ref>{{서적 인용|이름=R.|성=Thom |장=Espaces fibrés en sphères et carrés de Steenrod | 제목=Annales scientifiques de l'École Normale Supérieure |series=3 |권=69 |날짜=1952|쪽= 109-182| |언어=fr |url=http://www.numdam.org/item/ASENS_1952_3_69__109_0/ }}</ref> 그 이후 ‘오일러 특성류’라는 이름이 붙었다.

== 각주 ==
{{각주}}

== 외부 링크 ==
* {{eom|title=Euler class}}
* {{nlab|id=Euler class}}
* {{웹 인용|url=http://mathoverflow.net/questions/31376/vanishing-of-euler-class|제목=Vanishing of Euler class|웹사이트=Math Overflow|언어=en}}
* {{웹 인용|url=http://math.stackexchange.com/questions/105966/how-to-interpret-the-euler-class|제목=How to interpret the Euler class?|웹사이트=Math Overflow|언어=en}}

{{전거 통제}}

[[분류:특성류]]