오일러 치환 문서 원본 보기

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[[미적분학]]에서 '''오일러 치환'''(-置換, {{llang|en|Euler substitution}})은 <math>x</math>와 <math>\sqrt{ax^2+bx+c}</math>에 대한 [[유리 함수]]의 [[적분]]을 구할 때 사용되는 [[치환 적분]]이다.

== 정의 ==
'''오일러 치환'''은 다음과 같은 적분을 구할 때 사용된다.
:<math>\int R(x,\sqrt{ax^2+bx+c})\mathrm dx</math>
여기서 <math>R(u,v)</math>는 2변수 [[유리 함수]]이며, <math>a\ne 0</math>이다. 오일러 치환은 이 적분을 유리 함수의 적분으로 만들며, 이는 다음과 같은 세 가지 경우로 나뉜다. 같은 함수가 여러 가지 경우에 속할 수 있음에 주의하자.

=== 제1 오일러 치환 ===
만약 <math>a > 0</math>일 경우, 다음과 같이 치환한다.
:<math>\sqrt{ax^2+bx+c}=\pm x\sqrt a+t</math>
이를 '''제1 오일러 치환'''(第一-置換, {{llang|en|first Euler substitution}})이라고 한다. 이 경우 원래의 적분은 다음과 같이 새 변수 <math>t</math>에 대한 유리 함수의 적분으로 귀결된다.
:<math>x=\frac{t^2-c}{\pm 2t\sqrt a+b}</math>
:<math>\sqrt{ax^2+bx+c}=\pm\frac{t^2-c}{\pm 2t\sqrt a+b}\sqrt a+t</math>

=== 제2 오일러 치환 ===
만약 <math>c>0</math>일 경우, 다음과 같이 치환한다.
:<math>\sqrt{ax^2+bx+c}=xt\pm\sqrt c</math>
이를 '''제2 오일러 치환'''(第二-置換, {{llang|en|second Euler substitution}})이라고 한다. 마찬가지로 원래의 적분은 <math>t</math>에 대한 유리 함수의 적분으로 귀결된다.
:<math>x=\frac{\pm 2t\sqrt c-b}{a-t^2}</math>
:<math>\sqrt{ax^2+bx+c}=\frac{\pm 2t\sqrt c-b}{a-t^2}t\pm\sqrt c</math>
사실, 제1 및 제2 오일러 치환의 조건을 만족시키는 꼴의 적분은 다음과 같은 변환을 통해 각각 제2 및 제1 오일러 치환을 적용할 수 있다.<ref name="zhoumq">{{서적 인용
|저자=周民强
|제목=数学分析习题演练. 第一册
|언어=zh
|판=2
|출판사=科学出版社
|위치=北京
|날짜=2010
|isbn=978-7-03-028183-8
}}</ref>{{rp|341}}
:<math>\sqrt{ax^2+bx+c}=\frac 1{|u|}\sqrt{a+bu+cu^2}\qquad\left(x=\frac 1u\right)</math>

=== 제3 오일러 치환 ===
만약 <math>ax^2+bx+c</math>의 두 근 <math>\alpha,\beta</math>가 실수일 경우, 다음과 같이 치환한다.
:<math>\sqrt{ax^2+bx+c}=\sqrt{a(x-\alpha)(x-\beta)}=\pm(x-\alpha)t</math>
이를 '''제3 오일러 치환'''(第三-置換, {{llang|en|third Euler substitution}})이라고 한다. 이 경우 역시 <math>t</math>의 유리 함수의 적분이 된다.
:<math>x=\frac{a\beta-\alpha t^2}{a-t^2}</math>
:<math>\sqrt{ax^2+bx+c}=\pm\left(\frac{a\beta-\alpha t^2}{a-t^2}-\alpha\right)t</math>
사실, 제1 및 제3 오일러 치환은 모든 경우를 포함한다. 이는 만약 <math>a<0</math>이며 <math>b^2-4ac<0</math>일 경우 <math>\sqrt{ax^2+bx+c}</math>가 모든 곳에서 실수가 아니기 때문이다.<ref name="zhoumq" />{{rp|341}}

=== 팁 ===
오일러 치환이 처리하는 꼴의 적분을 구하는 데에는 계산량을 줄여주는 요령과 보다 더 간편할 수 있는 대안적인 방법이 존재한다. 예를 들어, 다음과 같은 공식은 특수한 꼴의 함수의 적분의 계산을 단순화한다.
:<math>\int\frac{p(x)}{\sqrt{ax^2+bx+c}}\mathrm dx=q(x)\sqrt{ax^2+bx+c}+\lambda\int\frac{\mathrm dx}{\sqrt{ax^2+bx+c}}</math>
여기서 <math>p,q\in\mathbb R[x]</math>는 각각 <math>n</math>차 다항식 및 <math>(n-1)</math>차 이하 다항식이며 <math>\lambda\in\mathbb R</math>는 상수이다. 각 <math>p</math>에 대하여 이러한 조건을 만족시키는 <math>q</math> 및 <math>\lambda</math>는 위 식 양변에 도함수를 취한 뒤 다시 양변에 <math>\sqrt{ax^2+bx+c}</math>을 곱하여 양변의 다항식의 계수를 비교하면 구할 수 있다. 다음과 같은 꼴의 적분은 <math>x-\alpha=1/t</math>와 같이 치환하면 위와 같은 꼴의 적분으로 귀결된다.
:<math>\int\frac{\mathrm dx}{(x-\alpha)^n\sqrt{ax^2+bx+c}}
=\int\frac{t^{n-1}}{\sqrt{(a\alpha^2+b\alpha+c)t^2+(2a\alpha+b)t+a}}\mathrm dt</math>
다음과 같은 꼴의 적분은 치환 <math>x^2+px+q=s</math> 및 <math>\textstyle(\sqrt{x^2+px+q})'=t</math>을 통해 구할 수 있다.
:<math>\int\frac{(ex+f)}{(x^2+px+q)^{(2n+1)/2}}\mathrm dx
=\lambda\int\frac{2x+p}{(x^2+px+q)^{(2n+1)/2}}\mathrm dx+\mu\int\frac{\mathrm dx}{(x^2+px+q)^{(2n+1)/2}}
=\lambda\int\frac{\mathrm ds}{s^{(2n+1)/2}}+\mu\int\frac{\mathrm dx}{(x^2+px+q)^{(2n+1)/2}}</math>
다음과 같은 꼴의 적분에서 <math>p\ne b/a</math>일 경우, 적절한 치환 <math>x=(gs+h)/(s+1)</math>를 통해 1차항을 없앤 뒤, [[부분 분수 분해]]의 각 항에 치환 <math>a's^2=b'=t</math> 및 <math>\textstyle(\sqrt{a's^2+b'})'=u</math>을 사용하여 구할 수 있다.
:<math>\int\frac{(ex+f)}{(x^2+px+q)^n\sqrt{ax^2+bx+c}}\mathrm dx
=\int\frac{p(s)}{(s^2+c')^n\sqrt{a's^2+b'}}\mathrm ds
=\sum_k\lambda_k\int\frac s{(s^2+c')^{n'_k}\sqrt{a's^2+b'}}\mathrm ds+\sum_k\mu_k\int\frac{\mathrm ds}{(s^2+c')^{n''_k}\sqrt{a's^2+b'}}</math>
오일러 치환이 처리하는 꼴의 적분은 완전 제곱꼴을 만든 뒤 [[삼각 치환]] 또는 [[쌍곡 치환]]을 통해 구할 수도 있다. 정리된 루트 부분이 <math>\sqrt{a^2-x^2}</math>일 경우 <math>x=a\sin t</math> 또는 <math>x=a\cos t</math>와 같이 치환하며, <math>\sqrt{x^2-a^2}</math>일 경우 <math>x=a\cosh t</math> 또는 <math>x=a\sec t</math>와 같이 치환하며, <math>\sqrt{x^2+a^2}</math>일 경우 <math>x=\sinh t</math> 또는 <math>x=a\tan t</math>와 같이 치환한다.<ref name="zhoumq" />{{rp|342}} 그러면 적분하려는 함수는 [[삼각 함수]] 또는 [[쌍곡선 함수]]에 대한 [[유리 함수]]로 변하며, 이는 [[바이어슈트라스 치환]] 등을 통해 구할 수 있다.<ref name="zhangzs1">{{서적 인용
|저자=张筑生
|제목=数学分析新讲. 第一册
|언어=zh
|판=1
|출판사=北京大学出版社
|날짜=1990-01
|isbn=7-301-00846-5
}}</ref>{{rp|229}}

== 예 ==
다음과 같은 적분들을 생각하자.<ref name="zhoumq" />{{rp|345, 예6.3.3, (1), (3), (4); 348, 예6.3.5, (1)}}
:<math>\int\frac{\sqrt{x^2+2x+3}}x\mathrm dx,\; \int\frac{1-\sqrt{1+x+x^2}}{x\sqrt{1+x+x^2}}\mathrm dx,\; \int\frac{\mathrm dx}{\sqrt{x^2+3x-4}},\;
\int\frac{\mathrm dx}{(x-\alpha)\sqrt{(x-\alpha)(x-\beta)}}</math>

=== 제1 오일러 치환의 예 ===
첫 번째 적분에 다음과 같은 제1 오일러 치환을 사용하자.
:<math>\sqrt{x^2+2x+3}=t-x</math>
:<math>x=\frac{t^2-3}{2(1+t)},\; \mathrm dx=\frac{t^2+2t+3}{2(t+1)^2}\mathrm dt,\; \sqrt{x^2+2x+3}=\frac{t^2+2t+3}{2(t+1)}</math>
이를 통해 다음과 같이 구할 수 있다.
:<math>\begin{align}\int\frac{\sqrt{x^2+2x+3}}x\mathrm dx
&=\int\frac{(t^2+2t+3)^2}{2(t^2-3)(t+1)^2}\mathrm dt=\int\left(\frac 12+\frac 1{t+1}-\frac 1{(t+1)^2}+\frac 6{t^2-3}\right)\mathrm dt\\
&=\frac t2+\ln|t+1|+\frac 1{t+1}+\sqrt 3\ln\left|\frac{t-\sqrt 3}{t+\sqrt 3}\right|+C\\
&=\frac{\sqrt{x^2+2x+3}+x}2+\frac 1{\sqrt{x^2+2x+3}+x+1}+\ln(\sqrt{x^2+2x+3}+x+1)+\sqrt 3\ln\left|\frac{\sqrt{x^2+2x+3}+x-\sqrt 3}{\sqrt{x^2+2x+3}+x+\sqrt 3}\right|+C
\end{align}</math>

=== 제2 오일러 치환의 예 ===
두 번째 적분에 다음과 같은 제2 오일러 치환을 사용하자.
:<math>\sqrt{1+x+x^2}=tx+1</math>
:<math>x=\frac{2t-1}{1-t^2},\; \mathrm dx=\frac{2(1-t+t^2)}{(1-t^2)^2}\mathrm dt,\; \sqrt{1+x+x^2}=\frac{1-t+t^2}{1-t^2}</math>
이를 통해 다음과 같이 구할 수 있다.
:<math>\int\frac{1-\sqrt{1+x+x^2}}{x\sqrt{1+x+x^2}}\mathrm dx
=\int\frac{-2t}{1-t^2}\mathrm dt=\ln|1-t^2|+C=\ln\left|1-\left(\frac{\sqrt{1+x+x^2}-1}x\right)^2\right|+C</math>

=== 제3 오일러 치환의 예 ===
세 번째 적분에 다음과 같은 제3 오일러 치환을 사용하자.
:<math>\sqrt{x^2+3x-4}=(x+4)t</math>
:<math>x=\frac{1+4t^2}{1-t^2},\; \mathrm dx=\frac{10t}{(1-t^2)^2}\mathrm dt,\; \sqrt{x^2+3x-4}=\frac{5t}{1-t^2}</math>
이를 통해 다음과 같이 구할 수 있다.
:<math>\int\frac{\mathrm dx}{\sqrt{x^2+3x-4}}=\int\frac 2{1-t^2}\mathrm dt=\ln\left|\frac{1+t}{1-t}\right|+C
=\ln\left|\frac{\sqrt{x+4}+\sqrt{x-1}}{\sqrt{x+4}-\sqrt{x-1}}\right|+C</math>

=== 다른 방법의 예 ===
네 번째 적분에서는 <math>x-\alpha=1/t</math>와 같은 치환이 더 편리하다.
:<math>\int\frac{\mathrm dx}{(x-\alpha)\sqrt{(x-\alpha)(x-\beta)}}
=-\int \frac{\mathrm dt}{\sqrt{1+(\alpha-\beta)t}}
=\frac 2{\beta-\alpha}\sqrt{1+(\alpha-\beta)t}+C
=\frac 2{\beta-\alpha}\sqrt{\frac{x-\beta}{x-\alpha}}+C</math>

== 같이 보기 ==
* [[치환 적분]]
* [[삼각 치환]]
== 각주 ==
{{각주}}

== 외부 링크 ==
* {{수학노트|title=오일러 치환}}
* {{eom|title=Euler substitutions}}
* {{플래닛매스|urlname=EulersSubstitutionsForIntegration|title=Eulers substitutions for integration}}

[[분류:적분학]]