오일러 직선 문서 원본 보기

{{위키데이터 속성 추적}}
[[파일:Triangle.EulerLine.svg|섬네일|오일러선 (붉은색)은 무게중심 (주황색), 수심 (푸른색), 외심 (초록색)과 구점원의 중심 (붉은색)을 한 직선으로 이어준다.]]
[[기하학]]에서 '''오일러 직선'''({{lang|de|Euler}}直線, {{llang|en|Euler line}})은 [[정삼각형]]이 아닌 [[삼각형]]의 [[외심]], [[무게 중심 (기하학)|무게 중심]], [[구점원]]의 중심, [[수심 (기하학)|수심]]을 지나는 [[직선]]이다. 정삼각형에서는 이 네 중심이 일치하기 때문에 오일러 직선이 정의되지 않는다.

== 정의 ==
[[삼각형]] <math>ABC</math>의 [[외심]] <math>O</math>, [[무게 중심 (기하학)|무게 중심]] <math>G</math>, [[구점원]]의 중심 <math>N</math>, [[수심 (기하학)|수심]] <math>H</math>는 [[공선점]]을 이룬다. 특히 삼각형 <math>ABC</math>가 [[정삼각형]]이 아닐 경우 이들을 모두 지나는 직선은 유일하게 존재한다. 이 직선을 삼각형 <math>ABC</math>의 '''오일러 직선'''이라고 한다. 삼각형 <math>ABC</math>가 정삼각형일 경우 이 네 점은 모두 일치하므로, 이들을 모두 지나는 직선은 무한히 많으며, 이 경우 오일러 직선은 정의되지 않는다.

=== 나겔 직선 ===
삼각형 <math>ABC</math>의 [[내심]] <math>I</math>, 무게 중심 <math>G</math>, [[슈피커 중심]] <math>S</math>, [[나겔 점]] <math>N'</math>은 공선점을 이룬다. 특히 삼각형 <math>ABC</math>가 정삼각형이 아닐 경우 이들을 모두 지나는 직선은 유일하게 존재한다. 이 직선을 삼각형 <math>ABC</math>의 '''나겔 직선'''({{lang|de|Nagel}}直線, {{llang|en|Nagel line}})이라고 한다. 삼각형 <math>ABC</math>가 정삼각형일 경우 이 네 점은 모두 일치하므로, 이들을 모두 지나는 직선은 무한히 많으며, 이 경우 나겔 직선은 정의되지 않는다.

== 성질 ==
=== 오일러 직선 위의 점 ===
정삼각형이 아닌 삼각형 <math>ABC</math>의 다음과 같은 점들은 오일러 직선 위의 점이다.
* [[외심]] <math>O</math>: [[외접원]]의 중심이자, 각 변의 [[수직 이등분선]]의 교점
* [[무게 중심 (기하학)|무게 중심]] <math>G</math>: 세 [[중선]]의 교점
* [[구점원]]의 중심 <math>N</math>: 각 변의 중점, 각 꼭짓점에서 대변에 내린 수선의 발, 각 꼭짓점과 수심 사이의 선분의 중점을 지나는 원의 중심
* [[수심 (기하학)|수심]] <math>H</math>: 각 꼭짓점에서 대변에 내린 수선의 교점

=== 오일러 직선 위의 점 사이의 위치 관계 ===
(정삼각형일 수 있는) 삼각형의 무게 중심은 외심과 수심을 잇는 선분의 (외심에 더 가까운) 삼등분점이며, 구점원의 중심은 이 선분의 중점이다. 즉, 삼각형 <math>ABC</math>의 외심, 무게 중심, 구점원의 중심, 수심을 각각 <math>O</math>, <math>G</math>, <math>N</math>, <math>H</math>라고 할 경우
:<math>\overrightarrow{OH}=3\overrightarrow{OG}=2\overrightarrow{ON}=6\overrightarrow{GN}</math>
이다.<ref name="Honsberger">{{서적 인용
|성=Honsberger
|이름=Ross
|제목=Episodes in Nineteenth and Twentieth Century Euclidean Geometry
|언어=en
|총서=New Mathematical Library
|권=37
|출판사=The Mathematical Association of America
|위치=Washington
|날짜=1995
|isbn=0-88385-639-5
}}</ref>{{rp|7, §1.3}}

=== 나겔 직선 위의 점 ===
정삼각형이 아닌 삼각형 <math>ABC</math>의 다음과 같은 점들은 나겔 직선 위의 점이다.
* [[내심]] <math>I</math>: [[내접원]]의 중심이자, 세 [[각의 이등분선]]의 교점
* 무게 중심 <math>G</math> :삼각형과 한 꼭짓점과 대변의 중점을 이은 중선들의 교점
* [[슈피커 중심]] <math>S</math>: [[중점 삼각형]]의 [[내심]]
* [[나겔 점]] <math>N'</math>: 각 꼭짓점과 대변 위 [[방접원]]의 접점을 잇는 선분의 교점

=== 나겔 직선 위의 점 사이의 위치 관계 ===
(정삼각형일 수 있는) 삼각형의 무게 중심은 내심과 나겔 점을 잇는 선분의 (내심에 더 가까운) 삼등분점이며, 슈피커 중심은 이 선분의 중점이다. 즉, 삼각형 <math>ABC</math>의 내심, 무게 중심, 슈피커 중심, 나겔 점을 각각 <math>I</math>, <math>G</math>, <math>S</math>, <math>N'</math>이라고 할 경우
:<math>\overrightarrow{IN'}=3\overrightarrow{IG}=2\overrightarrow{IS}=6\overrightarrow{GS}</math>
이다.<ref name="Honsberger" />{{rp|7, §1.4}}

== 각주 ==
{{각주}}

== 외부 링크 ==
* {{eom|title=Euler straight line}}
* {{매스월드|id=EulerLine|title=Euler line}}
* {{매스월드|id=NagelLine|title=Nagel line}}

[[분류:레온하르트 오일러]]
[[분류:삼각 기하학]]