오일러 지표 문서 원본 보기

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[[대수적 위상수학]]과 [[조합론]]에서 '''오일러 지표'''(Euler指標, {{llang|en|Euler characteristic}})란 [[위상 공간 (수학)|위상 공간]] 또는 [[그래프]]의 [[위상수학]]적 불변량의 하나인 [[정수]]다. 즉, 공간의 크기나 왜곡에 관계없는 값이다. '''오일러-[[앙리 푸앵카레|푸앵카레]] 지표'''(Euler-Poincaré characteristic)라고도 부른다. 기호는 그리스 문자 <math>\chi</math>이다.

== 정의 ==
[[사슬 복합체]] <math>(C_\bullet,\partial_\bullet)</math>의 [[호몰로지]] <math>H_\bullet(C)</math>가 모두 유한 [[계수 (아벨 군)|계수]]를 갖는다고 하고, 또한 <math>H_\bullet</math>이 어떤 최저·최고 차수 밖에서는 계수가 0이라고 하자. 그렇다면, [[사슬 복합체]] <math>(C_\bullet,\partial_\bullet)</math>의 '''오일러 지표''' <math>\chi(C_\bullet)\in\mathbb Z</math>는 다음과 같은 [[정수]]이다.
:<math>\chi(C_\bullet)=\sum_i(-1)^i\operatorname{rank}H_i(C)\in\mathbb Z</math>

[[위상 공간 (수학)|위상 공간]] <math>X</math>의 '''오일러 지표''' <math>\chi(X)</math>는 그 [[특이 사슬 복합체]]의 오일러 지표이다. [[CW 복합체]] <math>X</math>의 '''오일러 지표'''는 [[세포 사슬 복합체]]의 오일러 지표이다. 특히, [[그래프]]나 [[다면체]]는 자연스럽게 [[CW 복합체]]를 이루므로, 오일러 지표를 [[조합론]]적으로 계산할 수 있다.

== 예 ==
=== 다면체 ===
{{본문|오일러의 다면체 정리}}
v를 꼭짓점, e를 모서리, f를 면의 수라고 할 때 오일러 지표 <math>\chi</math>는 다음과 같다.
:<math>\chi = v - e + f</math>
오일러 지표는 위상수학적 불변량이고, 모든 다면체는 [[구 (기하학)|구]]와 [[위상동형]]이므로, 다면체의 오일러 지표의 값은 그 모양에 관계 없이 항상 2이다.
{| class="wikitable"
|-
!이름
!그림
!꼭짓점<br />''v''
!모서리<br />''e''
!면<br />''f''
!오일러 지표:<br />''v'' - ''e'' + ''f''
|- align=center
|[[정사면체]]
|[[파일:tetrahedron.png|50px]]
|4
|6
|4
|'''2'''
|- align=center
|[[정육면체]]
|[[파일:hexahedron.png|50px]]
|8
|12
|6
|'''2'''
|- align=center
|[[정팔면체]]
|[[파일:octahedron.png|50px]]
|6
|12
|8
|'''2'''
|- align=center
|[[정십이면체]]
|[[파일:dodecahedron.png|50px]]
|20
|30
|12
|'''2'''
|- align=center
|[[정이십면체]]
|[[파일:icosahedron.png|50px]]
|12
|30
|20
|'''2'''
|}

=== 곡면 ===
일반적인 곡면이 주어지더라도 표면에 다각형을 그려서 오일러 지표를 계산할 수 있다.
{| class="wikitable"
|-
!이름
!그림
!오일러 지표
|-
|[[구간|폐구간]]
|[[파일:Complete graph K2.svg|100px]]
|'''1'''
|-
|[[원 (기하학)|원]]
|[[파일:Cirklo.svg|100px]]
|'''0'''
|-
|원판(disk)
|[[파일:Disc Plain grey.svg|100px]]
|'''1'''
|-
|[[구 (기하학)|구]]
|[[파일:Sphere-wireframe.png|100px]]
|'''2'''
|-
|[[토러스]](Torus) <br /> (두 원의 [[곱집합]])
|[[파일:Torus illustration.png|100px]]
|'''0'''
|-
|이중 토러스
|[[파일:Double torus illustration.png|100px]]
|'''-2'''
|-
|삼중 토러스
|[[파일:Triple torus illustration.png|100px]]
|'''-4'''
|-
|실사영평면(Real projective plane)
|[[파일:Steiners Roman.png|100px]]
|'''1'''
|-
|[[뫼비우스 띠]]
|[[파일:MobiusStrip-01.png|100px]]
|'''0'''
|-
|[[클라인 병]]
|[[파일:KleinBottle-01.png|100px]]
|'''0'''
|-
|연결되지 않은 두 개의 구 <br /> (교점이 없는 두 구의 합집합)
|[[파일:Sphere-wireframe.png|100px]][[파일:Sphere-wireframe.png|100px]]
|2 + 2 = '''4'''
|}

== 역사 ==
[[레온하르트 오일러]]가 다면체에 대하여 정의하였다. 이후 이 개념은 [[대수적 위상수학]]을 통해 일반적인 [[위상 공간 (수학)|위상 공간]]의 [[호몰로지]]에 대하여 일반화되었다.

== 같이 보기 ==
* [[오일러 특성류]]
== 참고 문헌 ==
* {{서적 인용| last=Hatcher |first= Allen |title=Algebraic topology |url=http://www.math.cornell.edu/~hatcher/AT/ATpage.html |날짜= 2002 |publisher=Cambridge University Press |place=Cambridge |zbl=1044.55001|mr=1867354|isbn=978-0-521-79540-1|언어=en}}

== 외부 링크 ==
* {{eom|title=Euler characteristic}}
* {{매스월드|id=EulerCharacteristic|title=Euler characteristic}}

{{전거 통제}}

[[분류:위상수학]]
[[분류:사람 이름을 딴 낱말]]
[[분류:대수적 위상수학]]
[[분류:위상 그래프 이론]]
[[분류:레온하르트 오일러]]