오일러 부등식 문서 원본 보기

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'''오일러의 부등식'''({{llang|de|Euler-Ungleichung}}, Euler's inequality, -不等式)은 [[스위스]]의 [[수학자]]인 [[레온하르트 오일러]]의 이름이 붙은 부등식이다. 이는 임의의 삼각형 ABC에 대하여 각각 R과 r을 그 [[외접원]]과 [[내접원]]의 [[반지름]]의 길이라고 할 때, 다음 부등식을 이른다. 등식이 성립할 [[필요충분조건]]은 ABC가 [[정삼각형]]인 것이다.<ref name="a">류한영 외, 《한국수학올림피아드 바이블 2》, 도서출판 세화, 2008, 98쪽.</ref>

* <math>R \ge 2r.</math>

이와 동치인 형태로, a, b, c가 ABC의 세 변의 길이이며 <math>s := \frac{a+b+c}{2}</math> 라고 할 때, 다음 부등식을 오일러의 부등식이라 하기도 한다.<ref name="a"/>

* <math>abc \ge 8(s - a)(s - b)(s - c).</math>

이 두 식이 동치임은 쉽게 보일 수 있다.<ref name="a"/> 아래 부등식의 우변은 [[헤론의 공식]]과 R과 r에 대해 <math>S = \frac{abc}{4R}</math> 과 <math>S = rs</math> 가 성립함을 이용하여 이를 대입하고 정리하기만 하면 된다.

== 증명 1 (오일러 삼각형 정리) ==
이 부등식은 [[삼각형]] [[기하학]]에 대한 [[오일러 삼각형 정리]]로 불리는 다음 등식을 이용하면 자명하다.

* <math>d^2 = R(R - 2r).</math>

여기서 d는 임의의 삼각형 ABC에 대해 외접원과 내접원 사이의 거리이다. d=0이 되는 경우는 ABC가 정삼각형이 될 때뿐인데, 이 경우 정확하게 R=2r이 성립하므로 모든 경우에 대해 <math>R - 2r \ge 0</math> 을 얻는다.

== 증명 2 (독립적 증명) ==
오일러의 부등식은 오일러 삼각형 정리와 관계없이 독립적으로 증명할 수도 있다.<ref name="a"/> 식의 변형을 위해서는 아래의 동치 형태를 증명하는 것이 편하다.

: <math>abc \ge 8(s - a)(s - b)(s - c)</math>

이것을 증명하기 위해 먼저 a, b, c가 삼각형의 세 변의 길이이므로 적당한 양의 [[실수]] <math>x, y, z</math> 가 존재하여 <math>a = x + y, b = y + z, c = z + x</math> 로 치환할 수 있다. 그러면 이 부등식은 다음과 같이 된다.

: <math>(y + z)(z + x)(x + y) \ge 8xyz</math>

그런데 [[산술-기하 평균 부등식]]에 의해 <math>y + z \ge 2\sqrt{yz}, z + x \ge 2\sqrt{zx}, x + y \ge 2\sqrt{xy}</math> 가 성립하므로, 이 세 식을 변변 곱하면 위 부등식이 성립한다.

== 같이 보기 ==
* [[오일러 삼각형 정리]]

== 각주 ==
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== 참고 문헌 ==
* 류한영 외, 《한국수학올림피아드 바이블 2》, 도서출판 세화, 2008

[[분류:부등식]]
[[분류:초등 기하학]]