오일러 벽돌 문서 원본 보기

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[[파일:Euler brick.svg|섬네일|오일러 벽돌(위 그림)에서 a, b, c는 모서리이고 d, e, f는 면대각선이다.]]

[[기하학]]에서 '''오일러 벽돌'''({{llang|en|Euler brick}}) 또는 '''오일러 직육면체'''({{llang|en|Euler cuboid}})는 [[모서리]]와 [[면대각선]]의 길이가 모두 [[자연수]]인 [[직육면체]]이다. '''원시 오일러 벽돌'''({{llang|en|primitive Euler brick}})란 모서리의 길이가 [[서로소 아이디얼|서로소]]인 오일러 벽돌이다. '''완벽한 오일러 벽돌'''({{llang|en|perfect Euler brick}})은 [[입체대각선]]의 길이가 자연수인 오일러 벽돌이며, 아직 발견되지 않았다.

== 정의 ==
오일러 벽돌의 각 선분의 길이는 다음의 [[디오판토스 방정식]]을 푸는 것과 같다.

<math>\begin{cases} a^2 + b^2 = d^2\\ a^2 + c^2 = e^2\\ b^2 + c^2 = f^2\end{cases}</math>

<math>a</math>, <math>b</math>, <math>c</math>는 모서리의 길이이고 <math>d</math>, <math>e</math>, <math>f</math>는 면대각선의 길이이다.

== 성질 ==
* <math>(a,b,c)</math>가 오일러 벽돌의 모서리의 길이라면 임의의 <math>k</math>에 대해 <math>(ka,kb,kc)</math>도 오일러 벽돌의 모서리의 해가 된다. 따라서 오일러 벽돌의 유리수해는 정수해로 바꿀 수 있다. 또 <math>(a,b,c)</math>가 오일러 벽돌의 모서리의 길이라면 <math>(ab,bc,ca)</math>도 오일러 벽돌의 모서리의 해가 된다.<ref name="Sierpinski2">Wacław Sierpiński, ''Pythagorean Triangles'', Dover Publications, 2003 (orig. ed. 1962).</ref>{{rp|106쪽}}
* 오일러 벽돌의 적어도 두 모서리는 3의 배수이다.<ref name="Sierpinski2" />{{rp|106쪽}}
* 오일러 벽돌의 적어도 두 모서리는 4의 배수이다.<ref name="Sierpinski2" />{{rp|106쪽}}
* 오일러 벽돌의 적어도 한 모서리는 11의 배수이다.<ref name="Sierpinski2" />{{rp|106쪽}}

== 오일러 벽돌의 예시 ==
가장 작은 오일러 벽돌은 1719년에 Paul Halcke가 발견하였으며, 모서리의 길이는 <math>(a,b,c)=(44, 117, 240)</math>이고 면대각선의 길이는 <math>(d,e,f)=(125, 244, 267)</math>이다.<ref>''[https://books.google.com/books?id=S8SBBRNbj6cC&pg=PT219&lpg=PT219&dq=smallest+Euler+brick,+discovered+by+Paul+Halcke&source=bl&ots=FtoNMOwuCW&sig=ACfU3U2sUJFnY2AO7I6rLGFPif6GeOTCRQ&hl=en&sa=X&ved=2ahUKEwiNg9-nhNXgAhWKmeAKHfCMBEwQ6AEwCXoECAIQAQ#v=onepage&q=smallest%20Euler%20brick%2C%20discovered%20by%20Paul%20Halcke&f=false Visions of Infinity: The Great Mathematical Problems]'' By Ian Stewart, Chapter 17</ref> 아래는 오일러 벽돌의 다른 예시로, 왼쪽 괄호는 모서리, 오른쪽 괄호는 면대각선의 순서쌍이다.
[[파일:Euler_brick_examples.svg|섬네일|400px|모서리 길이가 1000 이하인 모든 오일러 벽돌]]
:{| style="border-collapse:collapse;text-align:right;white-space:nowrap;"
|(|| 85,|| 132,|| 720||) — (|| 157,|| 725,|| 732||)
|-
|(||140,|| 480,|| 693||) — (|| 500,|| 707,|| 843||)
|-
|(||160,|| 231,|| 792||) — (|| 281,|| 808,|| 825||)
|-
|(||187,||1020,||1584||) — (||1037,||1595,||1884||)
|-
|(||195,|| 748,||6336||) — (|| 773,||6339,||6380||)
|-
|(||240,|| 252,|| 275||) — (|| 348,|| 365,|| 373||)
|-
|(||429,|| 880,||2340||) — (|| 979,||2379,||2500||)
|-
|(||495,||4888,||8160||) — (||4913,||8175,||9512||)
|-
|(||528,||5796,||6325||) — (||5820,||6347,||8579||)
|}

== 완벽한 오일러 벽돌 ==
[[파일:Euler_brick_perfect.svg|오른쪽|섬네일|모서리가 a,b,c; 면대각선이 d,e,f; 입체대각선이 g인 완벽한 오일러 벽돌]]
'''완벽한 오일러 벽돌'''({{llang|en|perfect Euler brick}}) 또는 '''완벽한 직육면체'''({{llang|en|perfect cuboid}})는 입체대각선의 길이가 자연수인 오일러 벽돌이다. 이는 기존의 오일러 벽돌의 [[디오판토스 방정식]]에 다음의 식을 추가하는 것과 같다. <math>g</math>는 [[입체대각선]]의 길이이다.

<math>a^2+b^2+c^2=g^2</math>

2020년 10월 기준으로, 완벽한 오일러 벽돌의 예시 또는 오일러 벽돌이 존재하지 않는다는 증명은 나오지 않았다.<ref name="Matson2">{{웹 인용|url=http://unsolvedproblems.org/S58.pdf|title=Results of a Computer Search for a Perfect Cuboid|last=Matson|first=Robert D.|work=unsolvedproblems.org|accessdate=February 24, 2020}}</ref>

컴퓨터 계산 결과, 완벽한 오일러 벽돌이 존재한다면 다음의 조건을 만족해야 한다.

* 홀수인 모서리의 길이가 2.5×10<sup>13</sup>보다 크다.<ref name="Matson2" />
* 가장 작은 모서리의 길이가 5×10<sup>11</sup>보다 크다.<ref name="Matson2" />

또한 [[합동 산술]]에 의해 모서리의 길이가 서로소인 완벽한 오일러 벽돌은 다음의 조건을 만족해야 한다.<ref>M. Kraitchik, On certain Rational Cuboids, Scripta Mathematica, volume 11 (1945).</ref>

* 한 모서리와 두 면대각선, 입체대각선은 홀수이고, 다른 한 모서리와 다른 한 면대각선은 4의 배수이며, 나머지 한 모서리는 16의 배수이다.
* 두 모서리는 3의 배수이고, 이중 적어도 한 모서리는 9의 배수이다.
* 한 모서리는 5의 배수이다.
* 한 모서리는 7의 배수이다.
* 한 모서리는 11의 배수이다.
* 한 모서리는 19의 배수이다.
* 한 모서리 또는 입체대각선은 13의 배수이다.
* 한 모서리나 한 면대각선 또는 입체대각선은 17의 배수이다.
* 한 모서리나 한 면대각선 또는 입체대각선은 29의 배수이다.
* 한 모서리나 한 면대각선 또는 입체대각선은 37의 배수이다.
* 입체대각선은 소수의 [[거듭제곱]]이나 [[반소수]]가 아니다.<ref name="Korec">I. Korec, Lower bounds for Perfect Rational Cuboids, Math. Slovaca, 42 (1992), No. 5, p. 565-582.</ref>{{rp|566쪽}}
* 입체대각선은 4로 나눈 나머지가 1인 [[소인수분해|소인수]]만을 포함한다.<ref name="Korec" />{{rp|566쪽}}<ref>Ronald van Luijk, On Perfect Cuboids, June 2000</ref>

== 완벽한 평행육면체 ==
'''완벽한 평행육면체'''({{llang|en|perfect parallelepiped}})는 모든 모서리와 면대각선, 입체대각선의 길이가 정수인 [[평행육면체]]이다. 완벽한 오일러 벽돌은 완벽한 평행육면체의 특수한 경우이다. 2009년에 완벽한 평행육면체의 예시가 발견되었다.<ref>{{저널 인용|title=Perfect parallelepipeds exist|journal=[[Mathematics of Computation]]|last1=Sawyer|first1=Jorge F.|last2=Reiter|first2=Clifford A.|year=2011|volume=80|issue=274|pages=1037–1040|arxiv=0907.0220|doi=10.1090/s0025-5718-2010-02400-7}}.</ref> 가장 작은 평행육면체는 모서리는 271, 106, 103; 짧은 면대각선은 101, 266, 255; 긴 면대각선은 183, 312, 323; 입체대각선은 374, 300, 274, 272의 길이를 가진다.

== 각주 ==
<references />

== 참고 문헌 ==
* {{저널 인용|title=The Rational Cuboid Revisited|journal=American Mathematical Monthly|last=Leech|first=John|authorlink=John Leech (mathematician)|year=1977|volume=84|issue=7|pages=518–533|doi=10.2307/2320014|jstor=2320014}}
* {{저널 인용|title=Necessary Divisors of Perfect Integer Cuboids|journal=Abstracts of the American Mathematical Society|last=Shaffer|first=Sherrill|year=1987|volume=8|issue=6|page=440}}
* {{서적 인용|title=Unsolved Problems in Number Theory|url=https://archive.org/details/unsolvedproblems0003guyr|last=Guy|first=Richard K.|authorlink=Richard K. Guy|year=2004|publisher=[[Springer-Verlag]]|pages=[https://archive.org/details/unsolvedproblems0003guyr/page/n298 275]–283|isbn=0-387-20860-7}}
* {{저널 인용|title=On certain rational cuboids|journal=Scripta Mathematica|last=Kraitchik|first=M.|year=1945|volume=11|pages=317–326}}
* {{저널 인용|title=Some constraints on the existence of a perfect cuboid|journal=Australian Mathematical Society Gazette|last=Roberts|first=Tim|year=2010|volume=37|pages=29–31|issn=1326-2297}}

== 같이 보기 ==
* [[수학의 미해결 문제 목록]]
* [[피타고라스 삼조]]

[[분류:기하학]]
[[분류:디오판토스 방정식]]
[[분류:수론의 미해결 문제]]
[[분류:피타고라스 정리]]