오일러 방정식 문서 원본 보기

{{위키데이터 속성 추적}}
{{다른 뜻|오일러 운동 방정식|[[유체 역학]]의 방정식|[[강체]]의 운동 방정식}}
{{다른 뜻|균등 비압축성 오일러 방정식||비압축 유체의 경우의 오일러 방정식}}
[[유체 동역학]]에서 '''오일러 방정식'''({{lang|en|Euler's equations}})은 유체의 비점성({{lang|en|invisid}}) 흐름을 다루는 [[미분방정식]]이다. [[레온하르트 오일러]]의 이름을 따라 명명되었다.

[[나비에-스토크스 방정식]]에서 [[점성]]과 [[열전도]]가 없는 특수한 경우에 해당한다. 오일러 방정식은 유체의 [[질량]], [[운동량]] 및 [[에너지 보존 법칙|에너지]]의 [[보존 법칙|보존]]을 나타낸다.

== 정의 ==
'''오일러 보존 방정식'''은 다음과 같다.

3차원에 대한 질량 보존(연속) 방정식
:<math> {\partial \rho \over \partial t} + \nabla \cdot (\rho {\mathbf u}) = 0 </math>

운동량 보존 방정식
:<math> {\partial \rho \mathbf u \over \partial t} + \nabla \cdot ((\rho \mathbf u) \otimes \mathbf u) + \nabla p = 0 </math>

에너지 보존 방정식
:<math> {\partial E \over \partial t} + \nabla \cdot (\mathbf u (E+p)) = 0 </math>
이 외에도 기계일 보존 방정식 등 여러 가지 보존 방정식이 있다.


여기에서,
* <math> E \equiv \rho e + \rho (u^2 + v^2 + w^2 ) / 2 </math>는 단위 부피 당 총 [[에너지]]다. (여기서 <math> e </math>는 유체의 단위 질량 당 내부 에너지다.)
* <math> \mathbf u</math>는 유동 [[속도]]이다.
* <math> p </math>는 유체의 [[압력]]이다.
* <math> \rho </math>는 유체의 [[밀도]]이다.

두 번째 식에는 [[텐서|이차 텐서]]의 [[발산 (벡터)|발산]]이 포함되어 있는데, 이 식을 아래첨자를 이용하여 쓰면 다음과 같다.
:<math> {\partial \rho u_j \over \partial t} + {\partial \rho u_i u_j \over \partial x_i} + {\partial p \over \partial x_j} = 0 </math>

위의 식들은 [[질량]], [[운동량]] 3개 성분 및 [[에너지 보존 법칙|에너지]]의 [[보존 법칙|보존]]을 나타낸다. 따라서 방정식은 5개이고 미지수는 6개이다. 이 문제를 닫힌 문제로 만들기 위해서는 방정식이 하나 더 필요한데, 이것이 [[이상 기체 상태방정식|상태 방정식]]이라고 불리는 식이다.

밀도가 일정하고, 상태 방정식이 충분히 수치해석적으로 안정적이라면 ({{lang|en|stiff equation}}), 오일러 운동량 보존 방정식을 [[유선 (유체)|유선]]을 따라 적분하여 [[베르누이 방정식]]을 얻을 수 있다.

또 오일러 방정식은 유체역학 적으로 매우 도움이 될 수 있다.
== 같이 보기 ==
* [[프루드 수]]
* [[나비에-스토크스 방정식]]
* [[이상 유체]]

{{전거 통제}}

[[분류:유체역학 방정식]]
[[분류:사람 이름을 딴 낱말]]
[[분류:물리학 개념]]
[[분류:레온하르트 오일러]]