오일러 다면체 정리 문서 원본 보기

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{{전문가 필요|수학}}
'''오일러 다면체 정리'''란, 임의의 한 [[다면체]]를 구성하는 [[점 (기하학)|점]]과 [[직선|선]], [[면 (기하학)|면]]이 가지는 관계를 설명한 정리를 말한다. [[1752년]]에 [[스위스]]의 [[수학자]]인 [[레온하르트 오일러]]가 발견하였다. 점의 개수에서 선의 개수를 뺀 값에 면의 개수를 더할 경우에 나오는 값이 일정하다는 정리이며, 흔히 다음의 공식으로 표현된다.

<math>v-e+f=2</math>

여기서 <math>v(vertex)</math>는 다면체의 [[꼭짓점]]의 개수이고, <math>e(edge)</math>는 다면체의 모서리의 개수이며, <math>f(face)</math>는 다면체의 면의 개수이다.

이때 오일러 정리는 정수, 대수, 기하, 조합 등 많은 분야에 같은 이름으로 존재하니 주의하길 바란다.

== 오일러 지표 ==
{{본문|오일러 지표}}
위의 식에서 <math>\chi</math>는 [[오일러 지표]]라고 하는데, 구면과 [[위상동형사상|동상]]인 [[3차원|3차원 도형]]의 경우에는 항상 2로 나타나지만, 2차원의 도형, 즉, 평면도형인 경우에는 오일러 지표는 2가 아닌 1이 되며, [[원 (기하학)|원]]의 경우는 0, [[원판]]의 경우는 1이 된다. 이 정리는 [[위상수학]]의 기본개념이 된다. 또한 일부 오목 다면체도 오일러 지표가 다르다. 예를 들어 [[작은 별모양 십이면체]]와 [[큰 십이면체]]는 오일러 지표가 12-30+12=-6으로 기존과 다르다.

== 각 차원에서의 정리==
=== 2차원에서의 정리 ===
2차원 [[유클리드 공간]]에서 생각하면, 면은 하나이므로, <math>f = 1</math>이고, 점 <math>n</math>개를 찍어 선을 연결하면,<br />

<math>v - e = n - n = 0</math>이다. 여기서 점을 찍을 때마다, <math>v:e = n:n = 1:1</math>의 비로 증가하므로, 어떤 경우에서든지 2차원에서는 <math>v - e = 0</math>이 성립한다.<br />

여기에 면의 개수 <math>f</math>를 대입시키면, 2차원에서의 다면체 정리는 <math>v - e + f = 1</math>이 된다.

=== 3차원에서의 정리 ===
[[전개도]]에서 [[다면체]]를 만들어서 생각해보자.<br />
어느 전개도라도 2차원으로 서술하면 <math>v - e + f = 1</math>이다.<br />
2차원에서의 면 <math>f</math>는 1이지만<br />
이를 [[3차원]]에서 [[투영]]시키면 면의 개수 <math>f'</math>은 2가 된다.<br />

따라서, <math>v - e + f = 2</math>

==== 3차원에서의 다른 증명 ====
3차원 [[유클리드 공간]]에서의 가장 작은 [[다면체]]인 [[사면체]]를 생각하자.<br /> <br />

<math>v = 4</math>, <math>e = 6</math>, <math>f = 4</math>이고,
<math>v - e + f = 4 - 6 + 4 = 2</math>
이때, 문제의 [[사면체]]에서 밑면의 변에 [[점]]을 찍어 [[사각형]]을 만들면, 밑면의 변이 1개 늘어나고 그에 따라 면이 1개 늘어난다.<br /> 즉, <math>n</math>각형의 변에 1개의 점을 찍으면, <math>n+1</math>각형이 만들어지므로, <math>v: f = n:n = n+1:n+1 = 1: 1</math>이다.
이때, 밑변과 닿아있는 모서리는 점을 찍는 과정에서 생겨났으므로, 모서리가 1개 늘었고, 기존에 차지하고 있던 모서리 부분에 변이 새로 생겼으므로 이전에 있었던 모서리 즉, 중복되는 부분과 새로 생길 부분 2개가 요구된다. 중복되는 부분은 이전에도 있었으므로 점을 찍으므로 해서 추가된 모서리는 2개이다.

각종 [[각기둥]]과 [[엇각기둥]]을 포함한 [[아르키메데스의 다면체|(반)]][[정다면체]]의 오일러 지표를 구해 보면 볼록한 것은 모두 2가 된다는 사실을 알 수 있다. 뿐만아니라 그 [[카탈란의 다면체|반정다면체의 쌍대]] 역시 2이다.

<math display="block">v: f: e = 1: 1: 2</math><br /> <br />

따라서, <math>v - e + f = 2</math>의 관계가 성립함을 알 수 있다.

[[분류:해석기하학]]
[[분류:위상수학]]
[[분류:사람 이름을 딴 낱말]]