오일러-라그랑주 방정식 문서 원본 보기

{{위키데이터 속성 추적}}
'''오일러-라그랑주 방정식'''(Euler-Lagrange方程式, {{lang|en|Euler–Lagrange equation}})은 어떤 [[함수]]와 그 [[도함수]]에 의존하는 [[범함수]]의 극대화 및 정류화 문제를 다루는 [[미분 방정식]]이다. [[변분법]]의 기본 정리의 하나이자, [[라그랑주 역학]]에서 근본적인 역할을 한다.

직관적으로, 오일러-라그랑주 방정식은 범함수의 정류점 근처에는 아주 약간 곡선의 모양을 바꾸면 범함수의 값이 바뀌지 않는다는 점을 이용한다. 이는 초급 [[미적분학]]에서 미분가능한 함수가 최대, 최소점에서 기울기가 0이라는 정리를 확장한 것이다.

물리학적 관점에서는, 오일러-라그랑주 방정식은 정류점({{lang|en|stationary point}})으로 기술된 [[해밀턴 원리]]를 구체적으로 구현하는 역할을 한다. [[해석역학]]에서 근원적인 위치를 차지하는 해밀턴 원리는 물체의 궤적이 [[작용 (물리학)|작용]]의 정류점이라고 가정한다. 이를 [[고전역학|뉴턴 역학]]과 대응시키려면 [[운동 방정식]]을 찾아야 하는데, 오일러-라그랑주 방정식이 이 운동 방정식의 역할을 한다.

== 정의 ==
<math>\mathcal C^1</math> [[미분 가능 다양체]] <math>X</math>와 그 [[접다발]] <math>TX</math>를 생각하자. 또한, 유한한 닫힌 구간 <math>[a,b]\subset\mathbb{R}</math>을 생각하자. 또한, 연속미분가능 [[다발 사상]]
:<math>L(t,x,v)\in\mathbb R</math>, <math>t\in[a,b]</math>, <math>x\in X</math>, <math>v\in T_xX</math>
를 생각하자. <math>L(t,x,v)</math>의 두 번째와 세 번째 변수를 미분하여 도함수 [[다발 사상]]
:<math>L_x(t,x,v)\in T_x^*X</math>
:<math>L_v(t,x,v)\in T_x^*X</math>
를 정의할 수 있다. 임의의 연속미분가능함수dd <math>q\colon[a,b]\to X</math>를 [[정의역]]으로 하는 [[범함수]]
:<math>S[q]=\int_a^bL(t,q(t),q'(t))\;dt</math>
를 정의할 수 있다. (여기서 <math>q'</math>란 <math>q</math>의 도함수 <math>q'(t)\in T_{q(t)}X</math>를 뜻한다.) 이제, 주어진 [[경계조건]]
:<math>q(a)=x_a\in X</math>
:<math>q(b)=x_b\in X</math>
아래 <math>S[q]</math>의 정류점을 찾는 변분문제를 생각할 수 있다. (물론, 모든 극점(최대점, 최소점)은 정류점이므로, 극대화 문제는 정류 문제에 귀결된다.) 이 변분문제의 해 <math>q_0</math>는 다음 방정식
:<math>L_x(t,q_0,q'_0)=\frac{d}{dt}\left(L_v(t,q_0(t),q'_0(t))\right)\in T_{q(t)}^*X</math>
을 만족한다. 이를 '''오일러-라그랑주 방정식'''이라고 부른다.

== 증명 ==
1차원 오일러-라그랑주 방정식 유도는 수학에서 고전으로 꼽힌다. 이 증명의 근거는 [[변분법의 기본정리]]이다.

함수 <math>f</math> 가, 경계값 조건 ''f''(''a'') = ''c'', ''f''(''b'') = ''d''를 만족하고, 다음과 같이 주어지는 범함수 ''J''를 최대 또는 최소로 만든다고 하자.

: <math> J = \int_a^b F(x,f(x),f'(x))\, dx. \,\!</math>

여기서 ''F''가 연속적인 편미분값을 가진다고 가정한다. (가정을 더 약하게 잡을 수도 있으나, 그러면 증명이 더 복잡해진다.)

만일 ''f''가 상대 범함수를 최대, 최소로 한다고 하면, ''f''에 매우 작은 변화를 가했을 때,
''J''의 값이 늘거나(''f'' 가 ''J를 최소화할때)''
''J''의 값이 줄 수 있다.(''f''가 J를 최대화할때)

여기서 ''f''에 매우 작은 변화를 준 함수 ''g''<sub>ε</sub>(''x'') = ''f''(''x'')&nbsp;+&nbsp;εη(''x'')를 도입하자. 여기서 η(''x'')는 η(''a'') = η(''b'') = 0를 만족하는 미분가능한 함수이다. 이제, ''f'' 대신 ''g''를 넣은 ''J''는 다음과 같은 함수가 될 것이다.

: <math> J(\epsilon) = \int_a^b F(x,g_\epsilon(x), g_\varepsilon'(x) )\, dx. \,\!</math>

이제 ''J''를 ''ε''에 대해 미분한 [[전미분]]을 구하면,

: <math> \frac{\mathrm{d} J}{\mathrm{d} \varepsilon} = \int_a^b \frac{\mathrm{d}F}{\mathrm{d}\epsilon}(x,g_\varepsilon(x), g_\varepsilon'(x) )\, dx. </math>

전미분의 정의에서 다음과 같은 식이 나오며,

: <math>\frac{\mathrm{d}F}{\mathrm{d}\epsilon} = \frac{\partial F}{\partial x}\frac{\partial x}{\partial \varepsilon} + \frac{\partial F}{\partial g_\varepsilon}\frac{\partial g_\varepsilon}{\partial \varepsilon} + \frac{\partial F}{\partial g'_\varepsilon}\frac{\partial g'_\varepsilon}{\partial \varepsilon} = \eta(x) \frac{\partial F}{\partial g_\varepsilon} + \eta'(x) \frac{\partial F}{\partial g_\varepsilon'}. </math>

그러므로

: <math> \frac{\mathrm{d} J}{\mathrm{d} \epsilon} = \int_a^b \left[\eta(x) \frac{\partial F}{\partial g_\varepsilon} + \eta'(x) \frac{\partial F}{\partial g_\varepsilon'} \, \right]\,dx. </math>

만약 ''ε'' = 0 이 되면 ''g''<sub>''ε''</sub> = ''f'' 이고, ''f'' 가 ''J''를 극값으로 만드는 부분이므로, ''J<nowiki>'</nowiki>''(0) = 0, 일 것이다. 수식으로 쓰면,

: <math> J'(0) = \int_a^b \left[ \eta(x) \frac{\partial F}{\partial f} + \eta'(x) \frac{\partial F}{\partial f'} \,\right]\,dx = 0.</math>

좀 더 정리하기 위해, 두 번째 항에 [[부분적분]]을 한다. 그러면 다음과 같은 식을 얻는다.

: <math> 0 = \int_a^b \left[ \frac{\partial F}{\partial f} - \frac{d}{dx} \frac{\partial F}{\partial f'} \right] \eta(x)\,dx + \left[ \eta(x) \frac{\partial F}{\partial f'} \right]_a^b. </math>

''η''에 대한 경계값 조건을 이용하면,

: <math> 0 = \int_a^b \left[ \frac{\partial F}{\partial f} - \frac{d}{dx} \frac{\partial F}{\partial f'} \right] \eta(x)\,dx. \,\!</math>

[[변분법의 기본정리]]를 적용하면, 다음과 같은 오일러-라그랑주 방정식을 얻는다.

: <math> 0 = \frac{\partial F}{\partial f} - \frac{d}{dx} \frac{\partial F}{\partial f'}. </math>

== 역사 ==
[[레온하르트 오일러]]와 [[조제프루이 라그랑주]]가 1750년에 도입하였다.

== 참고 문헌 ==
* {{서적 인용| 저자=Izrail Moiseevish Gelfand | 제목=Calculus of Variations | 출판사=Dover | 연도=1963 |ISBN=0-486-41448-5|언어=en }}

== 같이 보기 ==
* [[슈윙거-다이슨 방정식]] (오일러-라그랑주 방정식의 [[양자역학]]적 보정)
* [[뇌터 정리]]

== 외부 링크 ==
* {{언어링크|en}} [https://web.archive.org/web/20170609215523/http://www.exampleproblems.com/wiki/index.php/Calculus_of_Variations Calculus of Variations]: [http://www.exampleproblems.com Example Problems.com] 출처. (''Calculus of Variations'' 내 오일러-라그랑주 방정식 예제가 실려 있다.)

{{전거 통제}}

[[분류:상미분 방정식]]
[[분류:편미분 방정식]]
[[분류:미적분학]]
[[분류:변분법]]
[[분류:사람 이름을 딴 낱말]]
[[분류:레온하르트 오일러]]