오르트 상수 문서 원본 보기

{{위키데이터 속성 추적}}
'''오르트 상수'''(Oort constants) <math>A</math>와 <math>B</math>는 [[우리 은하]]의 자전 운동에 있어 경험적으로 얻어낸 상수로, 다음으로 표현된다.
:<math>
\begin{align}
& A=\frac{1}{2}\left(\frac{V_{0}}{R_{0}}-\frac{dv}{dr}|_{R_{0}}\right) \\
& B=-\frac{1}{2}\left(\frac{V_{0}}{R_{0}}+\frac{dv}{dr}|_{R_{0}}\right) \\
\end{align}
</math>
여기서 <math>V_0</math>과 <math>R_0</math>은 각각 [[태양]]의 위치에서 측정한 [[은하 중심]]에 대한 회전 속도 및 거리이다. 후술하겠지만, 이 상수는 태양의 근처에 있는 항성들의 운동 및 위치만 살펴서 유도한 것이다. 1997년 현재 가장 정확한 오르트 상수 값은
: '''<math>A</math> = 14.82 ± 0.84&nbsp;km s<sup>−1</sup> kpc<sup>−1</sup>'''
: '''<math>B</math> = -12.37 ± 0.64&nbsp;km s<sup>−1</sup> kpc<sup>−1</sup>'''
이다.<ref name="Feast97">{{저널 인용|이탤릭체=예|last=Feast|first=M.|author2=Whitelock, P.|title=Galactic Kinematics of Cepheids from HIPPARCOS Proper Motions|journal=MNRAS|date=November 1997|volume=291|pages=683|arxiv=astro-ph/9706293|bibcode = 1997MNRAS.291..683F }}</ref>

== 역사적 중요성과 등장 배경 ==
1920년대, 천문학자들은 밤하늘에서 보이는 구름 같은 산만한 천체들이 우리 은하 너머에 존재하는 별들의 집합이라는 것을 알게 되었다. 이 "외부 [[은하]]"들은 타원형인 것에서부터 원반형인 것까지 다양한 형태를 가지고 있었다. [[은하수]]를 보면 별빛이 집중된 띠의 형태를 확인할 수 있는데, 이는 우리 은하는 원반형 구조를 가지고 있다는 증거가 된다. 하지만 우리 은하 안에서 우리 태양계가 어디에 위치하고 있는지를 결정하는 것은 어려운 문제였다.

[[고전역학]]의 예측에 따르면 별의 집합은 별들의 [[속도 분산]] 또는 질량중심에 대한 공전을 통해 중력 붕괴를 피하고 구조를 지탱한다.<ref>pp. 312-321, &#xA7;4.4, ''Galactic dynamics (2nd edition)'', James Binney, Scott Tremaine, Princeton University Press, 2008, {{ISBN|978-0-691-13027-9}}.</ref> 원반형의 집합에서는 아무래도 공전이 구조 지탱에 기여하는 바가 많을 것이다. 질량밀도, 또는 원반의 질량 분포에 따라 원반의 중앙에서 바깥쪽으로 가면서 공전 속도가 달라질 것이다. 그 공전 속도를 측정하여 원반 반경에 대해 그린 그래프를 [[은하의 회전곡선]]이라고 한다. 외부은하의 경우 원반의 한쪽은 관측자 쪽으로 다가오고 다른 쪽은 멀어지기에 분광의 [[도플러 편이]]를 관측함으로써 회전곡선을 얻어낼 수 있다. 하지만 우리 은하의 경우 [[소광]]으로 인해 회전곡선을 정확히 얻어내기가 힘들었다. 이런 상황은 1930년대 [[수소선|21 센티미터 수소선]]이 발견될 때까지 계속된다.

수소선이 아직 발견되기 전이었던 1927년, [[얀 오르트]]는 우리 [[태양계]] 근처에 있는 소수의 별들에 대해서만 측정을 수행하는 유도법을 사용했다.<ref name="oort1927">{{저널 인용|이탤릭체=예| author = J. H. Oort | journal = Bulletin of the Astronomical Institutes of the Netherlands | date = 1927-04-14 | volume = 3 | issue = 120 | title = Observational evidence confirming Lindblad's hypothesis of a rotation of the galactic system | pages = 275–282 | postscript = .|bibcode = 1927BAN.....3..275O }}</ref> 후술하겠지만 그 결과 오르트가 발견한 상수 <math>A</math>와 <math>B</math>는 우리 은하가 회전한다는 사실 뿐 아니라, 중심으로부터의 거리에 따라 [[차등회전]]을 하고 있으며, 은하가 강체가 아닌 유체라는 것을 밝혀내게 된다.

== 유도 ==
[[파일:Oort constants derivation diagram.jpg|frame|right|그림 1: 오르트 상수 유도의 기하학.]]

은하 원반에 존재하는 별 하나를 가정하고, 그 별의 [[은경]]을 <math>l</math>, 태양으로부터의 거리를 <math>d</math>라고 한다. 그 별과 태양이 모두 은하 중심을 중심으로 하는 원 궤도를 그리면서 공전한다고 가정하고, 각각의 궤도 반경을 <math>R</math>과 <math>R_{0}</math>, 각각의 공전 속도를 <math>V</math>과 <math>V_{0}</math>라고 한다. 우리 시선 방향에 대한 별의 운동([[시선 속도]]) 및 천구상에서의 별의 운동([[고유운동|접선 속도]])를 태양과의 위치 관계에 따라 쓰면 다음과 같다.

:<math>
\begin{align}
& V_{\text{obs, r}}=V_{\text{star, r}}-V_{\text{sun, r}}=V\cos\left(\alpha\right)-V_{0}\sin\left(l\right) \\
& V_{\text{obs, t}}=V_{\text{star, t}}-V_{\text{sun, t}}=V\sin\left(\alpha\right)-V_{0}\cos\left(l\right) \\
\end{align}
</math>

원운동을 가정했기에 공전 속도는 [[각속도]]와 <math>v=\Omega r</math> 의 관계식을 가지고 있고, 이것을 속도식에 대입하면

:<math>
\begin{align}
& V_{\text{obs, r}}=\Omega R\cos\left(\alpha\right)-\Omega_{0}R_{0}\sin\left(l\right) \\
& V_{\text{obs, t}}=\Omega R\sin\left(\alpha\right)-\Omega_{0}R_{0}\cos\left(l\right) \\
\end{align}
</math>

그림 1을 보면 은하 중심, 태양, 별로 인해 형성된 삼각형들이 1개 변을 공유하는데, 여기서 삼각함수로 다음 식을 얻어낸다.

::<math>
\begin{align}
& R\cos\left(\alpha\right)=R_{0}\sin\left(l\right)   \\
& R\sin\left(\alpha\right)=R_{0}\cos\left(l\right)-d \\
\end{align}
</math>
고로 속도 성분들은 각운동량과 반경에 대한 식으로 나타내진다.
:<math>
\begin{align}
& V_{\text{obs, r}}=\left(\Omega-\Omega_{0}\right)R_{0}\sin\left(l\right)          \\
& V_{\text{obs, t}}=\left(\Omega-\Omega_{0}\right)R_{0}\cos\left(l\right)-\Omega d \\
\end{align}
</math>

우리가 알고 있는 값 <math>l</math>과 <math>d</math>만 사용한 식으로 다시 나타내기 위해 <math>\Omega-\Omega_{0}</math>를 [[테일러 전개]]한다.

::<math>\left(\Omega-\Omega_{0}\right)=\left(R-R_{0}\right)\frac{d\Omega}{dr}|_{R_{0}}+...</math>

그리고 여기서 잡은 임의의 별이 태양에 가까이 있다는 가정을 했으므로, <math>R-R_{0}</math>의 크기는 매우 작고, 별까지의 거리 <math>d</math>는 <math>R</math> 또는 <math>R_{0}</math>보다 작으므로,
::<math>R-R_{0}=-d \cdot \cos\left(l\right)</math>.<ref name="BM">{{서적 인용|이탤릭체=예|last=Binney |first=J. |author2=Merrifield, M. |title=Galactic Astronomy |url=https://archive.org/details/galacticastronom0000binn|year=1998 |publisher=Princeton University Press |location=Princeton |isbn=978-0-691-02565-0 |oclc=39108765}}</ref>
고로

:<math>
\begin{align}
& V_{\text{obs, r}}=-R_{0}\frac{d\Omega}{dr}|_{R_{0}}d \cdot \cos\left(l\right)\sin\left(l\right) \\
& V_{\text{obs, t}}=-R_{0}\frac{d\Omega}{dr}|_{R_{0}}d \cdot \cos^{2}\left(l\right)-\Omega d \\
\end{align}
</math>

사인과 코사인의 반각 공식을 사용하면 속도 성분들은 다음과 같이 다시 쓸 수 있다.

:<math>
\begin{align}
& V_{\text{obs, r}}=-R_{0}\frac{d\Omega}{dr}|_{R_{0}}d\frac{\sin\left(2l\right)}{2} \\
& V_{\text{obs, t}}=-R_{0}\frac{d\Omega}{dr}|_{R_{0}}d\frac{\left(\cos\left(2l\right)+1\right)}{2}-\Omega d=-R_{0}\frac{d\Omega}{dr}|_{R_{0}}d\frac{\cos\left(2l\right)}{2}+\left(-\frac{1}{2}R_{0}\frac{d\Omega}{dr}|_{R_{0}}-\Omega\right)d \\
\end{align}
</math>

이제 속도 성분들은 우리가 아는 값인 <math>l</math>과 <math>d</math>, 그리고 상관계수 <math>A</math>와 <math>B</math>에 관한 식으로 쓸 수 있다.

:<math>
\begin{align}
& V_{\text{obs, r}}=Ad\sin\left(2l\right) \\
& V_{\text{obs, t}}=Ad\cos\left(2l\right)+Bd \\
\end{align}
</math>
이때
:<math>
\begin{align}
& A=-\frac{1}{2}R_{0}\frac{d\Omega}{dr}|_{R_{0}} \\
& B=-\frac{1}{2}R_{0}\frac{d\Omega}{dr}|_{R_{0}}-\Omega \\
\end{align}
</math>

살펴보면, 관측 속도는 이 상관계수들과 별의 위치에 따라 결정된다. 그리고 이제 이 상관계수들을 은하의 회전 특성과 관계지을 수 있다. 원 궤도를 갖는 어느 별에 대하여, 우리는 각운동량에서 유도된 것들을 [[공전 속도]] 및 궤도 반경에 대한 식으로 표현할 수 있고, 여기에 태양계의 위치를 대입하면

::<math>
\begin{align}
& \Omega=\frac{v}{r} \\
& \frac{d\Omega}{dr}|_{R_{0}}=\frac{d\frac{v}{r}}{dr}|_{R_{0}}=-\frac{V_{0}}{R_{0}^{2}}+\frac{1}{R_{0}}\frac{dv}{dr}|_{R_{0}} \\
\end{align}
</math>
고로

:<math>
\begin{align}
& A=\frac{1}{2}\left(\frac{V_{0}}{R_{0}}-\frac{dv}{dr}|_{R_{0}}\right) \\
& B=-\frac{1}{2}\left(\frac{V_{0}}{R_{0}}+\frac{dv}{dr}|_{R_{0}}\right) \\
\end{align}
</math>

<math>A</math>는 전단운동에 대한 오르트 상수이며, <math>B</math>는 은하 회전에 관한 오르트 상수이다. 후술하겠지만 많은 별들에 대해 속도를 측정함으로써 <math>A</math>와 <math>B</math>의 값을 구할 수 있다.

== 측정 ==
{{빈 문단}}

== 의미 ==
{{빈 문단}}

== 응용 ==
{{빈 문단}}

== 같이 보기 ==
* [[차등회전]]
* [[우리 은하]]
* [[은하의 회전곡선]]
* [[소용돌이도]]

== 각주 ==
<references/>

[[분류:은하천문학]]
[[분류:물리 상수]]