오각형 테셀레이션 문서 원본 보기

{{위키데이터 속성 추적}}
[[파일:P5-type15-chiral_coloring.png|섬네일|2015년에 발견된 15번째 오각형 타일링 유형]]
[[기하학]]에서 '''오각형 타일링'''({{llang|en|pentagonal tiling}}) 또는 '''오각형 테셀레이션'''은 [[오각형]]으로 평면을 채우는 [[타일링]]이다.

[[정오각형]]의 [[내각과 외각|내각]]은 108°로, 360°를 나누지 못하기 때문에 [[유클리드 평면]]을 정오각형으로 채우는 것은 불가능하다. 그러나 [[쌍곡공간]]과 [[구 (기하학)|구]] 위에서는 정오각형 타일링이 가능하며, 특히 구 위에서의 정오각형 타일링은 [[정십이면체]]와 위상적으로 동일하다.<ref>{{저널 인용|title=Isoperimetric Pentagonal Tilings|journal=Notices of the American Mathematical Society|last=Chung|first=Ping Ngai|last2=Fernandez|first2=Miguel A.|url=https://www.ams.org/jourcgi/jour-getitem?pii=noti838|date=2012-05-01|volume=59|issue=05|pages=632|language=en|doi=10.1090/noti838|issn=0002-9920|last3=Li|first3=Yifei|last4=Mara|first4=Michael|last5=Morgan|first5=Frank|last6=Plata|first6=Isamar Rosa|last7=Shah|first7=Nirlee|last8=Vieira|first8=Luis Sordo|last9=Wikner|first9=Elena|doi-access=free}}</ref>

== 단일 볼록 오각형 타일링 ==
[[파일:Monohedral_pentagonal_tiling_labels.png|섬네일|각이 A,B,C,D,E로, 모서리가 a,b,c,d,e로 주어진 오각형 타일의 예시]]
한 가지의 타일 유형으로만 평면을 빈틈없이 채울 수 있는 오각형은 총 15종류가 존재한다.{{sfn|Grünbaum|Shephard|1987|loc=Sec. 9.3 Other Monohedral tilings by convex polygons}}

마지막으로 발견된 것은 2015년으로, 2017년에 {{harvtxt|Rao|2017}}에 의해 15종류가 전부임이 증명되었다.{{sfn|Rao|2017}} {{harvtxt|Bagina|2011}}는 모서리의 일부분만 맞닿는 부분이 없도록 하는 타일링은 8종류의 오각형만이 가능함을 증명하였고, 이 결과는 {{harvtxt|Sugimoto|2012}}도 독립적으로 얻었다.

2017년 5월 Michaël Rao는 타일링 가능한 볼록 오각형이 15종류뿐임을 증명하는 논문을 게재하였으며,{{sfn|Rao|2017}} 2017년 7월 11일 Rao의 증명의 절반 가량이 Thomas Hales에 의해 독립적으로 검증되었다.<ref>{{인용|url=https://github.com/flyspeck/publications-of-thomas-hales/blob/master/projects_discrete_geom/rao-pentagon-tilings/rao-convex-pentagon.m|title=Mathematica code verifying Rao-convex-pentagon-tiling classification|website=GitHub}}</ref>{{sfn|Wolchover|2017}}

아래에 나열된 각각의 타일 유형들은 다른 타일 유형에는 포함되지 않는 오각형 타일을 가지지만, 특정 모양의 타일들은 두 가지 이상의 타일 유형에 포함될 수 있다. 또한 어떤 타일들은 해당 타일 유형의 기본적인 타일링 패턴과 다른 방식으로도 타일링이 가능하다.

아래 그림에서 모서리의 길이 ''a'', ''b'', ''c'', ''d'', ''e''는 [[꼭짓점]]의 [[각 (수학)|각]] ''A'', ''B'', ''C'', ''D'', ''E''의 바로 시계방향 쪽에 위치한다.(따라서 ''A'', ''B'', ''C'', ''D'', ''E''는 각각 변 ''a'', ''b'', ''c'', ''d'', ''e''의 맞은편 각이다.)

{| class="wikitable"
|+단일 볼록 오각형의 15가지 유형
!1
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!3
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!5
|- align="center"
|[[파일:Prototile_p5-type1.png|154x154픽셀]]<br />B + C = 180°<br />A + D + E = 360°
|[[파일:Prototile_p5-type2.png|151x151픽셀]]<br />c = e<br />B + D = 180°
|[[파일:Prototile_p5-type3.png|142x142픽셀]]<br />a = b, d = c + e<br />A = C = D = 120°
|[[파일:Prototile_p5-type4.png|135x135픽셀]]<br />b = c, d = e<br />B = D = 90°
|[[파일:Prototile_p5-type5.png|157x157픽셀]]<br />a = b, d = e<br />A = 60°, D = 120°
|- align="center"
!6
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|- align="center"
|[[파일:Prototile_p5-type6.png|195x195픽셀]]<br />a = d = e, b = c<br />B + D = 180°, 2B = E
|[[파일:Prototile_p5-type7.png|130x130픽셀]]<br />b = c = d = e<br />B + 2E = 2C + D = 360°
|[[파일:Prototile_p5-type8.png|130x130픽셀]]<br />b = c = d = e<br />2B + C = D + 2E = 360°
|[[파일:Prototile_p5-type9.png|130x130픽셀]]<br />b = c = d = e<br />2A + C = D + 2E = 360°
|[[파일:Prototile_p5-type10.png|118x118픽셀]]<br />a = b = c + e<br />A = 90°, B + E = 180°<br />B + 2C = 360°
|- align="center"
!11
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!15
|- align="center"
|[[파일:Prototile_p5-type11.png|203x203픽셀]]<br />2a + c = d = e<br />A = 90°, C + E = 180°<br />2B + C = 360°
|[[파일:Prototile_p5-type12.png|173x173픽셀]]<br />2a = d = c + e<br />A = 90°, C + E = 180°<br />2B + C = 360°
|[[파일:Prototile_p5-type13.png|169x169픽셀]]<br />d = 2a = 2e<br />B = E = 90°<br />2A + D = 360°
|[[파일:Prototile_p5-type14.png|192x192픽셀]]<br />2a = 2c = d = e<br />A = 90°, B ≈ 145.34°, C ≈ 69.32°<br />D ≈ 124.66°, E ≈ 110.68°<br />(2B + C = 360°, C + E = 180°)
|[[파일:Prototile_p5-type15.png|215x215픽셀]]<br /><br />a = c = e, b = 2a<br />A = 150°, B = 60°, C = 135°<br />D = 105°, E = 90°
|}

대부분의 타일 유형은 여러 모양을 가질 수 있는데, 내각이나 모서리의 길이가 서로 다를 수 있다. 또 모서리의 길이가 0에 가까워지거나 각이 180°에 가까워지는 경우도 존재한다. 1, 2, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 13번째 유형의 경우 오각형이 [[오목 다각형|오목]]인 경우가 존재한다.

주기적 타일링(반복되는 패턴이 존재하는 타일링)은 [[평면의 결정군]]의 하나로 분류된다. 예를 들어 [[평면의 결정군#p2 군|p2 (2222)]]은 네 개의 중심에서의 180도 회전변환으로 구성된다. 아래에는 이러한 표기법을 사용하였다.

기본 단위(primitive unit)란 [[평행 이동]]만을 사용하여 타일링을 할 수 있는 최소 타일들의 구성이다.

=== Reinhardt (1918) ===
{{harvtxt|Reinhardt|1918}}는 아래의 첫 다섯 종류의 타일을 발견하였다.

==== 유형 1 ====
유형 1의 오각형으로 덮을 수 있는 타일링의 종류는 여러 가지가 있으며, 아래는 5가지 예시이다.
{| class="wikitable"
! colspan="7" |유형 1
|-
! rowspan="2" |[[평면의 결정군#p2 군|p2 (2222)]]
! rowspan="2" |[[평면의 결정군#cmm 군|cmm (2*22)]]
![[평면의 결정군#cm 군|cm (*×)]]
![[평면의 결정군#pmg 군|pmg (22*)]]
![[평면의 결정군#pgg 군|pgg (22×)]]
! rowspan="2" |[[평면의 결정군#p2 군|p2 (2222)]]
! rowspan="2" |cmm (2*22)
|-
![[평면의 결정군#p1 군|p1 (°)]]
![[평면의 결정군#p2 군|p2 (2222)]]
![[평면의 결정군|p2 (2222)]]
|- align="center"
|[[파일:P5-type1.png|80x80픽셀]]
|[[파일:P5-type1_p4g.png|80x80픽셀]]
|[[파일:P5-type1_pm.png|80x80픽셀]]
|[[파일:P5-type1_p2.png|80x80픽셀]]
|[[파일:P5-type1_pgg-chiral_coloring.png|80x80픽셀]]
|[[파일:P5-type1_1u.png|80x80픽셀]]
|[[파일:P5-type1_1u_90.png|80x80픽셀]]
|- align="center" valign="top"
| colspan="3" |2-타일 기본 단위
| colspan="4" |4-타일 기본 단위
|- align="center" valign="top"
| colspan="2" |[[파일:Lattice_p5-type1.png|170x170픽셀]]
B + C = 180°

A + D + E = 360°
|[[파일:Lattice_p5-type1_cm.png|120x120픽셀]]
a = c, d = e

A + B = 180°

C + D + E = 360°
|[[파일:Lattice_p5-type1_pmg.png|255x255픽셀]]
a = c

A + B = 180°

C + D + E = 360°
|[[파일:Lattice-p5-type1_pgg.png|170x170픽셀]]
a = e

B + C = 180°

A + D + E = 360°
| colspan="2" |[[파일:Lattice_p5-type1_1u.png|101x101픽셀]]
d = c + e
A = 90°, 2B + C = 360°

C + D = 180°, B + E = 270°
|}

==== 유형 2 ====
{| class="wikitable"
! colspan="2" |유형 2
|-
! colspan="2" |pgg (22×)
|-
! colspan="2" |p2 (2222)
|- align="center"
|[[파일:P5-type2-chiral_coloring.png|120x120픽셀]]
|[[파일:P5-type2b_p2.png|120x120픽셀]]
|- align="center"
| colspan="2" |4-타일 기본 단위
|- align="center" valign="bottom"
|[[파일:Lattice_p5-type2.png|153x153픽셀]]
c = e

B + D = 180°
|[[파일:Lattice_p5-type2b.png|171x171픽셀]]
c = e, d = b

B + D = 180°
|}

==== 유형 3, 4, 5 ====
{| class="wikitable"
! colspan="2" |유형 3
! colspan="2" |유형 4
! colspan="3" |유형 5
|-
![[평면의 결정군#p3 군|p3 (333)]]
![[평면의 결정군#p31m 군|p31m (3*3)]]
![[평면의 결정군#p4 군|p4 (442)]]
![[평면의 결정군#p4g 군|p4g (4*2)]]
! colspan="3" |[[Wallpaper group#Group p6 .28632.29|p6 (632)]]
|- align="center"
|[[파일:P5-type3.png|75x75픽셀]]
|[[파일:P5-type3_p3m1.png|75x75픽셀]]
|[[파일:P5-type4.png|75x75픽셀]]
|[[파일:P5-type4_p4g.png|75x75픽셀]]
|[[파일:P5-type5.png|75x75픽셀]]
|[[파일:P5-type5_p6m.png|75x75픽셀]]
|
|- align="center" valign="top"
| colspan="2" |
| colspan="2" |[[파일:Pentagonal_tiling_type_4_animation.gif|160x160픽셀]]
| colspan="2" |[[파일:Pentagonal_tiling_type_5_animation.gif|160x160픽셀]]
|[[파일:P5-type5_rice_p6.png|160x160픽셀]]
|- align="center" valign="top"
| colspan="2" |3-타일 기본 단위
| colspan="2" |4-타일 기본 단위
| colspan="2" |6-타일 기본 단위
|18-타일 기본 단위
|- align="center" valign="top"
| colspan="2" |[[파일:Lattice_p5-type3.png|159x159픽셀]]
a = b, d = c + e

A = C = D = 120°
| colspan="2" |[[파일:Lattice_p5-type4.png|153x153픽셀]]
b = c, d = e

B = D = 90°
| colspan="2" |[[파일:Lattice_p5-type5.png|162x162픽셀]]
a = b, d = e

A = 60°, D = 120°
|[[파일:Lattice_p5-type5_rice_p6.png|150x150픽셀]]
a = b = c, d = e

A = 60°, B = 120°, C = 90°

D = 120°, E = 150°
|}

=== Kershner (1968) ===
{{harvtxt|Kershner|1968}}는 세 종류의 타일을 더 발견하였다. 그는 이전까지 발견된 5종류를 합친 총 8종류가 오각형 타일링이 가능한 모든 오각형의 유형이라고 잘못 주장하였다.

==== 유형 6, 7, 8 ====
아래의 타일링 예시에서 인접한 오각형 타일들끼리는 하나의 모서리만 공유한다(edge-to-edge tiling).
{| class="wikitable"
!유형 6
!유형 6<br />(유형 5에도 포함됨)
!유형 7
!유형 8
|-
! colspan="2" rowspan="2" |p2 (2222)
!pgg (22×)
!pgg (22×)
|-
!p2 (2222)
!p2 (2222)
|- align="center"
|[[파일:P5-type6.png|120x120픽셀]]
|[[파일:P5-type6_parallel.png|120x120픽셀]]
|[[파일:P5-type7-chiral_coloring.png|120x120픽셀]]
|[[파일:P5-type8-chiral_coloring.png|120x120픽셀]]
|- align="center"
| colspan="2" |[[파일:Pentagonal_tiling_type_6_animation.gif|120x120픽셀]]
|[[파일:Pentagonal_tiling_type_7_animation.gif|120x120픽셀]]
|[[파일:Pentagonal_tiling_type_8_animation.gif|120x120픽셀]]
|- align="center"
|[[파일:Prototile_p5-type6.png|150x150픽셀]]
a = d = e, b = c
B + D = 180°, 2B = E
|[[파일:Prototile_p5-type6_parallel.png|137x137픽셀]]
a = d = e, b = c, B = 60°
A = C = D = E = 120°
|[[파일:Prototile_p5-type7.png|102x102픽셀]]
b = c = d = e
B + 2E = 2C + D = 360°
|[[파일:Prototile_p5-type8.png|100x100픽셀]]
b = c = d = e
2B + C = D + 2E = 360°
|- align="center"
|[[파일:Lattice_p5-type6.png|150x150픽셀]]
4-타일 기본 단위
|[[파일:Lattice_p5-type6_parallel.png|132x132픽셀]]
4-타일 기본 단위
|[[파일:Lattice_p5-type7.png|117x117픽셀]]
8-타일 기본 단위
|[[파일:Lattice_p5-type8.png|125x125픽셀]]
8-타일 기본 단위
|}

=== James (1975) ===
1975년에 Richard E. James III는 9번째 유형을 발견하였으며,<ref>[https://www.quantamagazine.org/marjorie-rices-secret-pentagons-20170711/ Marjorie Rice’s Secret Pentagons] Quanta Magazine</ref> 이는 10번째 유형으로 분류되었다.

==== 유형 10 ====
{| class="wikitable"
! colspan="2" |유형 10
|-
!p2 (2222)
!cmm (2*22)
|- align="center"
|[[파일:P5-type10.png|120x120픽셀]]
|[[파일:P5-type10_cmm.png|120x120픽셀]]
|- align="center"
| colspan="2" |[[파일:Pentagonal_tiling_type_10_animation.gif|160x160픽셀]]
|- align="center"
|[[파일:Prototile_p5-type10.png|110x110픽셀]]
a=b=c+e
A=90, B+E=180°

B+2C=360°
|[[파일:Prototile_p5-type10_cmm.png|103x103픽셀]]
a=b=2c=2e
A=B=E=90°

C=D=135°
|- align="center"
| colspan="2" |[[파일:Lattice_p5-type10.png|160x160픽셀]]
6-타일 기본 단위
|}

=== Rice (1977) ===
아마추어 수학자인 Marjorie Rice는 1976년과 1977년에 네 종류의 타일을 추가로 발견하였다.{{sfn|Schattschneider|1978}}<ref>{{인용|author=Marjorie Rice|url=https://sites.google.com/site/intriguingtessellations/home/tessellations|title=Tessellations|website=Intriguing Tessellations|via=Google Sites|access-date=22 August 2015|archive-date=2020-11-14|archive-url=https://web.archive.org/web/20201114003215/https://sites.google.com/site/intriguingtessellations/home/tessellations|url-status=}}</ref>

==== 유형 9, 11, 12, 13 ====
유형 9의 타일링에서 인접한 오각형 타일들끼리는 하나의 모서리만 공유하지만, 나머지 유형은 아니다. 각 기본 단위는 8개의 타일로 이루어져 있다.
{| class="wikitable"
!유형 9
!유형 11
!유형 12
!유형 13
|-
! colspan="4" |pgg (22×)
|-
! colspan="4" |p2 (2222)
|- align="center"
|[[파일:P5-type9-chiral_coloring.png|150x150픽셀]]
|[[파일:P5-type11_chiral_coloring.png|150x150픽셀]]
|[[파일:P5-type12-chiral_coloring.png|150x150픽셀]]
|[[파일:P5-type13-chiral_coloring.png|150x150픽셀]]
|- align="center"
![[파일:Pentagonal_tiling_type_9_animation.gif|150x150픽셀]]
![[파일:Pentagonal_tiling_type_11_animation.gif|150x150픽셀]]
![[파일:Pentagonal_tiling_type_12_animation.gif|150x150픽셀]]
![[파일:Pentagonal_tiling_type_13_animation.gif|150x150픽셀]]
|- align="center"
|[[파일:Prototile_p5-type9.png|110x110픽셀]]b=c=d=e
2A+C=D+2E=360°
|[[파일:Prototile_p5-type11.png|141x141픽셀]]2a+c=d=e
A=90°, 2B+C=360°
C+E=180°
|[[파일:Prototile_p5-type12.png|120x120픽셀]]2a=d=c+e
A=90°, 2B+C=360°
C+E=180°
|[[파일:Prototile_p5-type13.png|143x143픽셀]]d=2a=2e
B=E=90°, 2A+D=360°
|- align="center"
|[[파일:Lattice_p5-type9.png|112x112픽셀]]8-타일 기본 단위
|[[파일:Lattice_p5-type11.png|94x94픽셀]]8-타일 기본 단위
|[[파일:Lattice_p5-type12.png|135x135픽셀]]8-타일 기본 단위
|[[파일:Lattice_p5-type13.png|151x151픽셀]]8-타일 기본 단위
|}

=== Stein (1985) ===
14번째 유형은 1985년에 Rolf Stein이 발견하였다.{{sfn|Schattschneider|1985}}

==== 유형 14 ====
유형 14의 타일링은 하나의 모양으로 유일하게 존재하며, 인접한 타일끼리 모서리의 일부분만 맞닿는 부분이 존재한다(non-edge-to-edge tiling). 정확한 비율은 <math>\frac{b}{a} = \sqrt{\frac{11 \sqrt{57}-25}{8}}</math>이고, 각 B는 <math>\sin(B)=\frac{\sqrt{57}-3}{8}</math>인 둔각이다. 나머지 각은 이로부터 쉽게 도출된다.
{| class="wikitable"
! colspan="3" |유형 14
|- align="center" valign="top"
|[[파일:P5-type14.png|180x180픽셀]]
|[[파일:Prototile_p5-type14.png|192x192픽셀]]2a=2c=d=e
A=90°, B≈145.34°, C≈69.32°,
D≈124.66°, E≈110.68°
(2B+C=360°, C+E=180°).
|[[파일:Lattice_p5-type14.png|186x186픽셀]]6-타일 기본 단위
|}

=== Mann/McLoud/Von Derau (2015) ===
2015년에 세 수학자 Casey Mann와 Jennifer McLoud-Mann, David Von Derau는 컴퓨터 [[알고리즘]]을 이용하여 15번째 유형을 발견하였다.{{sfn|Bellos|2015}}{{sfn|Mann|McLoud-Mann|Von Derau|2018}}

==== 유형 15 ====
유형 15의 타일링도 하나의 모양으로 유일하게 존재하며, 인접한 타일끼리 모서리의 일부분만 맞닿는 부분이 존재한다. 기본 단위는 12개의 타일로 이루어져 있다.

2017년 7월 Michaël Rao는 다른 유형의 볼록 오각형 타일링이 존재하지 않음을 [[컴퓨터를 이용한 증명|컴퓨터를 이용하여 증명]]하였다. 평면을 타일링하는 볼록 다각형의 [[쪽매맞춤#볼록다각형 테셀레이션|완전한 목록]]은 위의 15종류의 오각형과 3종류의 [[육각형]], 모든 [[삼각형]]과 [[사각형]]으로 구성된다.{{sfn|Wolchover|2017}} 위의 유형들은 모두 주기적 타일링(periodic tiling)이므로, 증명 결과에 의하여 비주기적으로만 평면을 타일링하는 볼록 다각형은 존재하지 않는다.
{| class="wikitable"
! colspan="3" |유형 15
|- align="center" valign="center"
|[[파일:P5-type15-chiral_coloring.png|180x180픽셀]]
|[[파일:Prototile_p5-type15.png|215x215픽셀]]a=c=e, b=2a, d={{math|{{sfrac|a|{{radic|2}}|{{radic|3}}-1}}}}
A=150°, B=60°, C=135°
D=105°, E=90°
|[[파일:Lattice_p5-type15.png|207x207픽셀]]12-타일 기본 단위
|}

=== 비주기적 단일 오각형 타일링 ===
아래의 중앙 그림에서 보이는, Michael Hirschhorn이 만든 6회 [[회전대칭|대칭]]의 예시와 같이 비주기적인 단일 오각형 타일링도 존재한다. 6회 대칭에서 각은 A = 140°, B = 60°, C = 160°, D = 80°, E = 100°이다.{{sfn|Schattschneider|1978|loc=Fig 12}}{{sfn|Hirschhorn|Hunt|1985}}

2016년에 Bernhard Klaassen은 모든 대칭(회전대칭 <math>C_n</math>과 [[정다각형#대칭성|정다각형 대칭]] <math>D_n</math>)에 대해 단일 오각형 타일링이 존재함을 증명하였다.{{sfn|Klaassen|2016}} 아래의 왼쪽과 오른쪽 그림은 각각 5회 대칭과 7회 대칭의 예시이며, n>2인 자연수 n에 대해 n회 대칭인 타일링이 가능하다.
{| class="wikitable" width="600"
|[[파일:Pentagonal_tiling_with_5-fold_rotational_symmetry.png|210x210픽셀]]5회 대칭인 단일 오각형 타일링
|[[파일:Hirschhorn_6-fold-rotational_symmetry_pentagonal_tiling.svg|200x200픽셀]]Hirschhorn의 6회 대칭인 단일 오각형 타일링
|[[파일:Pentagonal_tiling_with_7-fold_rotational_symmetry.png|203x203픽셀]]7회 대칭인 단일 오각형 타일링
|}

== 각주 ==
{{각주|30em}}

=== 참고 문헌 ===
{{참고 자료 시작|30em}}
* {{인용|last=Bagina|first=Olga|title=Tiling the plane with congruent equilateral convex pentagons|doi=10.1016/j.jcta.2003.11.002|mr=2046081|year=2004|journal=Journal of Combinatorial Theory, Series A|issn=1096-0899|volume=105|issue=2|pages=221–232}}
* {{인용|last=Bagina|first=Olga|script-title=ru:Мозаики из выпуклых пятиугольников|trans-title=Tilings of the plane with convex pentagons|language=ru|year=2011|journal=Vestnik|issn=2078-1768|volume=4|issue=48|pages=63–73|url=http://www.mathnet.ru/php/seminars.phtml?presentid=4640|access-date=29 January 2013}}
*{{인용|title=Attack on the pentagon results in discovery of new mathematical tile|first=Alex|last=Bellos|newspaper=[[The Guardian]]|date=11 August 2015|url=https://www.theguardian.com/science/alexs-adventures-in-numberland/2015/aug/10/attack-on-the-pentagon-results-in-discovery-of-new-mathematical-tile}}
* {{인용|first=D.|last=Chavey|title=Tilings by Regular Polygons&mdash;II: A Catalog of Tilings|url=https://www.beloit.edu/computerscience/faculty/chavey/catalog/|journal=Computers & Mathematics with Applications|year=1989|volume=17|issue=1–3|pages=147&ndash;165|doi=10.1016/0898-1221(89)90156-9}}
* {{인용|last=Gardner|first=Martin|author-link=Martin Gardner|title=Time travel and other mathematical bewilderments|location=New York|publisher=W.H. Freeman|year=1988|isbn=978-0-7167-1925-0|chapter=Tiling with Convex Polygons|mr=0905872|bibcode=1988ttom.book.....G}}
*{{인용|last=Gerver|first=M. L.|doi=10.1070/sm2003v194n06abeh000743|issue=6|journal=[[Matematicheskii Sbornik|Sbornik: Mathematics]]|pages=879–895|title=Theorems on tessellations by polygons|volume=194|year=2003|bibcode=2003SbMat.194..879G}}
* {{인용|last=Godrèche|first=C.|doi=10.1088/0305-4470/22/24/006|issue=24|journal=Journal of Physics A: Mathematical and General|mr=1030678|pages=L1163–L1166|title=The sphinx: a limit-periodic tiling of the plane|volume=22|year=1989|bibcode=1989JPhA...22L1163G}}
* {{인용|last1=Grünbaum|first1=Branko|author-link=Branko Grünbaum|last2=Shephard|first2=Geoffrey C.|title=Isohedral tilings of the plane by polygons|journal=Commentarii Mathematici Helvetici|issn=0010-2571|year=1978|volume=53|pages=542–571|doi=10.1007/bf02566098}}
* {{인용|last1=Grünbaum|first1=Branko|author-link=Branko Grünbaum|last2=Shephard|first2=Geoffrey C.|title=Tilings and Patterns|location=New York|publisher=W. H. Freeman and Company|year=1987|isbn=978-0-7167-1193-3|chapter=Tilings by polygons|mr=0857454|url-access=registration|url=https://archive.org/details/isbn_0716711931}}
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* {{인용|last=Klaassen|first=Bernhard|date=2016|title=Rotationally symmetric tilings with convex pentagons and hexagons|journal=Elemente der Mathematik|volume=71|issue=4|pages=137–144|doi=10.4171/em/310|issn=0013-6018|arxiv=1509.06297}}
*{{인용|last1=Mann|first1=Casey|last2=McLoud-Mann|first2=Jennifer|last3=Von Derau|first3=David|title=Convex pentagons that admit <math>i</math>-block transitive tilings|journal=Geometriae Dedicata|date=2018|volume=194|issue=1|pages=141–167|doi=10.1007/s10711-017-0270-9|arxiv=1510.01186}}
* {{인용|last=Rao|first=Michaël|title=Exhaustive search of convex pentagons which tile the plane|year=2017|arxiv=1708.00274|url=https://perso.ens-lyon.fr/michael.rao/publi/penta.pdf}}
* {{인용|last=Reinhardt|first=Karl|title=Über die Zerlegung der Ebene in Polygone|url=http://resolver.sub.uni-goettingen.de/purl?PPN316479497|location=Borna-Leipzig|publisher=Druck von Robert Noske|language=de|type=Dissertation|year=1918}}
* {{인용|last=Schattschneider|first=Doris|author-link=Doris Schattschneider|title=Tiling the plane with congruent pentagons|mr=0493766|year=1978|journal=[[Mathematics Magazine]]|issn=0025-570X|volume=51|issue=1|pages=29–44|doi=10.2307/2689644|jstor=2689644|url=http://www.maa.org/programs/maa-awards/writing-awards/tiling-the-plane-with-congruent-pentagons|access-date=2021-06-17|archive-date=2023-12-11|archive-url=https://web.archive.org/web/20231211002819/https://maa.org/programs/maa-awards/writing-awards/tiling-the-plane-with-congruent-pentagons|url-status=}}
* {{인용|last=Schattschneider|first=Doris|author-link=Doris Schattschneider|title=A new pentagon tiler|journal=Mathematics Magazine|volume=58|issue=5|year=1985|page=308|id=The cover has a picture of the new tiling}}
*{{인용|last1=Sugimoto|first1=Teruhisa|last2=Ogawa|first2=Tohru|journal=Forma|mr=2240616|pages=1–18|title=Systematic study of convex pentagonal tilings. I. Case of convex pentagons with four equal-length edges|url=http://www.scipress.org/journals/forma/abstract/2001/20010001.html|volume=20|year=2005|access-date=2021-06-17|archive-date=2016-03-04|archive-url=https://web.archive.org/web/20160304132856/http://www.scipress.org/journals/forma/abstract/2001/20010001.html|url-status=}}
*{{인용|last1=Sugimoto|first1=Teruhisa|last2=Ogawa|first2=Tohru|issue=3|journal=Forma|mr=2868775|pages=93–109|title=Systematic study of convex pentagonal tilings, II: tilings by convex pentagons with four equal-length edges|url=http://www.scipress.org/journals/forma/abstract/2403/24030093.html|volume=24|year=2009|access-date=2021-06-17|archive-date=2020-08-22|archive-url=https://web.archive.org/web/20200822001727/http://www.scipress.org/journals/forma/abstract/2403/24030093.html|url-status=}}; [http://www.scipress.org/journals/forma/pdf/2501/25010049.pdf Errata] {{웹아카이브|url=https://web.archive.org/web/20210805153821/http://www.scipress.org/journals/forma/pdf/2501/25010049.pdf}}, ''Forma'' '''25''' (1): 49, 2010, {{MR|2868824}}
* {{인용|last=Sugimoto|first=Teruhisa|year=2012|mr=3030316|title=Convex pentagons for edge-to-edge tiling, I|pages=93–103|journal=Forma|volume=27|issue=1|url=http://www.scipress.org/journals/forma/abstract/2701/27010093.html|access-date=2021-06-17|archive-date=2020-05-20|archive-url=https://web.archive.org/web/20200520010532/http://www.scipress.org/journals/forma/abstract/2701/27010093.html|url-status=}}
*{{인용|title=Pentagon Tiling Proof Solves Century-Old Math Problem|first=Natalie|last=Wolchover|newspaper=[[Quanta Magazine]]|date=11 July 2017|url=https://www.quantamagazine.org/pentagon-tiling-proof-solves-century-old-math-problem-20170711/}}
{{참고 자료 끝}}

== 외부 링크 ==

* {{매스월드|title=Pentagon Tiling|urlname=PentagonTiling|mode=cs2}}
* [http://demonstrations.wolfram.com/PentagonTilings/ Pentagon Tilings]
* [http://www.mathpuzzle.com/tilepent.html The 14 Pentagons that Tile the Plane]
* [http://www.jaapsch.net/tilings/#pentagon 15 (monohedral) Tilings with a convex pentagonal tile] with k-isohedral colorings
* [http://jsfiddle.net/jolumij/fzu3jw23/ Code to display the 14th pentagon type tiling]
* [http://jsfiddle.net/jolumij/1qh7zav9/ Code to display the 15th pentagon type tiling]
{{테셀레이션}}

[[분류:테셀레이션]]