옌센 부등식 문서 원본 보기

{{위키데이터 속성 추적}}
[[수학]]에서 '''옌센 부등식'''({{llang|en|Jensen’s inequality}})은 [[기댓값]]의 [[볼록 함수]]와 볼록 함수의 기댓값 사이에 성립하는 [[부등식]]이다.<ref name="김성기">김성기, 계승혁, 《실해석》, 서울대학교출판부, 2002</ref><ref name="Athreya">{{서적 인용
|성1=Athreya
|이름1=Krishna B.
|성2=Lahiri
|이름2=Soumendra N.
|제목=Measure Theory and Probability Theory
|언어=en
|총서=Springer Texts in Statistics
|출판사=Springer
|위치=New York, NY
|날짜=2006
|isbn=978-0-387-32903-1
|issn=1431-875X
|doi=10.1007/978-0-387-35434-7
|zbl=1125.60001
}}</ref>

== 정의 ==
열린구간 <math>(a,b)\subseteq\mathbb R</math> 위의 [[볼록 함수]] <math>f\colon(a,b)\to\mathbb R</math> 및 실수 <math>x_1,\dots,x_n\in\mathbb(a,b)</math> 및 음이 아닌 실수 <math>p_1,\dots,p_n\in[0,1]</math> (<math>p_1+\cdots+p_n=1</math>)가 주어졌다고 하자. '''옌센 부등식'''에 따르면, 다음이 성립한다.
:<math>f(p_1x_1+p_2x_2+\cdots+p_nx_n)\le p_1f(x_1)+p_2f(x_2)+\cdots+p_nf(x_n)</math>

보다 일반적으로, 열린구간 <math>(a,b)\subseteq\mathbb R</math> 위의 [[볼록 함수|볼록]] [[가측 함수]] <math>f\colon((a,b),\mathcal B((a,b)))\to(\mathbb R,\mathcal B(\mathbb R))</math> 및 [[확률 공간]] <math>(\Omega,\mathcal F,\operatorname{Pr})</math> 위의 [[확률 변수]] <math>X\colon\Omega\to((a,b),\mathcal B((a,b)))</math>가 주어졌다고 하자. '''옌센 부등식'''에 따르면, 만약 [[기댓값]] <math>\operatorname E(X)</math>와 <math>\operatorname E(f(X))</math>가 존재한다면, 다음이 성립한다.<ref name="김성기" />{{rp|66}}<ref name="Athreya" />{{rp|86, §3.1, Theorem 3.1.9}}
:<math>f(\operatorname E(X))\le\operatorname E(f(X))</math>
여기서 <math>\operatorname E(-)</math>는 [[기댓값]]이다.

== 특수한 경우 ==
=== 산술-기하 평균 부등식 ===
{{본문|산술-기하 평균 부등식}}
만약 <math>(a,b)=(0,\infty)</math>이며, <math>f=-\ln</math>일 경우, 옌센 부등식은 [[산술-기하 평균 부등식]]
:<math>p_1x_1+p_2x_2+\cdots+p_nx_n\ge x_1^{p_1}x_2^{p_2}\cdots x_n^{p_n}</math>
이다.

=== 영의 부등식 ===
{{본문|영의 부등식}}
만약 <math>(a,b)=(0,\infty)</math>이며, <math>f=-\ln</math>이며, <math>n=2</math>이며, <math>\textstyle p_1=\frac 1p</math>, <math>\textstyle p_2=\frac 1q</math> (<math>\textstyle\frac 1p+\frac1q=1</math>)일 경우, 옌센 부등식은 [[영의 부등식]]
:<math>\frac xp+\frac yq\ge x^{1/p}y^{1/q}</math>
이다.

=== 멱함수 ===
양의 실수 <math>p\in[1,\infty)</math>에 대하여, 만약 <math>(a,b)=(0,\infty)</math>이며, <math>f\colon x\mapsto x^p</math>이며, <math>\textstyle p_i=\frac 1n</math>일 경우, 옌센 부등식은
:<math>(|x_1|+|x_2|+\cdots+|x_n|)^p\le n^{p-1}(|x_1|^p+|x_2|^p+\cdots+|x_n|^p)</math>
이다.

양의 실수 <math>p\in(0,1)</math>에 대하여, 만약 <math>(a,b)=(0,\infty)</math>이며, <math>f\colon x\mapsto-x^p</math>이며, <math>\textstyle p_i=\frac 1n</math>일 경우, 옌센 부등식은
:<math>(|x_1|+|x_2|+\cdots+|x_n|)^p\ge n^{p-1}(|x_1|^p+|x_2|^p+\cdots+|x_n|^p)</math>
이다.

== 역사 ==
요한 옌센({{llang|da|Johan Jensen}})의 이름을 땄다.

== 참고 문헌 ==
{{각주}}

== 외부 링크 ==
* {{eom|제목=Jensen inequality}}
* {{매스월드|id=JensensInequality|제목=Jensens’ inequality}}

[[분류:확률부등식]]
[[분류:통계부등식]]
[[분류:해석학 정리]]
[[분류:볼록 해석]]