영 타블로 문서 원본 보기

{{위키데이터 속성 추적}}
[[조합론]]과 [[표현론]]에서 '''영 타블로'''({{llang|en|Young tableau; 복수: tableaux}})는 [[대칭군 (군론)|대칭군]]과 [[일반선형군]], [[특수선형군]], [[특수 유니터리 군]] 등의 [[군 표현|표현]]을 나타내는 조합론적인 대상이다.

== 정의 ==
'''페러스 그림'''({{llang|en|Ferrers diagram}})은 일련의 행들로 이루어진 도형이다. 열들은 왼쪽에 정렬돼 있으며, 아래로 내려갈 수록 그 길이들이 같거나 더 짧다.
[[파일:Young diagram for 541 partition.svg|thumb|center|페러스 그림의 예. 열의 길이는 5, 4, 1이다.]]

'''영 타블로'''({{llang|en|Young tableau}})는 페러스 그림에, 각각의 칸에 숫자를 기입한 도형이다.
[[파일:Young tableaux for 541 partition.svg|thumb|center|영 타블로의 예.]]

'''표준 영 타블로'''({{llang|en|standard Young tableau}})는 다음 두 조건을 만족시키는 영 타블로다.
* 각 행에서 오른쪽으로 갈 수록 숫자가 항상 증가한다.
* 각 열에서 밑으로 갈 수록 숫자가 항상 증가한다.
'''준표준 영 타블로'''({{llang|en|semistandard Young tableau}})는 다음 두 조건을 만족시키는 영 타블로다.
* 각 행에서 오른쪽으로 갈 수록 숫자가 항상 감소하지 않는다.
* 각 열에서 밑으로 갈 수록 숫자가 항상 증가한다.

주어진 페러스 그림에서, <math>(i,j)</math>번째 칸의 '''고리 길이'''({{llang|en|hook length}}) <math>\operatorname{hook}(i,j)</math>는 <math>i'\ge i,j=j'</math> 또는 <math>i'=i,j'\ge j</math>인 칸 <math>(i',j')</math> (즉, 주어진 칸의 오른쪽 또는 밑에 있는 칸들. 주어진 칸 자체도 포함한다) 들의 개수다.
[[파일:Hook length for 541 partition.svg|thumb|center|페러스 그림의 각 칸의 고리 길이들]]

== 표현론에서의 응용 ==
=== 대칭군 ===
[[대칭군 (군론)|대칭군]] <math>S_n</math>의 복소수 [[기약 표현]]은 총 <math>n</math>개의 칸을 가지는 페러스 그림과 일대일 대응한다. 이 경우, 주어진 페러스 그림에 대응하는 표현의 차원은 다음 조건을 만족하는, 페러스 그림에 대응하는 표준 영 타블로의 수와 같다.
* 각 칸의 숫자는 <math>1,\dots,n</math> 가운데 하나이고, 숫자가 중복되지 않는다.
이 경우, <math>S_n</math> [[단순 가군|기약 표현]]의 차원은 다음과 같다.
:<math>\dim r=\frac{n!}{\prod_{i,j}\operatorname{hook}(i,j)}</math>

예를 들어, S<sub>4</sub>의 [[단순 가군|기약 표현]]들은 다음과 같다.
{| class="wikitable"
|-
! 페러스 그림 !! 고리 길이 !! S<sub>4</sub> 표현 차원
|-
| □□□□ || 4321 || 1
|-
| □□□<br>□ || 421<br>1 || 3
|-
| □□<br>□□ || 32<br>21 || 2
|-
| □□<br>□<br>□ || 41<br>2<br>1 || 3
|-
| □<br>□<br>□<br>□ || 4<br>3<br>2<br>1 || 1
|}

=== 선형군과 유니터리 군 ===
[[일반선형군]] <math>GL(n,\mathbb C)</math>의 복소수 [[기약 표현]]은 다음 조건을 만족시키는 페러스 그림과 [[일대일 대응]]한다.
* 각 열의 길이는 <math>n</math> 이하다.
이 경우, 주어진 페러스 그림에 대응하는 표현의 차원은 다음 조건을 만족하는, 페러스 그림에 대응하는 준표준 영 타블로의 수와 같다.
* 각 칸의 숫자는 <math>1,\dots,n</math> 가운데 하나다.
이 경우, 차원은 다음과 같이 계산할 수 있다.
:<math>\dim r=\prod_{(i,j)}\frac{n-i+j}{\operatorname{hook}(i,j)}</math>

[[특수선형군]] <math>SL(n,\mathbb C)</math>의 복소수 [[기약 표현]]은 다음 조건을 만족시키는 페러스 그림과 [[일대일 대응]]한다.
* 각 열의 길이는 <math>n</math> 미만이다.
주어진 페러스 그림에 대응하는 표현의 차원은 일반선형군의 경우와 같다.

[[특수 유니터리 군]] <math>SU(n)</math>의 복소화는 특수선형군 <math>SL(n,\mathbb C)</math>이다. 따라서 특수 유니터리 군의 복소수 [[기약 표현]]도 특수선형군과 마찬가지로 분류할 수 있다.
{| class="wikitable"
|-
! 페러스 그림 !! 고리 길이 !! SU(''n'') 표현 차원
|-
| · || · || 1
|-
| □ || 1 || <math>n</math>
|-
| □□  || 21 || <math>n(n+1)/2</math>
|-
| □<br>□  || 2<br>1 || <math>n(n-1)/2</math>
|-
| □□□ || 321 || <math>n(n+1)(n+2)/6</math>
|-
| □□<br>□ || 31<br>1 || <math>n(n^2-1)/3</math>
|-
| □<br>□<br>□ || 3<br>2<br>1 || <math>n(n-1)(n-2)/6</math>
|}
이들 표현들은 ''N''차원 [[기본 표현]]의 적절한 (반)대칭 곱들로 만들 수 있다. 이를 ''N''차원 기본 표현의 지표(index)로 나타내면
* 같은 행에 속한 지수들은 모두 완전 대칭화한다.
* 같은 열에 속한 지수들은 모두 완전 반대칭화한다.
예를 들어,
:<code lang="en">i&#8414; j&#8414; k&#8414;<br>l&#8414; m&#8414;</code>
의 꼴의 영 타블로는
:<math>T^{ijklm}</math>
꼴의 텐서에 대응한다. 이는
:<math>T^{ijklm}=T^{(ijk)(lm)}=T^{[i|jk|l]m}=T^{i[j|kl|m]}</math>
의 꼴의 (반)대칭성을 가진다.

=== 직교군 ===
SO(''n'')의 경우, <math>\operatorname{SO}(n)\subset\operatorname{SU}(n)</math>을 사용해 표현을 분류할 수 있다. 이 경우, SO(''n'')의 텐서 표현은 다음과 같은 조건을 만족시키는 페러스 그림과 대응한다.
* 각 열의 길이가 <math>\lfloor n/2\rfloor</math>
만약 <math>n</math>이 짝수이고, 길이가 <math>n/2</math>인 열이 존재한다면, 같은 영 타블로에 두 개의 기약 표현이 대응한다. 이는 각각 자기쌍대({{llang|en|self-dual}}, SD) 및 반자기쌍대({{llang|en|anti-self-dual}}, ASD)로 일컬어진다.

주어진 페러스 그림에 대응하는 SO(''n'') 텐서 표현의 차원은 다음과 같다.<ref name="CS"/> <math>i</math>번째 열의 길이를 <math>r_i</math>, <math>i</math>번째 행의 길이를 <math>c_i</math>라고 하자 (<math>i\ge1</math>). 만약 해당하는 행·열이 없으면 길이는 0으로 정의한다. 다음과 같은 '''내용 함수'''({{llang|en|content function}})을 정의하자.<ref name="CS"/>{{rp|10}}
:<math>C(i,j)=\begin{cases}r_i+r_j-i-j&i\ge j\\-c_i-c_j+i+j-2&i<j\end{cases}</math>
그렇다면 SO(''n'') 텐서 표현의 차원은 다음과 같다.<ref name="CS"/>{{rp|Cor. 13, Cor. 17, Remark 18}}
:<math>\dim r=\sum_{(i,j)}\frac{n+C(i,j)}{\operatorname{hook}(i,j)}</math>
만약 <math>n</math>이 짝수이며 길이가 <math>n/2</math>인 행이 있다면, (반)자기쌍대 조건을 가하면 차원은 위 공식의 ½이다.

영 타블로의 각 칸은 <math>n</math>차원 벡터 지표에 대응한다. 이 경우
* 같은 행에 속한 지표들은 모두 대칭화하며, 같은 행에 속한 임의의 한 쌍의 지표에 대하여 대각합이 0이다.
* 같은 열에 속한 지표들은 모두 반대칭화한다.
예를 들어,
:<code lang="en">i&#8414; j&#8414; k&#8414;<br>l&#8414; m&#8414;</code>
의 꼴의 영 타블로는
:<math>T^{ijklm}</math>
꼴의 텐서에 대응하며,
:<math>T^{ijklm}=T^{(ijk)(lm)}=T^{[i|jk|l]m}=T^{i[j|kl|m]}</math>
:<math>0=\delta_{ij}T^{ijklm}=\delta_{ik}T^{ijklm}=\delta_{jk}T^{ijklm}=\delta_{lm}T^{ijklm}</math>
꼴의 (반)대칭성을 가진다.

SO(''n'')의 경우, SU(''n'')과는 달리 [[스피너]] 표현들이 존재한다. 스피너 표현의 경우 모든 가능한 [[감마 행렬]] 축약이 0이어야 한다. 스피너 표현은 간혹 텐서 표현의 영 타블로의 한 칸에 점을 찍어 표기된다.<ref name=vS/> 여기서는 스피너 표현을 (s)로 표기하자.
{| class="wikitable"
|-
! 페러스 그림 !!  고리 길이 !! 내용 !! SO(''n'') 표현 차원 !! 페러스 그림 !! Spin(''n'') 표현 차원 (<math>n>6</math>)
|-
| · || · || · || 1 || · (s) || <math>2^{\lfloor(n-1)/2\rfloor}</math>
|-
| □ || 1 || +0 ||  <math>n</math> || □ (s) || <math>2^{\lfloor(n-1)/2\rfloor}(n-1)</math>
|-
| □□  || 21 || +2 &minus;1 || <math>(n+2)(n-1)/2</math> || □□ (s) || <math>2^{\lfloor(n-1)/2\rfloor}n(n-1)/2</math>
|-
| □<br>□  || 21 || +0<br>&minus;1 || <math>n(n-1)/2</math> || □ (s)<br>□ || <math>2^{\lfloor(n-1)/2\rfloor}n(n-3)/2</math>
|-
| □□□ || 321 || +4 &minus;1 +0 || <math>(n+4)(n-1)n/6</math> || □□□ (s) || <math>2^{\lfloor(n-1)/2\rfloor}n(n-1)(n+1)/6</math>
|-
| □□<br>□ || 31<br>1 || +2 &minus;2<br>+0 ||<math>(n+2)(n-2)n/3</math> || □□ (s)<br>□ || <math>2^{\lfloor(n-1)/2\rfloor}(n-2)(n-1)(n+3/2)</math>
|-
| □<br>□<br>□ || 3<br>2<br>1 || +0<br>&minus;1<br>&minus;2 || <math>n(n-1)(n-2)/6</math> ||□ (s)<br>□<br>□ || <math>2^{\lfloor(n-1)/2\rfloor}n(n-1)(n-5)/6</math>
|}

예를 들어, SU(2)=Spin(3)의 [[기약 표현]]들은 SU(2) 영 타블로 또는 SO(3) 영 타블로로 다음과 같이 나타낼 수 있다.
{| class="wikitable" style="text-align: center"
|-
! 스핀 || 0 || ½ || 1 || 1½ || 2 || 2½ || 3 || 3½
|-
! 차원
| 1 || 2 || 3 || 4 || 5 || 6 || 7 || 8
|-
! SU(2) 영 타블로
| · || □ || □□ || □□□ || □□□□ || □□□□□ ||  □□□□□□ || □□□□□□□□
|-
! SO(3) 영 타블로
| · || · (s) || □ || □ (s) || □□ || □□ (s) || □□□ || □□□ (s)
|}

마찬가지로, Spin(6)=SU(4)의 [[기약 표현]]들은 SO(6) 영 타블로 또는 SU(4) 영 타블로로 다음과 같이 나타낼 수 있다.
{| class="wikitable"
|-
! 차원 || 1 || 4 || {{overline|4}} || 6 || 10 || {{overline|10}}
|-
! SU(4) 영 타블로
| · || □ || □<br>□<br>□ || □<br>□ || □□ || □□<br>□□<br>□□
|-
! SO(6) 영 타블로
| · || · (s) || · ({{overline|s}}) || □ ||  □ (SD)<br>□<br>□ || □ (ASD)<br>□<br>□
|}
마찬가지로, Spin(4)=SU(2)×SU(2)의 [[기약 표현]]들은 다음과 같다.
{| class=wikitable
|-
! 스핀 || (0, 0) || (½, 0) || (0, ½) || (½, ½) || (1, 0) || (0, 1) || (1, ½) || (½, 1) || (1½, 0) || (0, 1½) || (1, 1) || (1½, ½) || (½, 1½) || (2, 0) || (0, 2)
|-
! SU(2) 영 타블로
| (·, ·) || (□, ·) || (·, □) || (□, □) || (□□, ·) || (·, □□) || (□□, □) || (□, □□) || (□□□, ·) || (·, □□□) || (□□, □□) || (□□□, □) || (□, □□□) || (□□□□, ·) || (·, □□□□)
|-
! SO(4) 영 타블로
| · || s || {{overline|s}} || □ || □ (SD)<br>□ || □ (ASD)<br>□ || □ (s) || □ ({{overline|s}}) || □ (s)<br>□ || □ ({{overline|s}})<br>□ || □□
| □□ (SD) <br> □ || □□ (ASD) <br> □ || □□ (SD) <br> □□ || □□ (ASD) <br> □□
|}

=== 심플렉틱 군 ===
짝수 <math>n</math>에 대하여, USp(''n'')의 경우에도 영 타블로를 사용하여 표현을 분류할 수 있다.<ref name="vS">{{웹 인용|url=http://astro.sunysb.edu/steinkirch/books/group.pdf|이름=Marina von Steinkirch|날짜=2011-01-12|제목=Group theory for physicists|확인날짜=2013-11-22|보존url=https://web.archive.org/web/20131001202314/http://astro.sunysb.edu/steinkirch/books/group.pdf#|보존날짜=2013-10-01|url-status=dead}}</ref> 이 경우
:<math>\operatorname{USp}(n)\subset\operatorname{SU}(n)</math>
을 사용해, 특수 유니터리 군의 경우와 마찬가지로 표현들을 분류할 수 있다. 이 경우, USp(''n'')의 텐서 표현은 다음과 같은 조건을 만족시키는 페러스 그림과 대응한다.
* 각 열의 길이가 <math>n/2</math> 이하이다.
이 경우, 주어진 페러스 그림에 대응하는 USp(''n'') 표현의 차원은 다음과 같다.<ref name="CS">{{저널 인용|arxiv=0710.4155|이름=Peter S.|성=Campbell|공저자=Anna Stokke|제목=Hook–content formulae for symplectic and orthogonal tableaux|언어=en}}</ref> 페러스 그림 <math>\lambda</math>의 행의 길이가 <math>r_1,r_2,\dots</math>이며, 열의 길이가 <math>c_1,c_2,\dots</math>라고 하자. 우선, 다음과 같은 '''내용 함수'''({{llang|en|content function}})를 정의하자.<ref name="CS"/>{{rp|6}}
:<math>C(i,j)=\begin{cases}
r_i+r_j-i-j+2&i>j\\
-c_i-c_j+i+j&i\le j
\end{cases}</math>
그렇다면 USp(''n'') 표현의 차원은 다음과 같다.<ref name="CS"/>{{rp|Cor. 9}}
:<math>\dim r=\prod_{(i,j)}\frac{n+C(i,j)}{\operatorname{hook}(i,j)}</math>

영 타블로의 각 칸은 <math>n</math>차원 벡터 지표에 대응한다. 이 경우
* 같은 행에 속한 지표들은 모두 대칭화한다.
* 같은 열에 속한 지표들은 모두 반대칭화하며, <math>\omega_{\mu\nu}</math>에 의한 축약이 모두 0이다.
예를 들어,
:<code lang="en">i&#8414; j&#8414; k&#8414;<br>l&#8414; m&#8414;</code>
의 꼴의 영 타블로는
:<math>T^{ijklm}</math>
꼴의 텐서에 대응하며,
:<math>T^{ijklm}=T^{(ijk)(lm)}=T^{[i|jk|l]m}=T^{i[j|kl|m]}</math>
:<math>0=\omega_{il}T^{ijklm}=\omega_{jm}T^{ijklm}=0</math>
꼴의 (반)대칭성을 가진다.

{| class="wikitable"
|-
! 페러스 그림 !! 고리 길이 !! 내용 !! USp(''n'') 표현 차원
|-
| · || 1
|-
| □ || 1 || 0 || <math>n</math>
|-
| □□  || 21 || +0 +1 || <math>n(n+1)/2</math>
|-
| □<br>□  || 2<br>1 || &minus;2<br>+1 ||<math>(n-2)(n+1)/2</math>
|-
| □□□ || 321 || +0 +1 +2 || <math>n(n+1)(n+2)/6</math>
|-
| □□<br>□ || 31<br>1 || &minus;2 +0<br>+2 ||  <math>(n-2)n(n+2)/3</math>
|-
| □<br>□<br>□ || 3<br>2<br>1 || &minus;4<br>+0<br>+1 || <math>(n-4)n(n+1)/6</math>
|}

예를 들어, SO(5)=USp(4)의 표현들은 다음과 같다.
{| class=wikitable
! 차원
| 1 || 4 || 5 || 10 || 14 || 16
|-
! SO(5) 영 타블로
| · ||  · (s) || □ || □<br>□ || □□ || □ (s)
|-
! USp(4) 영 타블로
| · || □ || □<br>□ || □□ ||□□<br>□□ || □□<br>□
|}

== 역사 ==
[[영국]]의 수학자 앨프리드 영({{llang|en|Alfred Young}})이 1900년에 도입하였다.<ref>{{맥튜터|id=Young_Alfred|date=2001-09|title=Alfred Young}}</ref>

== 각주 ==
{{각주}}
* {{저널 인용|제목=What is … a Young tableau?|이름=Alexander|성=Yong|저널=Notices of the American Mathematical Society|권=54|호=2|쪽=240–241|언어=en|날짜=2007-02|url=http://www.ams.org/notices/200702/whatis-yong.pdf}}
* {{서적 인용|이름=William|성=Fulton|제목=Young Tableaux with Applications to Representation Theory and Geometry|url=https://archive.org/details/youngtableauxwit0000fult|출판사=Cambridge University Press|날짜=1997|isbn=0-521-56724-6|언어=en|zbl=0878.14034|mr=1464693}}
* {{서적 인용|이름=Predrag|성=Cvitanović|제목=Group Theory: Birdtracks, Lie’s, and Exceptional Groups|출판사=Princeton University Press|날짜=2008|isbn=9780691118369|url=http://birdtracks.eu/|언어=en|zbl=1152.22001|mr=2418111}}
* {{서적 인용|제목=Group Theory: A Physicist’s Survey|이름=Pierre|성=Ramond|저자링크=피에르 라몽|isbn=9780521896030|날짜=2010-05|url=http://www.cambridge.org/gb/knowledge/isbn/item2710157/|언어=en|출판사=Cambridge University Press|zbl=1205.20001|mr=2663568}}

{{전거 통제}}

[[분류:조합론]]
[[분류:표현론]]
[[분류:대칭함수]]