영혼 (기하학) 문서 원본 보기

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[[리만 기하학]]에서 '''영혼'''(靈魂, {{llang|en|soul|솔}})은 음이 아닌 [[단면 곡률]]을 갖는 [[리만 다양체]]에 대하여 존재하는 특별한 [[콤팩트 공간|콤팩트]] 부분 다양체이다. 이를 통해, 음이 아닌 [[단면 곡률]]을 갖는 다양체의 연구는 [[콤팩트 공간|콤팩트]]한 경우로 귀결된다.

== 정의 ==
[[리만 다양체]] <math>(M,g)</math>의 '''영혼'''은 다음 조건들을 만족시키는 부분 다양체
:<math>S\hookrightarrow M</math>
이다.
* [[콤팩트 공간]]이다.
* <math>S</math>의 [[측지선]]은 <math>M</math>의 측지선이다.
* 임의의 두 점 <math>x,y\in S</math>을 잇는 <math>M</math> 속의 임의의 [[측지선]] <math>\gamma</math>는 <math>S</math>에 속한다.
* <math>M</math>은 <math>S</math>의 [[법다발]] <math>\mathrm N_MS</math>과 [[미분 동형]]이다.

== 성질 ==
=== 존재 ===
임의의 [[측지선 완비]] [[리만 다양체]] <math>(M,g)</math>이, 모든 점에서, 모든 방향에서 [[단면 곡률]]이 음이 아닌 실수라고 하자.
:<math>K_M(u,v) \ge 0 \qquad\forall x\in M,\;u,v\in \mathrm T_xM\setminus\{0\},\;u \not\in\mathbb Rv</math>
그렇다면, <math>M</math>은 영혼을 갖는다. 이를 '''영혼 정리'''(靈魂定理, {{llang|en|soul theorem}})라고 한다.

=== 유일성 ===
[[단면 곡률]]이 음이 아닌 실수인 [[측지선 완비]] [[리만 다양체]] <math>(M,g)</math>가 주어졌다고 하자. 그렇다면, <math>M</math>의 두 영혼 <math>S</math>, <math>S'</math> 사이에는 [[등거리 변환|등거리]] [[전단사 함수]]가 존재한다.

=== 영혼 추측 ===
[[단면 곡률]]이 음이 아닌 실수인 [[연결 공간|연결]] [[측지선 완비]] [[리만 다양체]] <math>(M,g)</math>가 주어졌다고 하고, 다음 조건을 만족시키는 점 <math>x\in M</math>이 주어졌다고 하자.
:<math>K_M(u,v) > 0 \qquad\forall u,v\in \mathrm T_xM\setminus\{0\},\;u \not\in\mathbb Rv</math>
그렇다면, <math>M</math>의 (임의의) 영혼은 [[한원소 공간]]이다. 이를 '''영혼 추측'''(靈魂推測, {{llang|en|soul conjecture}})이라고 한다. (이름과 달리 이는 이미 증명된 정리이다.)

== 예 ==
=== 영혼 ===
[[콤팩트 공간|콤팩트]] [[리만 다양체]] <math>(M,g)</math>에 대하여, <math>S=M</math>은 스스로의 영혼이다.

=== 유클리드 공간 ===
[[유클리드 공간]] <math>M=\mathbb R^n</math>을 생각하자. 그렇다면, 그 속의 임의의 [[한원소 공간]]
:<math>\{x\} \subseteq\mathbb R^n</math>
은 <math>\mathbb R^n</math>의 영혼을 이룬다.

모든 [[단면 곡률]]이 음이 아닌 실수인 [[측지선 완비]] [[리만 다양체]] <math>(M,g)</math>에 대하여, 다음 두 조건이 서로 [[동치]]이다.
* 영혼이 [[한원소 공간]]이다.
* [[유클리드 공간]]과 [[미분 동형]]이다.
(이는 영혼의 정의에 따라 자명하다.)

=== 기둥 ===
[[콤팩트 공간|콤팩트]] [[리만 다양체]] <math>(K,g_K)</math>가 주어졌을 때, [[곱공간]]
:<math>M=K\times\mathbb R^n = \{(x,\vec a)\colon x\in K,\;\vec a\in\mathbb R^n\}</math>
위에 곱공간 [[리만 계량]]을 부여하자.

그렇다면, 임의의 <math>\vec a\in\mathbb R^n</math>에 대하여, <math>K\times\{\vec a\} \subseteq M</math>은 <math>M</math>의 영혼을 이룬다.

=== 포물면 ===
3차원 유클리드 공간 속의 [[포물면]]
:<math>M=\{(x,y,z)\in\mathbb R^3 \colon x^2+y^2=z\}</math>
을 생각하자. 이는 모든 점에서 양수 [[단면 곡률]]을 갖는다. 이 경우, 원점 <math>(0,0,0)\in M</math>(으로 구성된 [[한원소 공간]])은 <math>M</math>의 영혼을 이룬다. 그러나 다른 점의 경우 일반적으로 영혼을 이루지 못할 수 있다. <math>M</math>은 폐곡선인 [[측지선]]을 갖는데, 이에 따라 폐곡선인 [[측지선]] 위에 있는 점의 경우 완전 볼록성 조건이 성립하지 못하기 때문이다.

== 역사 ==
영혼 정리는 1972년에 [[제프 치거]]와 데틀레프 그로몰({{llang|de|Detlef Gromoll}}, 1938~2008)이 증명하였다.<ref name="CG">{{저널 인용 | last1=Cheeger | first1=Jeff | 저자링크=제프 치거 | last2=Gromoll | first2=Detlef | title=On the structure of complete manifolds of nonnegative curvature |doi=10.2307/1970819 |mr=0309010 | 날짜=1972-11 | journal=Annals of Mathematics | issn=0003-486X | volume=96 | 호=3 | pages=413–443 | jstor=1970819 | 언어=en}}</ref>{{rp|422, Theorem 1.11}} 같은 논문에서 치거와 그로몰은 “영혼”({{llang|en|soul|솔}})이라는 용어를 도입하였으며,<ref name="CG"/>{{rp|414}} 영혼 추측을 추측하였다.<ref name="CG"/>{{rp|442, §10}} [[그리고리 페렐만]]이 1994년에 영혼 추측을 13쪽 밖에 되지 않는 짧은 논문으로 간단히 증명하였다.<ref>{{저널 인용 | last=Perelman | first=Grigori | author1-link=그리고리 페렐만 | title=Proof of the soul conjecture of Cheeger and Gromoll | doi=10.4310/jdg/1214455292 | mr=1285534 | zbl = 0818.53056 | 날짜=1994 | journal=Journal of Differential Geometry | issn=0022-040X | volume=40 | issue=1 | pages=209–212|언어=en}}</ref>

== 참고 문헌 ==
{{각주}}

{{전거 통제}}

[[분류:리만 기하학]]