영집합 문서 원본 보기

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{{다른 뜻|공집합||원소가 하나도 없는 집합}}
[[파일:Sierpinski triangle.svg|섬네일|[[시에르핀스키 삼각형]]은 <math>\mathbb R^2</math>에서 [[르베그 측도]]가 0인 영집합이다.]]
[[측도론]]에서, '''영집합'''(零集合, {{llang|en|null set}})은 매우 작아 무시할 수 있는 [[측도 공간]]의 [[부분 집합]]이다. 구체적으로, 측도 0의 [[가측 집합]]의 [[부분 집합]]인 집합을 뜻한다.<ref name="Cohn">{{서적 인용|성1=Cohn|이름1=Donald L.|제목=Measure theory|url=https://archive.org/details/measuretheorysec0000dona|언어=en|판=2|총서=Birkhäuser Advanced Texts. Basler Lehrbücher.|출판사=Birkhäuser|위치=[[뉴욕]]|날짜=2013|isbn=978-1-4614-6955-1|doi=10.1007/978-1-4614-6956-8|mr=3098996|zbl=1292.28002|lccn=2013934978}}</ref>{{rp|30, §1.5}}

영집합은 [[공집합]]과 다른 개념이다. 공집합은 항상 측도 0의 가측 집합이지만, 영집합은 원소를 가질 수 있다. 영집합은 측도 0의 집합과 다른 개념이다. 측도가 0인 집합은 영집합이지만, 영집합은 가측 집합이 아닐 수 있다. [[가측 집합]]의 경우, 두 개념이 일치한다. [[완비 측도]]의 경우에도 두 개념이 일치한다.

예를 들어, [[르베그 측도]]를 갖춘 [[실수선]]에서, [[유리수]] 집합은 측도 0의 가측 집합이며, 특히 영집합이다.

== 정의 ==
[[측도 공간]] <math>(X,\Sigma,\mu)</math>에서, 만약 집합 <math>S\subset X</math>이 측도가 0인 [[가측 집합]]의 부분 집합이라면, <math>S</math>를 <math>X</math>의 '''영집합'''이라고 한다.

만약 <math>X</math>에 대한 어떤 명제가 성립하지 않는 <math>X</math>의 점들의 집합이 영집합이라면, 이 명제가 <math>X</math>의 '''[[거의 어디서나]]''' 성립한다고 말한다.

== 성질 ==
영집합의 [[부분 집합]]은 영집합이다. 특히, 영집합의 모든 가측 부분 집합의 측도는 0이지만, 그 역은 성립하지 않는다. [[가산 집합|가산]] 개 영집합들의 [[합집합]]은 영집합이다.

두 함수 <math>f</math>, <math>g</math>가 영집합을 제외한 모든 점에 대해 같은 값을 가질 때, 함수 <math>f</math>가 적분가능할 조건과 <math>g</math>가 적분가능할 조건은 같다. 또한, 적분가능할 경우 두 함수의 적분값은 같다.

측도 0의 [[가측 집합]]은 영집합이지만, 영집합은 가측 집합일 필요가 없다. 모든 영집합이 [[가측 집합]]일 경우, 그 측도를 [[완비 측도]]라고 정의한다. 이 경우 모든 영집합의 측도는 0이다.

[[외측도]]로 유도되는 측도는 [[완비 측도]]이다. 또한, 임의의 집합 <math>X</math> 및 그 위의 [[외측도]] <math>\mu^*</math> 및 <math>A\subset X</math>에 대하여, 다음 세 조건이 서로 [[동치]]이다.
* <math>A</math>는 영집합이다.
* <math>\mu^*</math>로 유도되는 [[측도 공간]] 위에서, <math>A</math>는 [[가측 집합]]이며, 측도는 0이다.
* <math>\mu^*(A)=0</math>

[[르베그 측도]]는 [[완비 측도]]이며, 르베그 외측도로 유도된다. [[르베그 측도]] <math>\mu_{\operatorname L}</math>를 갖춘 [[실수선]] <math>\mathbb R</math>의 부분 집합 <math>A\subset\mathbb R</math>에 대하여, 다음 세 조건이 서로 [[동치]]이다.
* <math>A</math>는 영집합이다.
* <math>\mu_{\operatorname L}(A)=0</math>
* <math>A</math>를 [[덮개 (위상수학)|덮는]] [[가산 집합|가산]] 개 [[구간]]의 길이의 합은 임의로 작을 수 있다. 즉, 임의의 양의 실수 <math>\epsilon>0</math>에 대하여, 다음 두 조건을 만족시키는 구간의 열 <math>(a_n,b_n)\subset\mathbb R</math>이 존재한다.
** <math>A\subset\bigcup_{n=0}^\infty(a_n,b_n)</math>
** <math>\sum_{n=0}^\infty(b_n-a_n)<\epsilon</math>

== 예 ==
[[르베그 측도]]를 갖춘 [[실수선]] 위에서, 원소 하나로 이루어진 집합의 측도는 0이고, 측도의 성질에 따라서 [[가산 집합]]의 측도도 0이 된다. 예를 들어, [[유리수]]의 집합 <math>\mathbb{Q}</math>는 측도가 0이다. [[칸토어 집합]]은 [[비가산 집합]]이지만 역시 측도는 0이다.

모든 가측 부분 집합의 측도가 0인 집합은 영집합일 필요가 없다. 예를 들어, [[비탈리 집합]]의 모든 가측 부분 집합의 측도는 0이지만, 비탈리 집합을 포함하는 가측 집합의 측도는 항상 0보다 크다.

== 참고 문헌 ==
<references/>
* H. L. Royden. Real Analysis. 3rd ed. 1988. Prentice Hall.

== 외부 링크 ==
* {{eom|제목=Measure space}}
* {{nlab|id=null subset|제목=Null subset}}
* {{proofwiki|id=Definition:Null Set|제목=Definition: null set}}

[[분류:측도론]]
[[분류:0]]