영인자 문서 원본 보기

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[[환론]]에서 '''영인자'''(零因子, {{llang|en|zero divisor}})는 0이 아닌 원소와 곱해서 0이 되는 [[환 (수학)|환]]의 원소이다. 0은 모든 [[비자명환]]에서 영인자다. 0이 아닌 영인자는 [[정수환]]에는 존재하지 않지만, 다른 환에서는 존재할 수 있다.

== 정의 ==
=== 모노이드의 경우 ===
[[모노이드]] <math>R</math>가 집합 <math>M</math> 위에 [[모노이드의 작용|작용]]할 때,
* 임의의 원소 <math>r\in R</math>에 대하여 <math>r\cdot\colon M\to M</math>이 [[단사 함수]]가 아니라면 <math>r</math>를 <math>M</math>의 '''영인자'''라고 한다.
* 임의의 원소 <math>r\in R</math>에 대하여 <math>r\cdot\colon M\to M</math>이 [[단사 함수]]라면 <math>r</math>를 <math>M</math>의 '''정칙원'''({{llang|en|regular element}})라고 한다.
* 임의의 원소 <math>r\in R</math>에 대하여 <math>r\cdot\colon M\to M</math>이 [[전사 함수]]라면 <math>r</math>를 <math>M</math>의 '''[[가역원]]'''({{llang|en|invertible element}})이라고 한다.
정칙원들의 집합을 <math>\operatorname{Reg}_R(M)</math>이라고 할 때, 이는 <math>R</math>의 부분 모노이드를 이룬다.

모노이드는 스스로 위에 왼쪽·오른쪽에서 작용한다. 모노이드 <math>R</math>의 '''왼쪽 영인자'''는 스스로 위에 왼쪽에서 작용할 때의 영인자이다. 즉, <math>z,r,s\in R</math>에 대하여
:<math>r\ne s</math>
:<math>zr=zs</math>
라면 <math>z</math>를 '''왼쪽 영인자'''라고 한다. 마찬가지로, 모노이드 <math>R</math>의 '''오른쪽 영인자'''는 스스로 위에 오른쪽 쪽에서 작용할 때의 영인자이다. 즉, <math>z,r,s\in R</math>에 대하여
:<math>r\ne s</math>
:<math>rz=sz</math>
라면 <math>z</math>를 '''오른쪽 영인자'''라고 한다. 마찬가지로 '''왼쪽 가역원'''과 '''오른쪽 가역원'''을 정의할 수 있다. 양쪽 가역원은 항상 양쪽 정칙원이다. 그러나 왼쪽 가역원이 왼쪽 정칙원일 필요는 없다.

[[가환 모노이드]]에서는 왼쪽 영인자·오른쪽 영인자·양쪽 영인자의 개념이 일치한다.

=== 환의 경우 ===
[[환 (수학)|환]]은 곱셈에 대하여 모노이드를 이루므로, 위 정의들을 적용시킬 수 있다.

구체적으로, [[환 (수학)|환]] <math>R</math>의 [[왼쪽 가군]] <math>_RM</math>의 '''영인자'''는 <math>rm=0</math>이 되는 <math>m\ne0</math>이 존재하는 원소 <math>r\in R</math>이다. 마찬가지로, <math>R</math>의 [[오른쪽 가군]] <math>M_R</math>의 '''영인자'''는 <math>mr=0</math>이 되는 <math>m\ne0</math>이 존재하는 원소 <math>r\in R</math>이다.

[[환 (수학)|환]] <math>R</math>의 '''왼쪽·오른쪽 영인자'''(-零因子, {{llang|en|left/right zero divisor}})는 스스로의 왼쪽·오른쪽 가군으로서의 영인자이다. 즉,
* <math>R</math>의 왼쪽 영인자는 <math>rs=0</math>인 <math>s\ne0</math>가 존재하는 <math>r\in R</math>이다.
* <math>R</math>의 오른쪽 영인자는 <math>sr=0</math>인 <math>s\ne0</math>가 존재하는 <math>r\in R</math>이다.
왼쪽 영인자이자 오른쪽 영인자인 원소를 '''양쪽 영인자'''(兩-零因子, {{llang|en|two-sided zero divisor}})라고 한다. 왼쪽 영인자가 아니며 오른쪽 영인자도 아닌 원소를 '''정칙원'''(正則元, {{llang|en|regular element}})이라고 한다. 환 <math>R</math>의 정칙원들의 집합 <math>\operatorname{Reg}(R)</math>은 곱셈에 대하여 [[모노이드]]를 이룬다.

[[가환환]]에서는 왼쪽 영인자·오른쪽 영인자·양쪽 영인자의 개념이 일치한다.

== 성질 ==
[[자명환]]은 자명하게 영인자를 갖지 않는다. [[자명환]]이 아닌 [[환 (수학)|환]]에서, 0은 항상 양쪽 영인자이다.

0이 아닌 왼쪽 영인자와 오른쪽 영인자가 존재하지 않으며 [[자명환]]이 아닌 [[환 (수학)|환]]을 [[영역 (환론)|영역]]이라고 하며, 만약 추가로 [[가환환]]이라면 [[정역]]이라고 한다.

모든 [[가역원]]은 항상 정칙원이다. [[환 (수학)|환]] <math>R</math>에서, 가역원 <math>u\in R^\times</math> 및 <math>r\in R</math>에 대하여 <math>ur=0</math>이라면 <math>0=u^{-1}0=u^{-1}ur=r</math>이며, <math>ru=0</math>이라면 <math>0=0u^{-1}=ruu^{-1}=r</math>이기 때문이다.

0이나 1이 아닌 임의의 [[멱등원]] 또는 [[멱영원]]은 양쪽 영인자이다. 보다 일반적으로, 임의의 [[환 (수학)|환]] <math>R</math> 속의 원소 <math>r\in R</math>에 대하여 만약 <math>\{r,r^2,r^3,\dots\}</math>가 [[유한 집합]]이며, <math>1\not\in \{r,r^2,r^3,\dots\}</math>라고 하자. 그렇다면 <math>r</math>는 양쪽 영인자이다. 특히, [[유한환]]에서 [[가역원]]이 아닌 모든 원소는 영인자이다.
<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed">
'''증명''':
<div class="mw-collapsible-content">
항상
:<math>r^m=r^n</math>
:<math>r^{m-1}\ne r^{n-1}</math>
인 양의 정수 <math>0<m<n</math>를 찾을 수 있다. (여기서 <math>r^0=1</math>로 놓자.) 그렇다면,
:<math>0\ne s=r^{m-1}-r^{n-1}</math>
로 놓으면 <math>rs=sr=0</math>이다.
</div></div>

==예==
* [[정수환]] <math>\mathbb Z</math>에는 0 이외의 영인자가 없다. 보다 일반적으로, 모든 [[정역]]에서는 0 이외의 영인자가 없다.
* <math>\mathbb Z\times\mathbb Z</math>에서는 <math>(0,1)\cdot(1,0) = (0,0)</math>이므로 (0,1)과 (1,0)은 영인자이다.
* <math>3 \times 4 \equiv 0 \pmod{6}</math>이므로, [[몫환]] <math>\mathbb Z/(6)</math>에서 4의 잉여류 <math>4+6\mathbb Z</math>은 영인자이다.
* [[행렬환]] <math>\operatorname{Mat}(2;\mathbb Z)</math>에서, 행렬{{mindent|<math>\begin{pmatrix}1&1\\ 2&2\end{pmatrix}</math>}}은 영인자이다. 이는 다음의 계산을 통해 알 수 있다.{{mindent|<math>\begin{pmatrix}1&1\\
2&2\end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}1&1\\
-1&-1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-2&1\\
-2&1\end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}1&1\\
2&2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0&0\\
0&0\end{pmatrix}</math>}}
* [[몫환]] <math>\mathbb Z/(n)</math>에 0이 아닌 영인자가 존재할 [[필요충분조건]]은 <math>n</math>이 [[합성수]]인 것이다. <math>n</math>이 [[소수 (수론)|소수]]일 때 이 환은 [[체 (수학)|체]]가 되는데, 이는 [[정역]]보다 강한 조건이다.

== 외부 링크 ==
* {{eom|title=Zero divisor}}
* {{매스월드|id=ZeroDivisor|title=Zero divisor}}
* {{nlab|id=zero-divisor|title=Zero-divisor}}

[[분류:환론]]
[[분류:0]]