영의 부등식 문서 원본 보기

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'''영의 부등식'''(Young's inequality, -不等式)은 [[영국]]의 [[수학자]]인 [[윌리엄 헨리 영]]이 제시한 [[부등식]]이다. 이 부등식은 [[옌센 부등식]] 및 [[민코프스키의 적분부등식]]에 의해 얻을 수 있으며, [[횔더 부등식]]을 증명하는 데 이용된다. 크게 초등적 형태와 [[합성곱]] 형태의 두 종류가 있다.

== 초등적 형태 ==
a와 b를 음이 아닌 [[실수]]라 하자. 그리고 양의 실수 p, q가 <math>\frac{1}{p} + \frac{1}{q} = 1</math> 을 만족한다고 하자. 그러면 다음 부등식이 성립한다.<ref>김성기, 계승혁, 《실해석》, 서울대학교출판부, 2002, 68쪽.</ref>

* <math>ab \le \frac{a^p}{p} + \frac{b^q}{q}.</math>

이 부등식은 횔더 부등식을 증명하는 데 이용된다.

=== 증명 ===
이 형태의 증명에서는 [[로그함수]]가 [[오목함수]]임을 이용한다. 오목성에 의해 옌센 부등식을 적용하면 다음을 얻는다.

:<math>\ln\left(\frac{1}{p}a^p + \frac{1}{q}b^q\right) \ge \frac{1}{p}\ln{a^p} + \frac{1}{q}\ln{b^q} = \ln(ab).</math>

=== 일반화 ===
n개의 양수 <math>a_1, ..., a_n</math> 가 <math>\sum_{i=1}^n a_i = 1</math> 을 만족할 때, n개의 음이 아닌 실수 <math>t_1, ..., t_n</math> 에 대하여 다음 부등식이 성립한다.<ref>같은 책, 67쪽.</ref> 일반화한 이 형태 역시 옌센 부등식에 의해 얻을 수 있다.

* <math>\prod_{i=1}^n t_i^{a_i} \le \sum_{i=1}^n a_it_i.</math>

=== 역함수의 적분 형태 ===
[0, c]에서 실수로 가는 연속이고 f(0) = 0인 [[강증가함수]] f에 대해 f의 [[역함수]]를 <math>f^{-1}</math> 이라 하면, 다음 부등식이 성립한다.

* <math>ab \le \int_0^a f(x)\,dx + \int_0^b f^{-1}(x)\,dx.</math>

여기서 <math>a \in [0, c]</math> 이고 <math>b \in [0, f(c)]</math>이다.

== 합성곱 형태 ==
<math>1 \le p, q, r \le \infty</math> 이고 <math>\frac{1}{p} + \frac{1}{q} = \frac{1}{r} + 1</math> 이라 하자. <math>f \in L^p, g \in L^q</math> 라 하면 <math>f*g \in L^r</math> 이고, 다음 부등식이 성립한다.<ref>방현수, 《실해석 & 함수해석학》, 교우사, 2002, 279쪽.</ref>

* <math>||f*g||_r \le ||f||_p||g||_q.</math>

이 부등식을 얻기 위해서는 민코프스키의 적분부등식을 이용해야 한다.

== 같이 보기 ==
* [[옌센 부등식]]
* [[민코프스키 부등식]]
* [[횔더 부등식]]

== 각주 ==
{{각주}}

== 참고 문헌 ==
* 김성기, 계승혁, 《실해석》, 서울대학교출판부, 2002
* 방현수, 《실해석 & 함수해석학》, 교우사, 2002

[[분류:부등식]]
[[분류:대수학]]
[[분류:해석학 (수학)]]