영역 (환론) 문서 원본 보기

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[[환론]]에서 '''영역'''(領域, {{llang|en|domain}})은 0 밖의 [[영인자]]가 없는, [[자명환]]이 아닌 환이다. [[정역]]의 개념의 비가환환에 대한 일반화이다.

== 정의 ==
[[환 (수학)|환]] <math>R</math>에 대하여 다음 조건들이 서로 [[동치]]이며, 이를 만족시키는 환을 '''영역'''이라고 한다.
* <math>R</math>는 [[자명환]]이 아니며, 임의의 <math>r,s\in R</math>에 대하여, 만약 <math>rs=0</math>이라면 <math>r=0</math>이거나 <math>s=0</math>이다.
* 영 아이디얼이 [[완전 소 아이디얼]]이다.
* [[왼쪽 영인자]]가 정확히 한 개 있다 (즉, 0).
* [[오른쪽 영인자]]가 정확히 한 개 있다 (즉, 0).

== 성질 ==
다음 함의 관계가 성립한다.<ref name="Lam">{{서적 인용|제목=A first course in noncommutative rings|성 = Lam|이름=Tsit-Yuen|저자링크=람짓윈|출판사=Springer|날짜 = 2001|isbn =978-0-387-95183-6|doi=10.1007/978-1-4419-8616-0|총서=Graduate Texts in Mathematics|권=131|issn=0072-5285|판=2|언어=en}}</ref>{{rp|153}}
{| style="text-align:center"
| [[체 (수학)|체]] || ⇒ || [[정역]]
|-
| ⇓ || || ⇓ || ⇘
|-
|[[단순환]] || ⇒ || 영역 || ⇒ || [[축소환]]
|-
| ⇓ || || ⇓ || || ⇓
|-
| 左·右 [[원시환]] || ⇒ || [[소환 (환론)|소환]] || ⇒ || [[반소환]]
|}

[[가환환]]의 경우, 이 함의는 다음과 같이 단순해진다.
{| style="text-align:center"
| [[체 (수학)|체]] ||  || [[정역]]
|-
| ⇕ || || ⇕
|-
|[[단순환]] || ⇒ || 영역 || ⇒ || [[축소환]]
|-
| ⇕ || || ⇕ || || ⇕
|-
| 左·右 [[원시환]] ||  || [[소환 (환론)|소환]] ||  || [[반소환]]
|}
즉, 가환 영역은 [[정역]]이다.

[[웨더번 정리]]에 따라서, [[유한환]]인 영역은 [[유한체]]밖에 없다.

== 예 ==
모든 [[나눗셈환]]([[유한체]], [[유리수체]], [[실수체]], [[복소수체]], [[사원수|사원수환]])은 영역이다.

'''후르비츠 사원수'''({{llang|en|Hurwitz quaternion}})의 환
:<math>\{a+bi+cj+dk\in\mathbb H\colon a\in\mathbb Z+\{0,1/2\},\;a-b,a-c,a-d\in\mathbb Z\}</math>
및 '''립시츠 사원수'''({{llang|en|Lipschitz quaternion}})의 환
:<math>\{a+bi+cj+dk\in\mathbb H\colon a,b,c,d\in\mathbb Z\}</math>
역시 비가환 영역을 이룬다.

체 <math>K</math> 위의 [[텐서 대수]](자유 [[단위 결합 대수]]) <math>K\langle x_1,\dots,x_n\rangle</math>는 영역이며, <math>n\ge2</math>일 경우 비가환 영역이다.

표수가 0인 체 <math>K</math> 위의 [[바일 대수]] <math>K\langle x,p\rangle/(xp-px-1)</math> 역시 비가환 영역이다.

[[리 대수]] 위의 [[보편 포락 대수]]는 영역이며, 리 대수가 비아벨 리 대수인 경우 이는 비가환 영역이다.

임의의 환 <math>R</math> 및 양의 정수 <math>n\ge2</math>에 대하여, [[행렬환]] <math>\operatorname{Mat}(n;R)</math>는 영역이 아니다. (만약 <math>R</math>가 자명환이 아니라면 이는 0이 아닌 왼쪽·오른쪽 [[영인자]]를 갖고, 만약 <math>R</math>가 자명환이라면 행렬환 역시 자명환이다.)

=== 군환의 영역성 ===
[[군 (수학)|군]] <math>G</math> 및 [[체 (수학)|체]] <math>K</math>에 대하여, 만약 <math>G</math>의 [[꼬임 부분군]]이 자명하지 않을 경우 [[군환]] <math>K[G]</math>는 0이 아닌 영인자를 가져 영역이 될 수 없다. 예를 들어, 만약 <math>g\in G</math>에 대하여 <math>g^n=1</math>이라면,
:<math>(1-g)(1+g+\cdots+g^{n-1})=1-g^n=0</math>
이 된다.

일반적으로, 꼬임 부분군이 자명한 군에 대한 군환이 항상 영역이 되는지는 미해결 문제이다. 만약 <math>G</math>가 꼬임 부분군이 자명한 [[가해군]]이라면 군환이 영역을 이룬다는 사실이 알려져 있다.

== 각주 ==
{{각주}}

== 외부 링크 ==
* {{eom|title=Integral domain}}

== 같이 보기 ==
* [[정역]]
* [[소환 (환론)]]

{{전거 통제}}

[[분류:환론]]