영상법 문서 원본 보기

{{위키데이터 속성 추적}}
{{전자기학}}
'''영상법'''(映像法, {{lang|en|method of images}})은 [[라플라스 방정식]]의 [[경계값 문제]]를 좀 더 쉬운 다른 문제로 바꾸어 푸는 방법이다. 영상법의 타당성은 유일성의 정리에 의해 증명된다. 이 때, 바뀐 문제에서는 원래 문제의 전하에 대응하는 가상의 전하를 추가하므로, 이 가상의 전하를 마치 거울에 비치는 영상에 비유한 것이다.

== 평면에서의 영상법 ==
[[파일:VFPt imagecharge plane horizontal plusminus.svg|섬네일|right|평면에서의 영상법]]
[[파일:SphericalImage.svg|섬네일|350 px|구면에서의 영상법.]]
무한한 [[도체]] 평면 위에 전하가 있다고 하자. 그렇다면 [[정전기 유도]]에 의하여 도체 표면에 전하가 유도된다. 이러한 [[계 (물리학)|계]]에서 공간 모든 위치의 [[전위]]를 계산하는 [[정전기학]] 문제를 생각해 보자. 도체 표면 위의 [[전위]]는 일정하므로, 이를 편의상 0으로 놓자.

이러한 문제는 직접 계산하기 힘들지만, 그림과 같이 평면 반대쪽에 정확하게 같은 위치에 있지만 그 부호가 다른 전하를 가상으로 추가하고, 도체 평면을 없애자. 이 문제는 비교적 쉽게 풀 수 있다. 이 새로운 문제에서는 대칭에 따라 서로 부호가 다른 두 전하 정중앙에서는 전위가 정확히 0이다. 즉, 새로운 문제의 해는 원래 문제의 [[디리클레 경계 조건]] (즉, 평면 위에 전위가 0인 것)을 만족한다. [[라플라스 방정식]]의 경계 조건을 만족시키는 해는 유일하므로, 원래 문제의 해는 새로운 문제의 해와 (도체 위의 부분에서) 같다.

가장 간단한 예는 그림과 같이 하나의 [[점전하]]가 있는 경우지만, 임의의 전하 분포에 대해서도 사용할 수 있다.

== 구면에서의 영상법 ==
구면에서도 영상법을 적용할 수 있다.<ref>{{서적 인용|title=Equations of Mathematical Physics |last=Tikhonov |first=A. N.|coauthors=Samarskii, A. A. |year=1963 |publisher=Dover Publications |location=New York |isbn=0-486-66422-8 |ref=harv }}</ref> 그림과 같이, 반지름 <math>R</math>의 도체 구면 안에 점전하 <math>q</math>가 구 한가운데에서 <math>p</math>만큼 떨어져 있는 곳에 있다고 하자. 이 경우도 마찬가지로 [[정전기 유도]]에 의하여 도체 표면에 [[디리클레 경계 조건]]을 적용하여야 한다. 평면의 경우와 마찬가지로, 도체 표면의 전위를 0으로 놓자.

이 문제는 다음과 같이 바꿀 수 있다. 그림과 같이, 구의 중심에서 <math>R^2/p</math>만큼 떨어진 곳에 가상의 전하 <math>-qR/p</math>를 놓자. 그렇다면 이 새 문제의 해는 원래 문제의 디리클레 경계 조건을 만족한다는 사실을 계산으로 확인할 수 있다.

구면 밖에 전하가 위치해 있는 경우나 점전하 대신 임의의 전하 분포가 있는 경우도 마찬가지로 다룰 수 있다.

== 선형 유전체에서의 영상법 ==

=== 선형 유전체에 유도되는 전하 ===
선형 유전체는 <math>\mathbf{P}=\epsilon_0\chi_e\mathbf{E}</math>를 만족하는 물질이다. 전기 감수율 <math>\chi_e</math>를 가지는 유전체 내부에 전하량 <math>q</math>를 가지는 입자를 위치시킨다고 가정해보자. 입자가 유전체 내부에 배치되는 순간, 구속 전하가 입자가 만드는 전기장에 의해 재배열되고, 구속 전하와 원래 입자에 의한 새로운 전기장이 유도된다. 이때, 유도되는 구속 전하 밀도는<math>\rho_b=-\nabla\cdot\mathbf{P}=-\nabla\cdot\left(\epsilon_0\frac{\chi_e}{\epsilon}\mathbf{D}\right)=-\left(\frac{\chi_e}{1+\chi_e}\right)\rho_f</math>와 같이 주어진다. 입자에 의한 <math>q_f=q</math>와 유도되는 <math>q_b=-\frac{\chi_e}{1+\chi_e}q</math>를 합하면 전체 전하량 <math>q_{total}=q_f+q_b=\frac{1}{1+\chi_e}q</math>을 얻을 수 있다. 또한 상대유전율은 전기 감수율과 <math>\epsilon_r=1+\chi_e</math>의 관계를 가지기 때문에 정리하면 <math>q_{total}=\frac{1}{\epsilon_r}q</math>을 얻을 수 있다.

===  평면에서의 영상법 ===
진공에 놓인 도체 평판과 동일하게, <math>z>0</math>에서 유전율 <math>\epsilon_{1}</math>, <math>z<0</math>에서 유전율 <math>\epsilon_2</math>을 가지는 유전체가 <math>z=0</math>에서 직선 경계를 가진다고 생각하자. 이때 경계면과 <math>d</math>만큼 떨어진곳에 전하량 <math>q</math>를 가지를 입자를 위치했을 때 생기는 전위는 영상법을 이용해 계산 가능하다. <math>z>0</math>에서의 전위를 <math>z<0</math>에 영상 전하 <math>q'</math>를,  <math>z<0</math>에서의 전위를 <math>z>0</math>에 영상 전하 <math>q''</math>를 위치시켜 계산하면

<math>V_{up}=\frac{1}{4\pi\epsilon_1}\left[\frac{q}{\sqrt{x^2+y^2+(z-d)^2}}+\frac{q'}{\sqrt{x^2+y^2+(z+d)^2}} \right]</math>

<math>V_{down}=\frac{1}{4\pi\epsilon_2}\left[\frac{q''}{\sqrt{x^2+y^2+(z-d)^2}} \right]</math>과 같이 식을 얻을 수 있다.  전위는 연속적이고, 경계면에서 자유 전하가 존재하지 않음으로 <math>z=0</math>에서 경계조건은 <math>V_{up}=V_{down}</math>, <math>\mathbf{D}^\perp_{up}=\mathbf{D}^\perp_{down}</math>으로 주어진다. 변위장은 <math>\mathbf{D}^\perp=\epsilon\mathbf{E}^\perp=-\epsilon\frac{\partial V}{\partial n}</math>을 만족하므로, 두번째 조건을 <math>\epsilon_1\frac{\partial V_{up}}{\partial z}=\epsilon_2\frac{\partial V_{down}}{\partial z}</math>와 같이 변위에 대해 바꿀 수 있다.

<math>\rho=\sqrt{x^2+y^2}</math>으로 두면, 경계조건은 <math>q'</math>, <math>q''</math>에 대해 다음 두 식을 만족한다.

<math>\frac{1}{4\pi\epsilon_1}\left[\frac{qd}{\sqrt{\rho^2+d^2}}+\frac{q'd}{\sqrt{\rho^2+d^2}} \right]=\frac{1}{4\pi\epsilon_2}\left[\frac{q''d}{\sqrt{\rho^2+d^2}} \right]</math>

<math>\frac{\epsilon_1}{4\pi\epsilon_1}\left[\frac{qd}{\sqrt{\rho^2+d^2}^3}-\frac{q'd}{\sqrt{\rho^2+d^2}^3} \right]=\frac{\epsilon_2}{4\pi\epsilon_2}\left[\frac{q''d}{\sqrt{\rho^2+d^2}^3} \right]</math>

이를 다시  <math>q'</math>, <math>q''</math>에 대해 정리하면 <math>\epsilon_2q+\epsilon_2q'=\epsilon_1q''</math>, <math>q-q'=q''</math>이다.

따라서, 영상전하는 <math>q'=\frac{\epsilon_{r_1}-\epsilon_{r_2}}{\epsilon_{r_1}+\epsilon_{r_2}}q</math>, <math>q''=\frac{2\epsilon_{r_2}}{\epsilon_{r_1}+\epsilon_{r_2}}q</math>과 같이 주어지며, 각 영역에서의 전위는

<math>V_{up}=\frac{q}{4\pi\epsilon_1}\left[\frac{1}{\sqrt{x^2+y^2+(z-d)^2}}+\frac{\epsilon_{r_1}-\epsilon_{r_2}}{\epsilon_{r_1}+\epsilon_{r_2}}\frac{1}{\sqrt{x^2+y^2+(z+d)^2}} \right]</math>

<math>V_{down}=\frac{q}{4\pi\epsilon_0}\left[\frac{2}{\epsilon_{r_1}+\epsilon_{r_2}}\frac{1}{\sqrt{x^2+y^2+(z-d)^2}}\right]</math>이다.

=== 구속 전하를 이용한 영상법 ===
먼저 입자에 의한 전기장에 의해 유도되는 구속 전하를 계산해 선형 유전체 내에서의 상황을 진공에서의 상황으로 바꾸어 접근할 수 있다. 입자를 유전체 내부에 위치했을 때 전위에 관여하는 전하는 4개이다.
# 유전체 내부에 위치한 점전하 <math>q</math>
# 점전하 주위로 유도되는 구속 전하
# 위쪽 경계면에 유도되는 구속 전하
# 아래쪽 경계면에 유도되는 구속 전하
[[파일:Linear dielectric image charge.png|섬네일|선형 유전체 경계면에서의 영상법]]
1, 2에 의한 총전하량은 <math>q_{total}=\frac{1}{\epsilon_{r_1}}q</math>으로 주어진다. <math>z>0</math>에서의 전위는 3, 4에 의한 영향을 <math>z<0</math>영역에 경계면으로부터 <math>d</math>만큼 위치한 영상 전하 <math>q'</math>으로 대신해서 다음과 같이 얻을 수 있다. <math>V_{up}=\frac{1}{4\pi\epsilon_0}\left[\frac{1}{\epsilon_{r_1}}\frac{q}{\sqrt{x^2+y^2+(z-d)^2}}+\frac{q'}{\sqrt{x^2+y^2+(z+d)^2}} \right]</math>

이때, 유전체에 의한 효과를 구속 전하로 치환해 전위를 구할 때 유전체의 효과를 나타내는 <math>\epsilon_1</math>대신 진공에서의 <math>\epsilon_0</math>를 사용한다. 마찬가지로, <math>z<0</math>에서의 전위는 다음과 같이 주어진다.<math>V_{down}=\frac{1}{4\pi\epsilon_0}\left[\frac{1}{\epsilon_{r_1}}\frac{q}{\sqrt{x^2+y^2+(z-d)^2}}+\frac{q''}{\sqrt{x^2+y^2+(z-d)^2}} \right]</math>

이때, 대칭적 구조에 의해 영상 전하는 <math>z>0</math>과 반대의 지점에 위치하게 된다.

<math>\rho=\sqrt{x^2+y^2}</math>으로 두면, 경계조건은 <math>q'</math>, <math>q''</math>에 대해 다음 두 식을 만족한다.

<math>\frac{1}{4\pi\epsilon_0}\left[\frac{1}{\epsilon_{r_1}}\frac{qd}{\sqrt{\rho^2+d^2}}+\frac{q'd}{\sqrt{\rho^2+d^2}} \right]=\frac{1}{4\pi\epsilon_0}\left[\frac{1}{\epsilon_{r_1}}\frac{qd}{\sqrt{\rho^2+d^2}}+\frac{q''d}{\sqrt{\rho^2+d^2}} \right]</math>

<math>\frac{\epsilon_1}{4\pi\epsilon_0}\left[\frac{1}{\epsilon_{r_1}}\frac{qd}{\sqrt{\rho^2+d^2}^3}-\frac{q'd}{\sqrt{\rho^2+d^2}^3} \right]=\frac{\epsilon_2}{4\pi\epsilon_0}\left[\frac{1}{\epsilon_{r_1}}\frac{qd}{\sqrt{\rho^2+d^2}^3}+\frac{q''d}{\sqrt{\rho^2+d^2}^3} \right]</math>

이를 다시  <math>q'</math>, <math>q''</math>에 대해 정리하면 <math>q'=q''</math>, <math>q-\epsilon_{r_1}q'=\frac{\epsilon_{r_2}}{\epsilon_{r_1}}q+\epsilon_{r_2}q''</math>이다.

따라서, 영상 전하는 <math>q'=q''=\frac{\epsilon_{r_1}-\epsilon_{r_2}}{\epsilon_{r_1}(\epsilon_{r_1}+\epsilon_{r_2})}q</math>와 같이 주어지며, 각 영역에서의 전위는

<math>V_{up}=\frac{q}{4\pi\epsilon_1}\left[\frac{1}{\sqrt{x^2+y^2+(z-d)^2}}+\frac{\epsilon_{r_1}-\epsilon_{r_2}}{\epsilon_{r_1}+\epsilon_{r_2}}\frac{1}{\sqrt{x^2+y^2+(z+d)^2}} \right]</math>

<math>V_{down}=\frac{q}{4\pi\epsilon_1}\left[\frac{2\epsilon_{r_1}}{\epsilon_{r_1}+\epsilon_{r_2}}\frac{1}{\sqrt{x^2+y^2+(z-d)^2}}\right]</math>와 같다.

<math>\epsilon_1=\epsilon_{r_1}\epsilon_0</math>이므로, 직접 영상법을 이용해 계산한 전위와 구속 전하를 먼저 계산한 이후 영상법을 사용한 전위가 동일한 것을 확인할 수 있다.

== 힘과 에너지 ==

=== 평면에서의 영상법 ===
영상법을 통해 구한 구조에서 전하량 <math>q</math>의 입자가 받는 힘은 <math>\mathbf{F}=-\frac{1}{4\pi\epsilon_0}\frac{q^2}{(2d)^2}\mathbf{\hat{z}}</math>으로 주어진다.

<math>2d</math>의 거리만큼 떨어진 두 실제 입자계의 에너지는 <math>W_0=\int^{2d}_{\infty}\mathbf{F}\cdot d\mathbf{l}=\frac{1}{4\pi\epsilon_0}\int^{2d}_{\infty}\frac{q^2}{r^2}dr=-\frac{1}{4\pi\epsilon_0}\frac{q^2}{2d}</math>와 같이 주어진다.

영상 전하-전하 쌍의 경우 에너지는 <math>W=\int^d_{\infty}\mathbf{F}\cdot d\mathbf{l}=\frac{1}{4\pi\epsilon_0}\int^d_{\infty}\frac{q^2}{(2r)^2}dr=-\frac{1}{4\pi\epsilon_0}\frac{q^2}{4d}</math>으로, <math>W=\frac{1}{2}W_0</math>를 만족한다.

이는 <math>W=\frac{\epsilon_0}{2} \int E^2 d\tau</math>을 생각했을때, 영상법의 경우 도체 내부에서 전기장이 없기 때문에 전하-전하쌍에 비해 에너지가 반으로 준다는 것을 확인할 수 있다.<!-- 본 결과에 대한 일반화는 M. M. Taddei, T. N. C. Mendes, C. Farina, Eur. J. Phys.30, 965(2009)를 참고하라.  --><ref>{{저널 인용|제목=Subtleties in energy calculations in the image method|저널=European Journal of Physics|성=Taddei|이름=M M|성2=Mendes|이름2=T N C|url=http://stacks.iop.org/0143-0807/30/i=5/a=005?key=crossref.0854d85ff8d16c7e2fb414e512db7034|권=30|호=5|쪽=965–972|doi=10.1088/0143-0807/30/5/005|성3=Farina|이름3=C}}</ref>

== 물리적 해석 ==
각 경우에 구한 전위를 바탕으로 공간에 유도되는 전하를 계산했을때, 유도 전하량과 영상법을 사용할 때 임의로 잡은 영상 전하의 전하량이 일치하는 것을 확인할 수 있다. 즉, 영상 전하의 기원은 실제로 유도되는 전하의 분포에서 온다고 볼 수 있다.

=== 평면에서의 영상법 ===
영상법을 이용해 구한 전위는 <math>V=\frac{1}{4\pi\epsilon_0}\left[\frac{q}{\sqrt{x^2+y^2+(z-d)^2}}-\frac{q}{\sqrt{x^2+y^2+(z+d)^2}} \right]</math>으로 주어진다. 이때, 실제로 도체 표면에 유도되는 전하량을 구하기 위해 <math>\left.\sigma=-\epsilon_0\frac{\partial V}{\partial n}=-\epsilon_0\frac{\partial V}{\partial z}\right\vert_{z=0}</math>를 사용하면 <math>\sigma(\rho)=\frac{-qd}{2\pi(\rho^2+d^2)^{3/2}}</math>를 얻을 수 있다.

따라서 유도되는 총 전하량은 <math>Q=\int\sigma da=\int^{2\pi}_0\int^{\infty}_{0}\frac{-qd}{2\pi(\rho^2+d^2)^{3/2}}\rho drd\phi=-q</math>와 같다.

즉, 도체 표면에 실제로 유도되는 전하량은 도체 위에 위치한 전하량과 크기는 같고 부호는 반대이다.

=== 선형 유전체에서의 영상법 ===
영상법을 이용해 구한 전위는

<math>V_{up}=\frac{q}{4\pi\epsilon_1}\left[\frac{1}{\sqrt{x^2+y^2+(z-d)^2}}+\frac{\epsilon_{r_1}-\epsilon_{r_2}}{\epsilon_{r_1}+\epsilon_{r_2}}\frac{1}{\sqrt{x^2+y^2+(z+d)^2}} \right]</math>, <math>V_{down}=\frac{q}{4\pi\epsilon_1}\left[\frac{2\epsilon_{r_1}}{\epsilon_{r_1}+\epsilon_{r_2}}\frac{1}{\sqrt{x^2+y^2+(z-d)^2}}\right]</math>으로 주어진다.

마찬가지로 각 표면에 유도되는 구속 전하는 <math>\sigma_b=-\epsilon_0\left[\left.\frac{\partial V}{\partial z}\right\vert_{z=0^+}-\left.\frac{\partial V}{\partial z}\right\vert_{z=0^-}\right]=\frac{q}{4\pi}\frac{d}{(\rho^2+d^2)^{3/2}}\left[\frac{2(\epsilon_2-\epsilon_1)}{\epsilon_1(\epsilon_1+\epsilon_2)}\right]</math>와 같다.

이때 표면에 유도되는 전하량은 <math>q_{b_{surface}}=\frac{\epsilon_1-\epsilon_2}{\epsilon_1(\epsilon_1+\epsilon_2)}q</math>이다.

== 같이 보기 ==
* [[반사 원리]]

== 각주 ==
{{각주}}
* {{서적 인용|성=Purcell|이름=Edward Mills|저자링크=에드워드 밀스 퍼셀| title= Electricity and Magnetism|year=2011|url=https://archive.org/details/isbn_9780070702141_2|판=2판|언어=영어|publisher=McGraw-Hill  }}
* {{서적 인용| 성=Griffiths| 이름=David J.| 제목=Introduction to Electrodynamics|출판사=Addison-Wesley|연도=1999| 언어=영어| isbn = 978-0138053260}}
* {{서적 인용|title=Electrodynamics of Continuous Media|판=2판|last=Landau |first=L. D.|저자링크=레프 란다우|coauthors=E. M. Lifshitz, L. P. Pitaevskii|year=1960 |publisher=Elsevier |location=London |isbn=978-0-7506-2634-7 |ref=harv }}
* {{서적 인용|성=Jackson|이름=J. D.|연도=1998|제목=Classical Electrodynamics|판=3판|위치=New York|출판사=John Wiley & Sons|oclc=535998|isbn=978-0-471-30932-1|언어=영어|url=http://as.wiley.com/WileyCDA/WileyTitle/productCd-047130932X.html|access-date=2012-08-25|archive-date=2013-08-21|archive-url=https://web.archive.org/web/20130821131938/http://as.wiley.com/WileyCDA/WileyTitle/productCd-047130932X.html|url-status=dead}}
* {{서적 인용| 성=Feynman |이름=Richard|저자링크=리처드 파인먼|공저자=Robert Leighton, Matthew Sands|제목=The Feynman Lectures on Physics | url=https://archive.org/details/feynmanlectureso0002feyn_p7y3 | publisher=Addison-Wesley | year=1989 | isbn=0-201-51003-0}}
* {{서적 인용|성=Jeans|이름=James|연도=1908|제목=The Mathematical Theory of Electricity and Magnetism|장=8장|출판사=Cambridge University Press}}

== 외부 링크 ==
* [https://web.archive.org/web/20141006101313/http://nucl-a.inha.ac.kr/physics/enm1/main/class/04/b/ 인하대학교 강의 노트 — 영상법]

{{전거 통제}}

[[분류:전자기학]]
[[분류:정전기학]]