영다양체 문서 원본 보기

{{위키데이터 속성 추적}}
[[미분위상수학]]에서 '''영다양체'''(零多樣體, {{llang|en|nilmanifold}})는 [[멱영 리 군]]의 [[몫공간]]으로 얻어지는 [[동차공간]]이다. [[해다양체]]의 특수한 경우이며, [[기하화 추측]]에서 3차원 다양체를 분류하는 기하 가운데 하나이다.

== 정의 ==
[[연결 공간|연결]] [[멱영 리 군]] <math>N</math> 속의 '''격자'''({{llang|en|lattice}})는 다음 조건들을 만족시키는 부분군 <math>\Gamma\le N</math>이다.
* <math>\Gamma</math>는 [[이산 공간]]이다.
* [[몫공간]] <math>N/\Gamma</math>는 [[콤팩트 공간]]이다.
[[연결 공간|연결]] [[멱영 리 군]] <math>N</math>에 대하여, 다음 두 조건이 서로 [[동치]]이다.
* <math>N</math>은 (하나 이상의) 격자를 갖는다.
* (말체프 조건 {{llang|en|Mal’cev condition}}) 모든 구조 상수가 [[유리수]]가 되는 리 대수 <math>\operatorname{Lie}(N)</math>의 [[기저 (선형대수학)|기저]]가 존재한다.

연결 [[매끄러운 다양체]] <math>M</math>에 대하여, 다음 두 조건이 서로 [[동치]]이며, 이를 만족시키는 연결 [[매끄러운 다양체]]를 '''영다양체'''라고 한다.
* 연결 [[멱영 리 군]]에 대한 [[동차 공간]]이다. 즉, 연결 [[멱영 리 군]] <math>N</math>의 [[추이적 작용]] <math>\cdot\colon N\times M\to M</math>이 존재하며, 모든 <math>g\in N</math>에 대하여 <math>g\cdot\colon M\to M</math>이 [[미분 동형]]을 이룬다.
* <math>M\cong \Gamma\backslash N</math>이 되는 연결 [[멱영 리 군]] <math>N</math> 및 격자 <math>\Gamma\le N</math>이 존재한다.
* 반복된 [[U(1)]] [[주다발]]과 [[유클리드 공간]]의 [[곱공간]]과 [[미분 동형]]이다. 즉, <math>M \cong \mathbb R^k \times P_n</math>이며 <math>M_0 = \{\bullet\}</math>([[한원소 공간]])인 [[매끄러운 주다발]]의 열 <math>\operatorname U(1) \to M_i \to M_{i-1}</math> <math>(i\in\{1,\dotsc,n\})</math>이 존재한다.<ref>{{저널 인용|arxiv=1805.06585|제목=Iterated circle bundles and infranilmanifolds|날짜=2018|이름=Igor|성=Belegradek|언어=en}}</ref>{{rp|Theorem 1}}
즉, [[멱영 리 군]]에 대한 [[동차 공간]]의 [[안정자군]]은 격자를 이룬다.

== 성질 ==
모든 영다양체는 자명하게 [[해다양체]]이며, 따라서 해다양체의 성질들을 만족시킨다. 특히, 영다양체의 2차 이상 [[호모토피 군]]은 모두 자명하며, 콤팩트 영다양체는 그 [[기본군]]으로 완전히 분류된다.

모든 영다양체는 콤팩트 영다양체와 [[유클리드 공간]]의 [[곱공간]]이다. 따라서 영다양체의 분류는 콤팩트 영다양체의 분류로 귀결된다.

[[원환면]]이 아닌 콤팩트 영다양체는 [[형식적 공간]]이 아니며, 특히 [[켈러 구조]]를 가질 수 없다. 정의에 따라, 모든 영다양체는 [[가향 다양체]]이며, 추가로 [[평행화 가능 다양체]]이다.<ref name="GO"/>{{rp|163, Corollary 4.1.3}}

군 <math>G</math>에 대하여 다음 두 조건이 서로 [[동치]]이다.
* <math>G\cong\pi_1(M)</math>이 되는 영다양체 <math>M</math>이 존재한다.
* <math>G</math>는 [[꼬임 부분군]]이 자명한 유한 생성 [[멱영군]]이다.

== 예 ==
모든 연결 [[아벨 리 군]]은 영다양체이다. 특히, [[원환면]] <math>\mathbb T^n\cong\mathbb R^n/\mathbb Z^n</math>은 콤팩트 영다양체이다.

[[하이젠베르크 군]] <math>\operatorname H(n;\mathbb R)</math>는 <math>n(n-1)/2</math>차원 [[멱영 리 군]]을 이룬다. 정수 계수 하이젠베르크 군 <math>\operatorname H(n;\mathbb Z)</math>은 그 속의 격자를 이루며, <math>\operatorname H(n;\mathbb R)/\operatorname H(n;\mathbb Z)</math>은 영다양체를 이룬다.

=== 낮은 차원의 영다양체 ===
==== 2차원 이하 ====
2차원 이하의 연결 영다양체는 [[원환면]]과 [[유클리드 공간]]의 [[곱공간]] 밖에 없다. 콤팩트 영다양체를 구성하려면, 1차원에서는 [[한원소 공간]] 위에 하나의 U(1) 주다발이 존재하며, 2차원에서는 원 위의 U(1) 주다발은 역시 하나 밖에 없다. (원 위에는 두 개의 [[원다발]]이 존재하며, 이는 각각 [[원환면]]과 [[클라인 병]]에 해당한다. 그러나 후자의 경우는 U(1) 주다발을 이루지 못한다.)

==== 3차원 콤팩트 영다양체 ====
3차원 콤팩트 영다양체는 [[자연수]]에 의하여 분류된다. 구체적으로, 2차원 원환면 <math>\mathbb T^2</math> 위의 U(1) 주다발 <math>P</math>는 그 [[연관 벡터 다발|연관]] [[복소수 선다발]]의 [[천 특성류]]의 적분인 2차 [[코호몰로지]]
:<math>\operatorname c_1(P) \in \operatorname H^2(\mathbb T^2)\cong\mathbb Z</math>
로 분류된다. 그런데 이 경우 <math>P</math>와 반대 [[방향 (다양체)|방항]]을 갖는 주다발 <math>\bar P</math>은 서로 [[미분 동형]]인 다양체를 정의한다. 즉, 3차원 연결 콤팩트 영다양체의 [[미분 동형]] 동치류는 자연수 <math>p\in\mathbb N</math>로 분류된다. 이 가운데, 3차원 [[원환면]]은 <math>p=0</math>에 해당한다.

이는 다음과 같이 [[하이젠베르크 군]]의 몫으로 표현될 수 있다.<ref name="GO">{{서적 인용|제목=Lie Groups and Lie Algebras Ⅱ. Lie Transformation Groups|이름=V. V. |성=Gorbatsevich|이름2=A. L. |성2=Onishchik|언어=en}}</ref>{{rp|161, Example 4.1.1}} 하이젠베르크 군
:<math>\operatorname{Heis}(1;\mathbb R) =
\left\{
\begin{pmatrix}
1&x&z\\
0&1&y\\
0&0&1
\end{pmatrix}
\colon x,y,z\in\mathbb R
\right\}</math>
속에서, [[리 군]] 곱셈 규칙이
:<math>(x,y,z) \cdot (x',y',z') = (x+x',y+y',xy'+z+z')</math>
이므로, 격자
:<math>
\Gamma_{m,n,p} = \left\{
\begin{pmatrix}
1&x&z\\
0&1&y\\
0&0&1
\end{pmatrix}
\colon x\in m^{-1}\mathbb Z,\;y\in n^{-1}\mathbb Z,\;z\in m^{-1}n^{-1}p^{-1}\mathbb Z
\right\}\qquad(m,n,p\in\mathbb Z^+)</math>
를 고를 수 있으며,
:<math>\Gamma_{m,n,p} \backslash \operatorname{Heis}(1;\mathbb R)</math>
는 콤팩트 영다양체를 이룬다. 사영 사상
:<math>\Gamma_{m,n,p} \backslash \operatorname{Heis}(1;\mathbb R) \twoheadrightarrow (\mathbb R/m^{-1}\mathbb Z)\times (\mathbb R/n^{-1}\mathbb Z) = \mathbb T^2</math>
:<math>(x,y,z) \mapsto (x,y)</math>
아래, 이는 2차원 [[원환면]] 위의 [[원다발]]을 이룬다. 이 경우, <math>\Gamma_{m,n,p} \backslash \operatorname{Heis}(1;\mathbb R) </math>는 <math>\Gamma_{1,1,p} \backslash \operatorname{Heis}(1;\mathbb R) </math>와 [[미분 동형]]이다.<ref name="GO"/>{{rp|163, §4.1.3}} 다시 말해, 모든 3차원 콤팩트 연결 영다양체는 <math>\mathbb T^3</math> 또는 <math>\Gamma_{1,1,p} \backslash \operatorname{Heis}(1;\mathbb R) </math> (<math>p\in\mathbb Z^+</math>)와 [[미분 동형]]이다.<ref name="GO"/>{{rp|162–163, Corollary 4.1.2}}

== 역사 ==
[[아나톨리 말체프]]가 1949년에 도입하였고, ‘영다양체’({{llang|ru|нильмногообразие|닐므노고오브라지예}})라는 용어를 정의하였다.<ref>{{저널 인용|이름=Анатолий Иванович |성=Мальцев|저자링크=아나톨리 말체프|제목=Об одном классе однородных пространств |저널=Известия академии наук СССР. Серия математическая. |권=13 |호=1|날짜=1949|쪽=9–32|zbl= 0034.01701|mr=0028842|url=
http://mi.mathnet.ru/izv3161 |언어=ru}}</ref>

== 각주 ==
{{각주}}

== 외부 링크 ==
* {{eom|title=Nil manifold}}
* {{eom|title=Nil flow}}
* {{매스월드|id=Nilmanifold|title=Nilmanifold}}

{{전거 통제}}

[[분류:다양체]]
[[분류:리 군]]
[[분류:매끄러운 다양체]]