영근기 문서 원본 보기

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[[환론]]에서 '''상영근기'''(上零根基, {{llang|en|upper nilradical}})와 '''하영근기'''(下零根基, {{llang|en|lower nilradical}})는 [[멱영원]]들로 구성된, [[환 (수학)|환]]의 특별한 [[아이디얼]]들이다. [[가환환]]의 경우 이 둘은 일치하며, '''영근기'''(零根基, {{llang|en|nilradical}})라고 불린다.

== 정의 ==
환 <math>R</math>의 왼쪽·오른쪽·양쪽 [[아이디얼]]이 [[멱영원]]들로만 구성되어 있다면, 이를 '''멱영원 왼쪽·오른쪽·양쪽 아이디얼'''({{llang|en|nil ideal}})이라고 한다. (이는 멱영 왼쪽·오른쪽·양쪽 아이디얼과 다르다.)

환 <math>R</math>의 '''상영근기'''(上零根基, {{llang|en|upper nilradical}}) 또는 '''쾨테 근기'''({{llang|en|Köthe radical}})는 모든 멱영원 양쪽 아이디얼들의 합이다.<ref name="Lam">{{서적 인용|제목=A first course in noncommutative rings|성 = Lam|이름=Tsit-Yuen|저자링크=람짓윈|출판사=Springer|날짜 = 2001|isbn =978-0-387-95183-6|doi=10.1007/978-1-4419-8616-0|총서=Graduate Texts in Mathematics|권=131|issn=0072-5285|판=2|언어=en}}</ref>{{rp|163, Definition 10.26}}
:<math>\operatorname{Nil}^*R=\bigoplus_{\forall a\in\mathfrak a\exists n>0\colon a^n=0}\mathfrak a</math>
환 <math>R</math>의 '''하영근기'''(下零根基, {{llang|en|lower nilradical}}) 또는 '''베어-맥코이 근기'''({{llang|en|Baer–McCoy radical}})는 [[영 아이디얼]]의 [[소근기]]이다. 즉, <math>R</math>의 모든 [[소 아이디얼]]들의 교집합이다.<ref name="Lam"/>{{rp|158, Definition 10.13}}
:<math>\operatorname{Nil}_*R=\sqrt{(0)}=\bigcap_{\mathfrak p\text{ prime}}\mathfrak p</math>
환 <math>R</math>의 '''레비츠키 근기'''({{llang|en|Levitzky ideal}})는 모든 국소 멱영 아이디얼들의 합이다.<ref name="Lam"/>{{rp|166}} 여기서 '''국소 멱영 아이디얼'''({{llang|en|locally nilpotent ideal}}) <math>\mathfrak a</math>는 임의의 유한 부분 집합 <math>S\subseteq\mathfrak a</math>가 주어졌을 때, 충분히 큰 자연수 <math>N</math>에 대하여 <math>S^N=\{0\}</math>이 되는 아이디얼이다.

== 성질 ==
하영근기 · 레비츠키 근기 · 상영근기는 환의 [[양쪽 아이디얼]]을 이룬다. 일반적으로 다음과 같은 포함 관계가 성립한다.
:하영근기 ⊆ 레비츠키 근기 ⊆ 상영근기 ⊆ [[제이컵슨 근기]]
상영근기의 모든 원소들은 [[멱영원]]이지만, 일반적인 환에서는 상영근기에 속하지 않는 멱영원이 존재할 수 있다.

만약 환 <math>R</math>가 [[가환환]]이거나 [[왼쪽 뇌터 환]]이거나 [[오른쪽 뇌터 환]]이라면, 상영근기 · 하영근기 · 레비츠키 근기가 모두 일치하며, 이를 '''영근기'''라고 한다.

=== 쾨테 추측 ===
다음 명제들은 모두 서로 [[동치]]이며, 이들이 참인지 여부를 '''쾨테 추측'''({{llang|en|Köthe conjecture}})이라고 한다.
* 임의의 환에서, 두 멱영원 왼쪽 아이디얼의 합은 멱영원 왼쪽 아이디얼이다.
* 임의의 환에서, 모든 멱영원 왼쪽 아이디얼은 상영근기에 속한다.
* 임의의 환 <math>R</math> 및 임의의 멱영원 양쪽 아이디얼 <math>\mathfrak j</math>에 대하여, 행렬 아이디얼 <math>\operatorname{Mat}(2;\mathfrak j)\subseteq\operatorname{Mat}(2;R)</math>은 멱영원 아이디얼이다.
* 임의의 양의 정수 <math>n\in\mathbb Z^+</math> 및 임의의 환 <math>R</math> 및 임의의 멱영원 양쪽 아이디얼 <math>\mathfrak j</math>에 대하여, 행렬 아이디얼 <math>\operatorname{Mat}(n;\mathfrak j)\subseteq\operatorname{Mat}(n;R)</math>은 멱영원 아이디얼이다.
쾨테 추측은 [[오른쪽 뇌터 환]]이나 [[다항 항등식 환]]에 대하여 증명되었지만, 일반적인 환에 대하여 아직 미해결 문제이다.<ref>{{저널 인용|url=http://www.math.bas.bg/serdica/2001/2001-159-170.pdf|제목=On some results related to Köthe’s conjecture|이름=Agata|성=Smoktunowicz|저널=Сердика математическо списание|권=27|날짜=2001|쪽=159–170|issn=1310-6600|언어=en}}</ref>

=== 가환환의 경우 ===
[[가환환]]의 경우, 영근기는 모든 [[멱영원]]의 집합과 같으며, [[영 아이디얼]]의 [[소근기]]이다. (이는 비가환환의 경우 성립하지 않을 수 있다.)

== 각주 ==
{{각주}}

== 외부 링크 ==
* {{eom|title=Radical of rings and algebras}}
* {{nlab|id=nilradical|title=Nilradical}}

== 같이 보기 ==
* [[멱영원]]
* [[제이컵슨 근기]]

{{전거 통제}}

[[분류:환론]]
[[분류:가환대수학]]