열 방정식 문서 원본 보기

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[[파일:Heat eqn.gif|섬네일|오른쪽|열 방정식의 해. 시간에 따라 열이 전도되면서 온도 분포가 점차 균일해지는 것을 볼 수 있다.]]

[[물리학]]과 [[수학]]에서 '''열 방정식'''(熱方程式, {{lang|en|heat equation}})은 [[열]] 따위의 성질이 시간에 따라 전도되는 과정을 나타내는 2차 [[편미분 방정식]]이다. 열 방정식의 해는 때때로 '''열량 함수'''(caloric functions)로 알려져 있다. 열 방정식 이론은 [[열]]과 같은 양이 주어진 영역을 통해 확산되는 방식을 모델링할 목적으로 1822년 [[조제프 푸리에]]에 의해 처음 개발되었다.

[[열]] 뿐만 아니라 기체의 분산이나 [[브라운 운동]], 금융학의 [[블랙-숄즈 방정식]]({{lang|en|Black–Scholes equation}})을 다룰 때도 쓰인다.

== 정의 ==
<math>n</math>차원 [[유클리드 공간]]에서 실함수 <math>u(t,\mathbf x)\colon\mathbb R\times\mathbb R^n\to\mathbb R</math>가 온도 분포를 나타낸다고 하자. 만약 열이 [[열전도율]] <math>D</math>를 따라 전도된다면 <math>u</math>는 다음과 같은 2차 [[편미분 방정식]]을 만족한다.
:<math>\dot u=D\nabla^2u</math>
여기서 <math>\nabla^2</math>는 <math>n</math>차원 공간에서의 [[라플라스 연산자]]다. 이 편미분 방정식을 '''열 방정식'''이라고 한다.

보다 일반적으로, <math>n</math>차원 [[리만 다양체]] 위에서의 열 방정식을 정의할 수 있다. 이 때는 <math>\nabla^2</math>는 [[라플라스-벨트라미 연산자]]가 된다.

== 그린 함수 ==
열 방정식은 [[그린 함수]]를 통해 풀 수 있다. 열 방정식의 [[그린 함수]]는 '''열핵'''(熱核, {{llang|en|heat kernel}})이라고 불리며, 다음과 같다.
:<math>G(t,\mathbf x)=\frac1{(4\pi Dt)^{n/2}}\exp(-\mathbf x^2/4kt)</math>.
이 함수는 다음과 같은 성질을 만족한다.
:<math>G(0,\mathbf x)=\delta^{(n)}(\mathbf x)</math>
:<math>\dot G=D\nabla^2G</math>.
여기서 <math>\delta^{(n)}</math>은 <math>n</math>차원 [[디랙 델타 함수]]다. 따라서 그린 함수를 사용하여 열 방정식의 [[초기 조건 문제]]를 풀 수 있다.

== 같이 보기 ==
* [[열확산도]]
* [[푸리에의 법칙]]

== 외부 링크 ==
{{위키공용분류}}
* [http://www.mathphysics.com/pde/HEderiv.html Derivation of the heat equation]
* [http://eqworld.ipmnet.ru/en/solutions/lpde/heat-toc.pdf Linear heat equations]: Particular solutions and boundary value problems - from EqWorld

[[분류:열역학]]
[[분류:편미분 방정식]]
[[분류:확산]]
[[분류:열전도]]