열린집합 문서 원본 보기

{{위키데이터 속성 추적}}
[[파일:Circle - black simple.svg|섬네일|원판의 [[내부 (위상수학)|내부]], 즉 원의 중심으로부터 반지름 미만의 거리에 위치한 점들의 집합은 열린집합이다. 반대로, 경계를 포함하는 원판, 즉 원의 중심으로부터 반지름 이하의 거리에 위치한 점들의 집합은 닫힌집합이다.]]
[[일반위상수학]]에서 '''열린집합'''(-集合, {{llang|en|open set}}) 또는 '''개집합'''(開集合)은 스스로의 [[경계 (위상수학)|경계]]를 전혀 포함하지 않는, [[위상 공간 (수학)|위상 공간]]의 [[부분 집합]]이다. 마찬가지로, '''닫힌집합'''(-集合, {{llang|en|closed set}}) 또는 '''폐집합'''(閉集合)은 스스로의 경계를 모두 포함하는, 위상 공간의 부분 집합이다. 열린집합은 닫힌집합의 [[여집합]]이며, 반대로 닫힌집합은 열린집합의 여집합이다.

이름과 달리, 열린집합과 닫힌집합의 개념은 서로 [[반대말]]이 아니다. 즉, 주어진 부분 집합은 동시에 열린집합이자 닫힌집합일 수 있으며, 이러한 부분 집합을 '''열린닫힌집합'''(-集合, {{llang|en|clopen set}}) 또는 '''개폐집합'''(開閉集合)이라고 한다.

== 정의 ==
=== 열린집합과 닫힌집합 ===
위상 공간의 정의에서, 열린집합의 개념은 보통 무정의 개념으로 간주된다. 즉, 위상 공간은 특정한 집합족 <math>\mathcal T</math>를 갖춘 집합이며, <math>\mathcal T</math>의 원소를 열린집합이라고 한다. 만약 위상 공간을 열린집합이 아닌 다른 방법으로 정의하게 된다면, 위상 공간 <math>X</math>의 부분 집합 <math>U\subseteq X</math>에 대하여 다음 개념들이 서로 [[동치]]이며, 이를 만족시키는 부분 집합을 '''열린집합'''이라고 한다.
* (닫힌집합을 통한 정의) <math>X\setminus U</math>가 닫힌집합이다.
* ([[내부 (위상수학)|내부]]를 통한 정의) <math>U=\operatorname{int}U</math>
* ([[폐포 (위상수학)|폐포]]를 통한 정의) <math>U=X\setminus\operatorname{cl}(X\setminus U)</math>
* ([[경계 (위상수학)|경계]]를 통한 정의) <math>U\cap\partial U=\varnothing</math>
* ([[극한점]]을 통한 정의) <math>\operatorname{acc\,pt}_2(X\setminus U)\cap U\ne\varnothing</math>. 여기서 <math>\operatorname{acc\,pt}_2</math>는 [[극한점]]의 집합이다.
* ([[집적점|밀착점]]을 통한 정의) <math>\operatorname{acc\,pt}_1(X\setminus U)=X\setminus U</math>. 여기서 <math>\operatorname{acc\,pt}_1</math>은 [[집적점|밀착점]]의 집합이다.

마찬가지로, 위상 공간 <math>X</math>의 부분 집합 <math>F\subseteq X</math>에 대하여 다음 개념들이 서로 [[동치]]이며, 이를 만족시키는 부분 집합을 '''닫힌집합'''이라고 한다.
* (열린집합을 통한 정의) <math>X\setminus F</math>가 열린집합이다.
* ([[폐포 (위상수학)|폐포]]를 통한 정의) <math>F=\operatorname{cl}F</math>
* ([[내부 (위상수학)|내부]]를 통한 정의) <math>F=X\setminus\operatorname{int}(X\setminus F)</math>
* ([[경계 (위상수학)|경계]]를 통한 정의) <math>\partial F\subseteq F</math>
* ([[극한점]]을 통한 정의) <math>\operatorname{acc\,pt}_2(F)\subseteq F</math>. 여기서 <math>\operatorname{acc\,pt}_2</math>는 [[극한점]]의 집합이다.
* ([[집적점|밀착점]]을 통한 정의) <math>\operatorname{acc\,pt}_1(F)=F</math>. 여기서 <math>\operatorname{acc\,pt}_1</math>은 [[집적점|밀착점]]의 집합이다.
[[위상 공간 (수학)|위상 공간]] <math>X</math>의 열린집합들의 [[집합족]]은 <math>\boldsymbol\Sigma^0_1(X)</math>로, 닫힌집합들의 [[집합족]]은 <math>\boldsymbol\Pi^0_1(X)</math>로 표기한다. (이 기호는 [[보렐 위계]]의 일부에서 유래한다.)

주어진 부분 집합을 포함하는 최소의 닫힌집합을 그 '''[[폐포 (위상수학)|폐포]]'''라 하며, 주어진 부분 집합에 포함되는 최대의 열린집합을 그 '''[[내부 (위상수학)|내부]]'''라 한다.

=== 열린닫힌집합 ===
어떤 [[위상 공간 (수학)|위상 공간]] <math>(X,\mathcal T)</math>의 [[부분 집합]] <math>S\subseteq X</math>에 대하여, 다음 네 조건이 서로 [[동치]]이며, 이를 만족시키는 집합을 '''열린닫힌집합'''이라고 한다.
* <math>S</math>는 열린집합이며 닫힌집합이다. 즉, <math>\{S,X\setminus S\}\subseteq\mathcal T</math>이다.<ref>{{서적 인용 | last=Davey | first=Brian A. | 이름2=Hilary A.|성2=Priestley |title=Introduction to lattices and order | 판=2 | publisher=Cambridge University Press | isbn=978-0-521-78451-1 | 날짜=2002|doi=10.1017/CBO9780511809088|zbl=1002.06001|언어=en}}</ref>{{rp|4, §1.6}}
* <math>S</math>는 정칙 열린집합이며 정칙 닫힌집합이다. 즉, <math>S=\operatorname{int}(\operatorname{cl}S)=\operatorname{cl}(\operatorname{int}S)</math>이다.
* <math>\partial S=\varnothing</math>. 즉, <math>S</math>의 [[경계 (위상수학)|경계]]는 [[공집합]]이다.<ref>{{서적 인용|제목=Introduction to topology|url=https://archive.org/details/introductiontoto0000bert|판=3|이름=Bert|성=Mendelson|날짜=1975|출판사=Allyn and Bacon|zbl=0304.54003|언어=en}}</ref>{{rp|87, Exercise 3.4.7}}
* <math>S</math>는 닫힌집합이며, <math>S\subseteq\operatorname{int}(\operatorname{cl}(S))</math>이다.<ref>{{서적 인용|arxiv=math/9810177|장=Survey on preopen sets|날짜=1998|이름=Julian|성=Dontchev|bibcode=1998math.....10177D|제목=位相空間論とその応用研究会|쪽=1–18|출판사={{ruby-ja|八代|やつしろ}}工業高等専門学校|언어=en}}</ref>{{rp|§2}}
[[위상 공간 (수학)|위상 공간]] <math>X</math>의 열린닫힌집합들의 [[집합족]]은 <math>\boldsymbol\Delta^0_1(X)</math>로 표기한다. (이 기호는 [[보렐 위계]]의 일부에서 유래한다.)

=== 정칙 열린집합과 정칙 닫힌집합 ===
위상 공간 <math>X</math>의 [[부분 집합]] <math>U\subseteq X</math>에 대하여 다음 조건들이 서로 [[동치]]이며, 이를 만족시키는 부분 집합 <math>U\subseteq X</math>를 '''정칙 열린집합'''(正則-集合, {{llang|en|regular open set}})이라고 한다.
* 스스로의 [[폐포 (위상수학)|폐포]]의 [[내부 (위상수학)|내부]]와 일치한다. 즉, <math>U=\operatorname{int}(\operatorname{cl}U)</math>이다.<ref name="Willard">{{서적 인용 | last=Willard | first=Stephen | title=General topology | publisher=Addison-Wesley | isbn=978-0-201-08707-9 | mr=0264581 | 날짜=1970|zbl=0205.26601 | 총서=Addison-Wesley Series in Mathematics | url=http://store.doverpublications.com/0486434796.html | 언어=en}}</ref>{{rp|29, Problem 3D}}<ref name="SS">{{서적 인용 | last=Steen | first=Lynn Arthur | 이름2=J. Arthur, Jr.|성2=Seebach |제목=Counterexamples in topology | 날짜=1978 | publisher=Springer | isbn= 978-0-387-90312-5 | mr=507446 | zbl = 0386.54001 | 판=2 | doi = 10.1007/978-1-4612-6290-9 | 언어=en}}</ref>{{rp|6, §I.1}}<ref name="Kechris">{{서적 인용|이름=Alexander Sotirios|성=Kechris|제목=Classical descriptive set theory|출판사=Springer-Verlag|날짜=1995|issn=0072-5285|doi=10.1007/978-1-4612-4190-4|isbn=978-1-4612-8692-9|총서=Graduate Texts in Mathematics|권=156|zbl=0819.04002|mr=1321597|언어=en}}</ref>{{rp|50, Exercise 8.30}}
* <math>U=\operatorname{int}(F)</math>인 닫힌집합 <math>F\subseteq X</math>가 존재한다.
* 정칙 닫힌집합의 [[여집합]]이다.

마찬가지로, 위상 공간 <math>X</math>의 [[부분 집합]] <math>F\subseteq X</math>에 대하여 다음 조건들이 서로 [[동치]]이며, 이를 만족시키는 부분 집합 <math>F\subseteq X</math>를 '''정칙 닫힌집합'''(正則-集合, {{llang|en|regular closed set}})이라고 한다.
* 스스로의 [[내부 (위상수학)|내부]]의 [[폐포 (위상수학)|폐포]]와 일치한다. 즉, <math>F=\operatorname{cl}(\operatorname{int}F)</math>이다.<ref name="Willard"/>{{rp|29, Problem 3D}}<ref name="SS"/>{{rp|6, §I.1}}<ref name="Kechris"/>{{rp|50, Exercise 8.30}}
* <math>F=\operatorname{cl}(U)</math>인 열린집합 <math>U\subseteq X</math>가 존재한다.
* 정칙 열린집합의 [[여집합]]이다.

== 성질 ==
=== 함의 관계 ===
위상 공간의 부분 집합에 대하여, 다음과 같은 함의 관계가 존재한다.
:{| style="text-align: center"
| colspan=2 | || 정칙 열린집합 ⇒ 열린집합
|-
| || ⇗ ||  || ⇘
|-
| 열린닫힌집합
|colspan=3| || [[보렐 집합]]
|-
| || ⇘ || || ⇗ || || ⇘
|-
| colspan=2 | ||  정칙 닫힌집합 ⇒ 닫힌집합
| colspan=3 | || [[준열린집합]] ⇒ [[부분 집합]]
|-
| colspan=5 | || ⇗
|-
| colspan=5 style="text-align: right" | [[조밀 집합|조밀]] 열린집합의 [[여집합]] ⇒ [[조밀한 곳이 없는 집합]] ⇒ [[제1 범주 집합]]
|}

=== 연산에 대한 닫힘 ===
임의의 위상 공간에서, 열린집합·닫힌집합·열린닫힌집합·정칙 열린집합·정칙 닫힌집합들은 다음과 같은 연산에 대하여 닫혀 있다.<ref name="Willard"/>{{rp|29, Problem 3D}}
{| class=wikitable style="text-align: center"
! 집합족 || 유한 [[교집합]]에 대해 닫힘 || 임의의 [[교집합]]에 대해 닫힘 || 유한 [[합집합]]에 대해 닫힘 || 임의의 [[합집합]]에 대해 닫힘 || [[여집합]]에 대해 닫힘 || [[연속 함수]]에 대한 [[원상 (수학)|원상]]
|-
! 열린집합
| ⭕ || ❌
| colspan=2 | ⭕ || ❌ || ⭕
|-
! 닫힌집합
| colspan=2 | ⭕ || ⭕ || ❌ || ❌ || ⭕
|-
! 열린닫힌집합
| ⭕ || ❌ || ⭕ || ❌ || ⭕ || ⭕
|-
! 정칙 열린집합
| ⭕ || ❌
| colspan=2 | ❌  || ❌ || ❌
|-
! 정칙 닫힌집합
| colspan=2 | ❌ || ⭕ || ❌ || ❌ || ❌
|}
위 표에서, ⭕는 집합족이 주어진 연산에 대하여 닫혀 있다는 뜻이다. 예를 들어, 열린집합의 유한 교집합은 항상 열린집합이다. ❌는 일반적인 위상 공간에서 집합족이 주어진 연산에 대하여 닫혀 있지 않을 수 있다는 뜻이며, 특정 위상 공간에서는 집합족들이 추가 연산에 대하여 닫혀 있을 수 있다. 예를 들어, [[알렉산드로프 공간]]에서 열린집합들은 임의의 [[교집합]]에 대하여 닫혀 있다.

열린집합·닫힌집합의 개념을 사용하여, 두 [[위상 공간 (수학)|위상 공간]] 사이의 다음과 같은 특별한 [[함수]]들을 정의할 수 있다.
{| class="wikitable"
! 집합족 !! [[상 (수학)|상]] 보존 !! [[원상 (수학)|원상]] 보존
|-
! 열린집합
| [[열린 함수]]
|rowspan=2 | [[연속 함수]]
|-
! 닫힌집합
| [[닫힌 함수]]
|}
즉, 열린집합의 상이 항상 열린집합인 함수는 [[열린 함수]]라고 하며, 닫힌집합의 원상이 항상 닫힌집합인 함수는 [[연속 함수]]라고 한다.

=== 연결성과의 관계 ===
임의의 위상 공간 <math>X</math>에 대하여, 다음 두 조건이 서로 [[동치]]이다.
* <math>X</math>는 [[연결 공간]]이다.
* 정확히 두 개의 열린닫힌집합을 갖는다. (이는 물론 <math>X</math>와 <math>\varnothing</math>이다.)

임의의 열린닫힌집합은 (유한 또는 무한 개의) [[연결 성분]]들의 [[합집합]]이다.

유한 개의 [[연결 성분]]을 갖는 [[위상 공간 (수학)|위상 공간]] <math>X</math>의 부분 집합 <math>A\subseteq X</math>에 대하여, 다음 두 조건이 서로 [[동치]]이다.
* 열린닫힌집합이다.
* <math>A=C_1\cup C_2\cup\cdots\cup C_n</math>인 [[자연수]] <math>n\in\mathbb N</math> 및 [[연결 성분]]들 <math>C_1,C_2,\dots,C_n\subseteq X</math>이 존재한다.
그러나 무한 개의 [[연결 성분]]을 갖는 [[위상 공간 (수학)|위상 공간]]의 경우, 열린집합이 아닌 [[연결 성분]]이 존재할 수 있다.

=== 순서론적 성질 ===
위상 공간 <math>X</math>의 열린닫힌집합들은 [[합집합]]·[[교집합]]·[[여집합]] 아래 [[불 대수]]를 이룬다. 반대로, [[스톤 표현 정리]]에 따라 모든 [[불 대수]]는 어떤 위상 공간의 열린닫힌집합 [[불 대수]]로 나타낼 수 있다.

위상 공간 <math>X</math> 위의 정칙 열린집합들의 [[집합족]] <math>\operatorname{RegOpen}(X)</math> 위에 다음과 같은 연산 <math>(\top,\bot,\land,\lor,\lnot)</math>들을 부여하면, 이는 [[완비 불 대수]]를 이룬다.<ref name="GH">{{서적 인용|제목=Introduction to Boolean algebras|성=Givant|이름=Steven|성2=Halmos|이름2=Paul|저자링크2=헐모시 팔|doi=10.1007/978-0-387-68436-9|총서=Undergraduate Texts in Mathematics
|issn=0172-6056|isbn=978-0-387-40293-2|날짜=2009|출판사=Springer-Verlag|zbl=1168.06001|언어=en}}</ref>{{rp|66, Theorem 10.1}}
:<math>\top=X</math>
:<math>\bot=\varnothing</math>
:<math>U\land V=U\cap V</math>
:<math>\lnot U=X\setminus\operatorname{cl}(U)</math>
:<math>U\lor V=\operatorname{int}\left(\operatorname{cl}(U\cup V)\right)</math>
임의의 정칙 열린집합들의 족 <math>\mathcal U</math>의 [[상한]]과 [[하한]]은 각각 다음과 같다.
:<math>\bigvee\mathcal U=\operatorname{int}\left(\operatorname{cl}\left(\bigcup\mathcal U\right)\right)</math>
:<math>\bigwedge\mathcal U=\operatorname{int}\left(\operatorname{cl}\left(\bigcap\mathcal U\right)\right)</math>

마찬가지로, 위상 공간 <math>X</math> 위의 정칙 닫힌집합들의 [[집합족]] <math>\operatorname{RegClsd}(X)</math> 위에 다음과 같은 연산 <math>(\top,\bot,\land,\lor,\lnot)</math>들을 부여하면, 이는 [[완비 불 대수]]를 이룬다.
:<math>\top=X</math>
:<math>\bot=\varnothing</math>
:<math>F\land G=\operatorname{cl}(\operatorname{int}(F\cap G))</math>
:<math>\lnot F=\operatorname{cl}(X\setminus F)</math>
:<math>F\lor G=F\cup G</math>
임의의 정칙 닫힌집합들의 족 <math>\mathcal F</math>의 [[상한]]과 [[하한]]은 각각 다음과 같다.
:<math>\bigvee\mathcal F=\operatorname{cl}\left(\operatorname{int}\left(\bigcup\mathcal F\right)\right)</math>
:<math>\bigwedge\mathcal F=\operatorname{cl}\left(\operatorname{int}\left(\bigcap\mathcal F\right)\right)</math>

== 예 ==
=== 거리 공간 ===
{{본문|거리 공간}}
[[유클리드 공간]]을 비롯한 [[거리 공간]] <math>(X,d)</math>이 주어져 있을 때, 중심 <math>x\in X</math>의, 반지름 <math>r>0</math>의 [[열린 공]]은 다음과 같다.
:<math>\operatorname{ball}(x,r)=\{y\in X\colon d(x,y)<r\}</math>
<math>(X,d)</math>의 모든 열린 공들은 정칙 열린집합이다. <math>(X,d)</math>의 열린집합들은 <math>X</math>의 열린 공들의 합집합이다. (다시 말해, 열린 공들은 <math>(X,d)</math>의 [[기저 (위상수학)|기저]]를 이룬다.)

즉, 임의의 [[부분 집합]] <math>U\subseteq X</math>에 대하여 다음 두 조건이 서로 [[동치]]이다.
* <math>U</math>는 <math>X</math>의 열린집합이다.
* 임의의 <math>x\in U</math>에 대하여, <math>\operatorname{ball}(x,r)\subseteq U</math>가 되는 양의 실수 <math>r>0</math>가 존재한다.

=== 전순서 집합 ===
{{본문|순서 위상}}
[[실수선]]과 같은 [[전순서 집합]] <math>(X,\le)</math>의 [[순서 위상]]에서, 열린집합들은 [[열린구간]]들의 합집합이다. 즉, 모든 열린구간
:<math>(a,b)=\{c\in X\colon a<c<b\}</math>
또는
:<math>(-\infty,b)=\{c\colon c<b\}</math>
또는
:<math>(a,\infty)=\{c\colon a<c\}</math>
은 정칙 열린집합이며, 열린구간들의 합집합은 열린집합이며, 반대로 모든 열린집합은 열린구간의 합집합으로 나타낼 수 있다. 다시 말해, 열린구간들은 <math>(X,\le)</math>의 [[기저 (위상수학)|기저]]를 이룬다. (그러나 열린구간들의 합집합이 정칙 열린집합일 필요는 없다.)

=== 이산 공간 ===
{{본문|이산 공간}}
임의의 위상 공간 <math>X</math>에 대하여, 다음 조건들이 모두 서로 [[동치]]이다.
* <math>X</math>의 모든 [[부분 집합]]은 열린닫힌집합이다.
* <math>X</math>의 모든 부분 집합은 열린집합이다.
* <math>X</math>의 모든 부분 집합은 닫힌집합이다.
* <math>X</math>의 모든 부분 집합은 정칙 열린집합이다.
* <math>X</math>의 모든 부분 집합은 정칙 닫힌집합이다.
* <math>X</math>는 [[이산 공간]]이다.
즉, 이산 공간에서는 (정의에 따라) 모든 부분 집합들이 열린집합·닫힌집합·정칙 열린집합·정칙 닫힌집합·열린닫힌집합이다.

=== 비이산 공간 ===
{{본문|비이산 공간}}
[[비이산 공간]] <math>X</math>에서, 열린집합은 <math>X</math>와 <math>\varnothing</math> 밖에 없다. 마찬가지로, 닫힌집합·정칙 열린집합·정칙 닫힌집합·열린닫힌집합 또한 이 둘 밖에 없다.

=== 열린닫힌집합 ===
임의의 위상 공간 <math>X</math>에서, <math>X</math>와 <math>\varnothing</math>은 열린닫힌집합이며, 따라서 항상 정칙 열린집합이자 정칙 닫힌집합이다.

[[유리수]]의 위상 공간 <math>\mathbb Q</math>에서, [[구간]] <math>(-\infty,\sqrt2)\subseteq\mathbb Q</math>은 열린닫힌집합이다.

[[T1 공간|T<sub>1</sub> 공간]] <math>X</math>의 [[고립점]] <math>x\in X</math>이 주어졌을 때, [[한원소 집합]] <math>\{x\}</math>은 (정의에 따라) 열린닫힌집합이다.

=== 정칙 열린집합이 아닌 열린집합 ===
실수선의 열린집합
:<math>U=(0,1)\cup(1,2)</math>
을 생각하자. 그렇다면,
:<math>\operatorname{cl}U=[0,2]</math>
:<math>\operatorname{int}(\operatorname{cl}U)=(0,2)\supsetneq U</math>
이므로, <math>U</math>는 열린집합이지만 정칙 열린집합이 아니다. 마찬가지로, 그 [[여집합]] <math>\mathbb R\setminus U</math>는 닫힌집합이지만 정칙 닫힌집합이 아니다.

또한, [[열린구간]] <math>(0,1)</math>과 <math>(1,2)</math>는 정칙 열린집합이므로, 정칙 열린집합들은 유한 합집합에 대하여 닫혀 있지 않음을 알 수 있다. 마찬가지로, 정칙 닫힌집합들은 유한 교집합에 대하여 닫혀 있지 않음을 알 수 있다.

[[절댓값]] 함수 <math>|\cdot|\colon\mathbb R\to\mathbb R</math>는 [[연속 함수]]이다. 이 함수 아래, 정칙 열린집합 <math>(0,1)</math>의 [[원상 (수학)|원상]]
:<math>|\cdot|^{-1}\left[(-1,1)\right]=(-1,0)\cup(0,1)</math>
은 열린집합이지만 정칙 열린집합이 아니다. 즉, 정칙 열린집합은 연속 함수에 대한 [[원상 (수학)|원상]]에 대하여 닫혀 있지 않다.

== 역사 ==
열린집합·닫힌집합의 개념은 [[극한점]]의 개념의 등장 이후 발달되었다.<ref name="Moore"/>
‘닫힌집합’({{llang|de|abgeschlossene Menge}}, {{llang|fr|ensemble fermé}})이라는 용어는 [[게오르크 칸토어]]가 1884년에 최초로 사용하였다.<ref name="Moore"/>{{rp|223, §3}}<ref>{{저널 인용|이름=Georg|성=Cantor|저자링크=게오르크 칸토어|제목=Ueber unendliche, lineare Punktmannichfaltigkeiten. Nr. 6|저널=Mathematische Annalen|권=23|쪽=453–488|doi= 10.1007/BF01446598|issn=0025-5831|url=http://resolver.sub.uni-goettingen.de/purl?GDZPPN002248050|날짜=1884|언어=de}}</ref>{{rp|470, §17}}<ref>{{저널 인용|제목=De la puissance des ensembles parfaits de points. Extrait d’une lettre addressée à l’editeur|이름=G.|성=Cantor|저자링크=게오르크 칸토어|url=http://fa.its.tudelft.nl/~hart/37/onderwijs/verzamelingenleer/materiaal/de_la_puissance.pdf|저널=Acta Mathematica|권=4|쪽=381–392|날짜=1884-03-04|doi= 10.1007/BF02418423|issn=0001-5962|jfm=16.0460.01|mr=1554642|언어=fr}}</ref>{{rp|388}}
‘열린집합’({{llang|fr|domaine ouvert}})이라는 용어는 [[르네루이 베르]]가 1899년 박사 학위 논문에서 최초로 사용하였다.<ref name="Moore">{{저널 인용|제목=The emergence of open sets, closed sets, and limit points in analysis and topology|이름=Gregory H.|성=Moore|저널=Historia Mathematica|권=35|호=3|날짜=2008-08|쪽=220–241|doi=10.1016/j.hm.2008.01.001|zbl=1153.54001|issn=0315-0860|언어=en}}</ref>{{rp|227–228, §8}}<ref>{{저널 인용|이름=R.|성=Baire|저자링크=르네루이 베르|제목=Sur les fonctions de variables réelles|저널=Annali di Matematica Pura ed Applicata|권=3|쪽=1–123|날짜=1899|jfm=30.0359.01|doi=10.1007/BF02419243|issn=0373-3114|언어=fr}}</ref>

== 각주 ==
{{각주}}

== 외부 링크 ==
* {{eom|title=Open set}}
* {{eom|title=Closed set}}
* {{eom|title=Canonical set}}
* {{eom|title=Open-closed set}}
* {{매스월드|id=OpenSet|title=Open set}}
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* {{매스월드|id=Clopen|title=Clopen}}
* {{nlab|id=open subspace|title=Open subspace}}
* {{nlab|id=closed subspace|title=Closed subspace}}
* {{nlab|id=clopen set|title=Clopen set}}
* {{웹 인용|url=https://proofwiki.org/wiki/Definition:Open_Set|제목=Definition: open set|웹사이트=ProofWiki|언어=en}}
* {{웹 인용|url=https://proofwiki.org/wiki/Definition:Closed_Set|제목=Definition: closed set|웹사이트=ProofWiki|언어=en}}
* {{웹 인용|url=https://proofwiki.org/wiki/Definition:Regular_Open_Set|제목=Definition: regular open set|웹사이트=ProofWiki|언어=en}}
* {{웹 인용|url=https://proofwiki.org/wiki/Definition:Regular_Closed_Set|제목=Definition: regular closed set|웹사이트=ProofWiki|언어=en}}
* {{웹 인용|url=https://proofwiki.org/wiki/Finite_Intersection_of_Regular_Open_Sets_is_Regular_Open|제목=Finite intersection of regular open sets is regular open|웹사이트=ProofWiki|언어=en}}
* {{웹 인용|url=https://proofwiki.org/wiki/Union_of_Regular_Open_Sets_is_not_necessarily_Regular_Open|제목=Union of regular open sets is not necessarily regular open|웹사이트=ProofWiki|언어=en}}
* {{웹 인용|url=https://proofwiki.org/wiki/Definition:Clopen_Set|제목=Definition: clopen set|웹사이트=ProofWiki|언어=en}}
* {{웹 인용|url=https://proofwiki.org/wiki/Set_is_Clopen_iff_Boundary_is_Empty|제목=Set is clopen iff boundary is empty|웹사이트=ProofWiki|언어=en}}
* {{웹 인용|url=https://proofwiki.org/wiki/Connected_iff_no_Proper_Clopen_Sets|제목=Connected iff no proper clopen sets|웹사이트=ProofWiki|언어=en}}
* {{웹 인용|url=https://proofwiki.org/wiki/Open_and_Closed_Sets_in_Topological_Space|제목=Open and closed sets in topological space|웹사이트=ProofWiki|언어=en}}

[[분류:일반위상수학]]