열대 기하학 문서 원본 보기

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[[파일:Cubique_tropicale_min.svg|섬네일| 열대 3차 곡선]]
[[수학]]에서 '''열대 기하학'''({{Llang|en|tropical geometry}})은 덧셈이 최소 함수로, 곱셈이 일반적인 덧셈으로 바뀌었을 때 다항식과 그 [[대수기하학|기하학적 성질]]에 대한 연구이다. 열대 기하학에서 두 실수의 덧셈과 곱셈은 다음과 같이 정의된다.

: <math>x \oplus y = \min\{x, y \}</math>
: <math>x \otimes y = x + y</math>

예를 들어, 고전적인 다항식 <math>x^3 + 2xy + y^4</math>는 열대 기하학에서<math>\min\{x+x+x,\; 2+x+y,\; y+y+y+y\}</math>이 된다. 이러한 다항식과 그 해는 최적화 문제, 예를 들어 기차 네트워크의 출발 시간 최적화 문제 등에 중요하게 응용된다.

열대 기하학은 다항식의 그래프가 [[조각 선형 매니폴드|조각별 선형]] 메쉬와 유사하고 체 대신 [[트로피컬 세미링|열대 반환]]의 수를 사용하는 [[대수기하학]]의 변형이다. 고전 기하학과 열대 기하학은 밀접하게 관련되어 있기 때문에 결과와 방법을 서로 변환할 수 있다. 대수다양체는 열대 다양체에 사상될 수 있고, 이 과정은 여전히 원래 다양체에 대한 일부 기하학적 정보를 유지하므로 열대 기하학의 도구를 사용하여 [[브릴-뇌테르 정리|브릴–뇌터 정리]]와 같은 대수기하학의 고전적 결과를 증명하고 일반화하는 데 도움이 될 수 있다.<ref>{{웹 인용|url=https://www.quantamagazine.org/tinkertoy-models-produce-new-geometric-insights-20180905/|제목=Tinkertoy Models Produce New Geometric Insights|성=Hartnett|이름=Kevin|웹사이트=[[Quanta Magazine]]|확인날짜=2018-12-12}}</ref>

== 역사 ==
열대 해석학의 기본 아이디어는 다양한 분야의 수학자들이 동일한 표기법을 사용하여 독자적으로 개발했다.<ref>See {{서적 인용|제목=Minimax algebra|성=Cuninghame-Green|이름=Raymond A.|연도=1979|권=166|출판사=Springer|isbn=978-3-540-09113-4|추신=none}} and references therein.</ref> 열대 기하학의 중심 아이디어는 여러 초기 작업에서 다양한 형태로 나타났다. 예를 들어 [[빅터 파블로비치 마슬로프|Victor Pavlovich Maslov]]는 통합 프로세스의 열대 버전을 도입했고, [[해밀턴-야코비 방정식]]의 [[르장드르 변환]] 해가 열대적인 선형 연산이라는 사실을 알아냈다.<ref>{{저널 인용|제목=On a new superposition principle for optimization problems|저널=[[Russian Mathematical Surveys]]|성=Maslov|이름=Victor|저자링크=Victor Pavlovich Maslov|연도=1987|권=42:3|호=3|쪽=43–54|bibcode=1987RuMaS..42...43M|doi=10.1070/RM1987v042n03ABEH001439}}</ref> 그러나 이론의 기본 정의를 통합하려는 노력은 1990년대 이후에야 이루어졌다. 이는 [[막심 콘체비치]]의 아이디어와 Grigory Mikhalkin<ref>{{저널 인용|제목=Enumerative tropical algebraic geometry in R<sup>2</sup>|저널=[[Journal of the American Mathematical Society]]|성=Mikhalkin|이름=Grigory|url=http://www.ams.org/journals/jams/2005-18-02/S0894-0347-05-00477-7/S0894-0347-05-00477-7.pdf|날짜=2005|권=18|호=2|쪽=313–377|arxiv=math/0312530|doi=10.1090/S0894-0347-05-00477-7}}</ref>의 작업을 사용한 [[열거 기하학|열거 대수기하학]]에의 응용을 통해 동기가 부여되었다.

[[열대]]라는 형용사는 이 분야에서 연구한 [[헝가리]] 태생의 [[브라질]] 컴퓨터 과학자 [[임레 사이먼|Imre Simon]]을 기리기 위해 프랑스 수학자들이 만들었다. [[장 에릭 핀|Jean-Éric Pin]]은 발명을 [[도미니크 페린|Dominique Perrin]]에게 돌린 반면,<ref name="Pin1998">{{서적 인용|제목=Idempotency|성=Pin|이름=Jean-Eric|연도=1998|편집자-성=Gunawardena|편집자-이름=J.|총서=Publications of the Newton Institute|권=11|출판사=[[Cambridge University Press]]|쪽=50–69|장=Tropical semirings|doi=10.1017/CBO9780511662508.004|isbn=9780511662508}}</ref> 시몬 자신은 단어를 Christian Coffrut에게 돌렸다.<ref name="Simon1988">{{서적 인용|제목=Mathematical Foundations of Computer Science 1988|성=Simon|이름=Imre|연도=1988|총서=[[Lecture Notes in Computer Science]]|권=324|쪽=107–120|장=Recognizable sets with multiplicities in the tropical semiring|doi=10.1007/BFb0017135|isbn=978-3-540-50110-7}}</ref>

== 대수학 배경 ==
열대 기하학은 [[트로피컬 세미링|열대 반환]]을 기반으로 한다. 열대 반환은 관례에 따라 최대 또는 최소를 사용한 두 가지 방식으로 정의된다.

'''최소 열대 반환'''({{Llang|en|min tropical semiring}})은 연산 <math>x \oplus y = \min\{x, y \}</math>, <math>x \otimes y = x + y</math>을 갖는 [[반환 (수학)|반환]] <math>(\R \cup \{+\infty\}, \oplus, \otimes)</math>이다.

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연산 <math>\oplus</math>, <math>\otimes</math>은 각각 '''열대 덧셈'''과 '''열대 곱셈'''이라고 한다. <math>\oplus</math>에 대한 [[항등원]]은 <math>+\infty</math>이고, <math>\otimes</math>에 대한 항등원은 0이다.

유사하게, '''최대 열대 반환'''({{Llang|en|max tropical semiring}})은 연산 <math>x \oplus y = \max\{x, y \}</math>, <math>x \otimes y = x + y</math>을 갖는 반환<math>(\R \cup \{-\infty\}, \oplus, \otimes)</math>이다.

:
:

<math>\oplus</math>에 대한 항등원은 <math>-\infty</math>이고, <math>\otimes</math>에 대한 항등원은 0이다.

최소 열대 반환과 최대 열대 반환은 동형 사상 <math>x \mapsto -x</math>에 의해 동형이다. 일반적으로 둘 중 하나를 선택하고 열대 반환으로 부른다. 관례는 저자와 분야에 따라 다르다. 일부는 ''최소'' 규칙을 사용하고 일부는 ''최대'' 규칙을 사용한다.

열대 반환의 연산은 값매김 체에서 덧셈과 곱셈에 따라 [[평가(대수학)|값매김]]이 어떻게 작용하는지 모사한다.

열대 기하학에서 발생하는 몇 가지 일반적인 값매김 체(최소 규칙 포함)는 다음과 같다.

* <math>\Q</math> 또는 <math>\Complex</math>와 자명한 값매김: 모든 <math>a\ne 0</math>에 대해 <math>v(a) = 0</math>.
* <math>\Q</math> 또는 [[P진수|p진 값매김]]을 통한 확장: <math>p</math>와 서로소인 정수 <math>b</math>에 대해 <math>v_p(p^n a/b) = n</math>.
* [[로랑 급수]]의 체 <math>\Complex(\!(t)\!)</math> (정수 거듭제곱) 또는 (복소 계수) [[퓌죄 급수]]의 체 <math>\Complex\{\!\{t\}\!\}</math>와 급수에 나타나는 <math>t</math>의 가장 작은 지수 값매김.

== 열대 다항식 ==
'''열대 다항식'''({{Llang|en|tropical polynomial}})은 유한한 수의 [[단항식]]의 열대 합으로 표현될 수 있는 함수 <math>F\colon \R^n\to \R</math>이다. 단항식은 상수와 변수 <math>X_1,\ldots, X_n</math>의 열대 곱 또는 몫이다. 따라서 열대 다항식 ''F''는 변수가 정수 계수를 갖는 [[아핀 변환|선형 함수]]의 유한 집합의 최솟값이므로 [[오목함수|오목]], [[연속 함수|연속]] 및 [[조각별 선형 함수|조각별 선형]]이다.<ref name="SpeyerSturmfels2009">{{인용|url=https://math.berkeley.edu/~bernd/mathmag.pdf}}</ref>

: <math>
 \begin{align} F(X_1,\ldots,X_n) &= \left(C_1 \otimes X_1^{\otimes a_{11}} \otimes \cdots \otimes X_n^{\otimes a_{n1}}\right) \oplus \cdots \oplus \left(C_s \otimes X_1^{\otimes a_{1s}} \otimes \cdots \otimes X_n^{\otimes a_{ns}}\right)\\
 &= \min \{C_1+a_{11}X_1+\cdots+a_{n1}X_n,\; \ldots,\; C_s+a_{1s}X_1+\cdots+a_{ns}X_n\}. \end{align}
</math>

값매김 체 ''K''의 [[로랑 다항식|로랑 다항식 환]] <math>K[x_1^{\pm 1},\ldots ,x_n^{\pm 1}]</math>에서 다항식 ''f'' 가 주어졌을 때 ''f'' 의 '''열대화'''({{Llang|en|tropicalization}})는 덧셈과 곱셈을 열대 덧셈과 열대 곱셈으로 바꾸고 상수를 그 값매김으로 바꾸어 얻은 열대 다항식이다. ''f''의 열대화는 <math>\operatorname{Trop}(f)</math>으로 표기한다.  즉, <math>A_1,\cdots,A_s \in \Z^n</math>에 대해<math> f = \sum_{i=1}^s c_i x^{A_i} </math>의 열대화는 <math>\operatorname{Trop}(f) = \bigoplus_{i=1}^s v(c_i) \otimes X^{\otimes A_i} </math>이다.

열대 다항식 ''F'' 가 미분 불가능한 점의 집합을 '''열대 초표면'''({{Llang|en|tropical hypersurface}})이라고 한다. ''F''의 열대 초표면은 다항식의 [[대수다양체|영집합]]과 비슷하게 <math>\mathrm{V}(F)</math>으로 표기한다. 동등하게, <math>\mathrm{V}(F)</math>는 ''F'' 의 항 중 최소값이 두 번 이상 달성되는 점의 집합이다.<ref name="Maclagan"/>

=== 열대 대수학의 기본정리 ===
<math>f(x)</math>를 1변수 <math>x</math>에 대한 열대 다항식이라고 하자. 그러면 <math>f(x)</math>는 같은 열대 다항식(same tropical polynomial)일 필요가 없는 동등한 열대 다항식(equivalent tropical polynomial)으로 치환이 가능하고 동등한 열대 다항식들 중 열대 일차 다항식(tropical linear polynomial)들만으로 인수분해가 가능한 동등한 열대 다항식이 존재한다. 바꿔 말하면, 모든 열대 다항식은 동등한 열대 다항식으로 치환되고 이 동등한 열대 다항식 중 적어도 하나는 열대 일차식들의 열대 곱셈으로 표현된다. 이를 열대 대수학의 기본정리라고 한다({{Llang|en|fundamental theorem of tropical algebra}}).

==== 예시 ====
* <math>f(x) = x^{\otimes 2}\oplus 7 \otimes x\oplus 21</math>로 두자. 그러면 <math>f(x) = x^{\otimes 2}\oplus 7 \otimes x\oplus 21 = (x\oplus 7)\otimes(x\oplus 14)</math>로 인수분해된다. 즉, 2차식이 1차식 두 개로 인수분해가 가능하다.
* <math>f(x) = x^{\otimes 2}\oplus 21 \otimes x\oplus 7</math>로 두자. 이 경우에는 바로 인수분해를 할 수 없고, 동등한 열대 다항식으로 바꿔주는 작업이 필요하다. 동등한 열대 다항식으로 <math>f(x)</math>를 치환하면, <math>\hat{f}(x) = x^{\otimes 2}\oplus 21 \otimes x\oplus 7 = x^{\otimes 2} \oplus 7</math>이 된다. 그런데 신입생의 꿈(freshman's dream)은 열대 다항식에서 항상 성립하므로, <math>\hat{f}(x) = x^{\otimes 2}\oplus 21 \otimes x\oplus 7 = x^{\otimes 2} \oplus 7  = (x\oplus \frac{7}{2})^{\otimes 2}</math>가 성립한다. 이 경우는 위의 경우와 다르게 주어진 열대 다항식을 동등한 열대 다항식으로 치환하는 과정이 고려되었다.

== 열대 다양체 ==
=== 정의 ===
{{임시링크|대수 원환면|en|algebraic torus}} <math>(K^{\times})^n</math>안의 [[대수다양체]] ''X''의 경우, ''X''의 열대 다양체 또는 ''X''의 열대화는 <math>\operatorname{Trop}(X)</math>으로 표기하는 <math>\R^n</math>의 부분집합이고, 여러 가지 방법으로 정의할 수 있다. 이러한 정의의 동등성을 '''열대 기하학의 기본 정리'''({{Llang|en|fundamental theorem of tropical geometry}})라고 한다.<ref name="Maclagan"/>

==== 열대 초면의 교차점 ====
<math>K[x_1^{\pm 1},\ldots ,x_n^{\pm 1}]</math>에서 <math>\mathrm{I}(X)</math>를 ''X''에서 영이 되는 로랑 다항식의 아이디얼이라고 하자. X의 열대화는 <math>\operatorname{Trop}(X) = \bigcap_{f \in \mathrm{I}(X)} \mathrm{V}(\operatorname{Trop}(f)) \subseteq \R^n </math>으로 정의한다.

:

''X'' 가 초표면일 때, 아이디얼 <math>\mathrm{I}(X)</math>는 로랑 다항식 ''f'' 에 의해 생성된 [[주 아이디얼]]이며, 열대 다양체 <math>\operatorname{Trop}(X)</math>는 정확히 열대 초표면 <math>\mathrm{V}(\operatorname{Trop}(f))</math>이다.

모든 열대 다양체는 유한한 수의 열대 초표면의 교집합이다. 다항식의 유한 집합 <math>\{f_1,\ldots,f_r\}\subseteq \mathrm{I}(X)</math> 다음과 같은 경우 ''X'' 에 대한 '''열대 기저'''({{Llang|en|tropical basis}})라고 한다. <math>\operatorname{Trop}(X)</math> 열대 초표면의 교차점이다. <math>\operatorname{Trop}(f_1),\cdots,\operatorname{Trop}(f_r)</math> . 일반적으로 <math>\mathrm{I}(X)</math>의 생성 집합은 열대 기저를 형성하기에 충분하지 않다. 유한한 수의 열대 초표면의 교차점을 열대 전다양체 이라고 하며 일반적으로 열대 다양체가 아니다.<ref name="Maclagan">{{서적 인용|제목=Introduction to Tropical Geometry|성=Maclagan|이름=Diane|저자링크=Diane Maclagan|성2=Sturmfels|이름2=Bernd|저자링크2=Bernd Sturmfels|연도=2015|출판사=[[American Mathematical Society]]|isbn=9780821851982}}</ref>

==== 값매김 사상의 상 ====
''X'' 가 <math>\R</math>에서의 상이 조밀한 값매김 ''v'' 를 갖는 체 ''K'' 에 대한 다양체라고 하자.  (예: 퓌죄 급수의 체). 좌표에 따라 ''v''는 대수 원환면 <math>(K^{\times})^n</math>에서 <math>\R^n</math>으로의 사상을 정의한다. 열대화는 다음과 같이 정의된다.

: <math>\operatorname{Trop}(X) = \overline{\{(v(x_1),\ldots,v(x_n)) : (x_1,\ldots,x_n) \in X \}}, </math>

여기서 위 직선은 유클리드 위상의 [[폐포 (수학)|폐포]]를 나타낸다. ''K'' 의 값매김이 <math>\R</math>에서 조밀하지 않은 경우, 위의 정의는 조밀한 값매김이 있는 더 큰 체로 스칼라를 확장하여 적용할 수 있다.

이 정의는 <math>\operatorname{Trop}(X)</math>가 [[대수적으로 닫힌 체|대수적으로 닫힌]] [[아르키메데스 성질|비아르키메데스 체]] ''K'' 에 대한 비아르키메데스 {{임시링크|아메바 (수학)|en|amoeba (mathematics)|label=아메바}}임을 보여준다.<ref>{{서적 인용|제목=Different faces of geometry|성=Mikhalkin|이름=Grigory|연도=2004|편집자-성=Donaldson|편집자-이름=Simon|편집자-링크=Simon Donaldson|편집자2-성=Eliashberg|편집자2-이름=Yakov|편집자2-링크=Yakov Eliashberg|총서=International Mathematical Series|권=3|출판사=Kluwer Academic/Plenum Publishers|위치=New York, NY|쪽=257–300|장=Amoebas of algebraic varieties and tropical geometry|isbn=978-0-306-48657-9|zbl=1072.14013|편집자3-성=Gromov|편집자3-이름=Mikhael|편집자3-링크=Mikhail Leonidovich Gromov}}</ref>

''X'' 가 <math>\Complex</math> 위의 다양체인 경우, <math>\operatorname{Trop}(X)</math>는 로그의 밑 ''t'' 가 무한대로 갈 때의 아메바 <math>\operatorname{Log}_t(X)</math>의 극한 대상으로 간주 될 수 있다.<ref>{{인용|postscript=Eric Katz|url=https://www.ams.org/publications/journals/notices/201704/rnoti-p380.pdf}}</ref>

=== 열대 곡선 ===
1차원 열대 다양체인 '''열대 곡선'''({{Llang|en|tropical curve}})에 대한 연구는 특히 잘 발달되어 있으며 [[그래프 이론]]과 밀접한 관련이 있다. 예를 들어, 열대 곡선의 {{임시링크|제수 (대수 기하학)|label=제수|en|Divisor (algebraic geometry)}} 이론은 열대 곡선과 관련된 그래프의 {{임시링크|칩 발사 게임|en|chip-firing game}}과 관련이 있다.<ref>{{저널 인용|제목=Rank of divisors on tropical curves|저널=[[Journal of Combinatorial Theory|Journal of Combinatorial Theory, Series A]]|성=Hladký|이름=Jan|성2=Králʼ|이름2=Daniel|날짜=2013-09-01|권=120|호=7|쪽=1521–1538|언어=en|arxiv=0709.4485|doi=10.1016/j.jcta.2013.05.002|issn=0097-3165|성3=Norine|이름3=Serguei}}</ref>

다음 결과를 포함하여, 대수 기하학의 많은 고전적 정리에는 열대 기하학에 대응하는 항목이 있다.

* [[파푸스의 육각형 정리]]<ref>{{저널 인용|제목=Tropical constructive Pappus' theorem|저널=[[International Mathematics Research Notices]]|성=Tabera|이름=Luis Felipe|날짜=2005-01-01|권=2005|호=39|쪽=2373–2389|언어=en|arxiv=math/0409126|doi=10.1155/IMRN.2005.2373|issn=1073-7928}}</ref>
* [[베주 정리]]
* [[도 속 공식|종수-차수 공식]]
* [[리만-로흐 정리]]<ref>{{저널 인용|제목=A Riemann–Roch theorem in tropical geometry|저널=[[Mathematische Zeitschrift]]|성=Kerber|이름=Michael|성2=Gathmann|이름2=Andreas|날짜=2008-05-01|권=259|호=1|쪽=217–230|언어=en|arxiv=math/0612129|doi=10.1007/s00209-007-0222-4|issn=1432-1823}}</ref>
* [[타원곡선|타원곡선의 군]]<ref>{{서적 인용|제목=Algebraic and combinatorial aspects of tropical geometry. Proceedings based on the CIEM workshop on tropical geometry, International Centre for Mathematical Meetings (CIEM), Castro Urdiales, Spain, December 12–16, 2011|성=Chan|이름=Melody|저자링크=Melody Chan|성2=Sturmfels|이름2=Bernd|저자링크2=Bernd Sturmfels|연도=2013|편집자-성=Brugallé|편집자-이름=Erwan|총서=Contemporary Mathematics|권=589|출판사=[[American Mathematical Society]]|위치=Providence, RI|쪽=87–107|장=Elliptic curves in honeycomb form|arxiv=1203.2356|bibcode=2012arXiv1203.2356C|isbn=978-0-8218-9146-9|zbl=1312.14142}}</ref>

== 최초형식 ==
=== 값매김 사상과 국소환 ===
체 <math>K</math>가 있고 이 체 위에 값매김 사상 <math>\text{val}</math>이 주어져 있다고 하자. 그리고 다음 집합을 생각하자.

: <math>R = \{a\in K: \text{val}(a)\geq 0\}</math>

이 집합 <math>R</math>는 환 구조를 가진다. 그리고 이 환 <math>R</math>은 [[국소환|국소환]]({{Llang|en|local ring}})이다. 즉, [[극대 아이디얼|극대 아이디얼]]({{Llang|en|maximal ideal}})을 단 하나 가지고, 그 극대 아이디얼은

: <math>\mathfrak{m} =\{a\in K: \text{val}(a)> 0\}</math>

로 주어진다. 이제 [[잉여류체|잉여류체]]({{Llang|en|residue field}}) <math>\mathbb{k}:=R/\mathfrak{m}</math>을 생각한다. 그러면 체 <math>K</math>에서 <math>\mathbb{k}</math>로 가는 자연스러운 사상을 생각할 수 있고, 이 사상에 의한 원소 <math>a</math>의 이미지를 <math>\overline{a}</math>로 표기한다.

=== 값매김 사상의 분리 ===
<math>K</math>가 값매김 사상이 주어진 체라고 하고 대수적으로 닫혀있다고 하자. 또한 값매김 사상 <math>\text{val}:K^{\ast}\to\Gamma_{\text{val}}</math>이 전사가 되도록 하는 <math>\Gamma_{\text{val}}</math>를 정의하자. 즉, <math>\Gamma_{\text{val}}</math>는 가역원소들의 값매김 사상에 의한 치역이다. 이 때 <math>\Gamma_{\text{val}}</math>가 [[아벨 군|아벨 군]]이 됨을 기억하자. 그러면 가역 원소들에 의한 값매김 사상 <math>\text{val}:K^{\ast}</math>는 쪼개진다({{Llang|en|split}}). 즉, [[준동형사상|준동형사상]]({{Llang|en|homomorphism}}) <math>\psi:(\Gamma_{\text{val}},+)\to(K^{\ast},\cdot)</math>가 존재하여 <math>\text{val}(\psi(w))=w</math>가 모든 <math>w\in\Gamma_{\text{val}}</math>에 대해 성립한다. 이러한 사상 <math>\psi:(\Gamma_{\text{val}},+)\to(K^{\ast},\cdot)</math>에 의한 원소 <math>w</math>의 이미지를 <math>t^w</math>로 쓴다.

=== 최초형식 ===
<math>f=\bigoplus_{u\in\mathbb{N}^{n+1}}c_ux^u</math>가 다항식이라고 하자. 그리고 $<math>f</math>의 열대화를 <math>\operatorname{Trop}(f)=\min\{=\text{val}(c_u)+w\cdot u:u\in\mathbb{N}^{n+1}\text{ and }c_u\neq0\}</math>로 정의하자. 또한 무게 벡터({{Llang|en|weight vector}}) <math>w\in\mathbb{R}^{n+1}</math>를 고정하고 <math>W=\operatorname{Trop}(f)(w)</math>라는 상수를 정의하자. 그러면 <math>w</math>에 대한 <math>f</math>의 최초 형식({{Llang|en|initial form}})은

: <math>\operatorname{in}_w(f) = \sum_{u\in\mathbb{N}^{n+1},\text{val}(c_u)+w\cdot u=W}\overline{c_ut^{-\text{val}(c_u)}x^u}\in\mathbb{k}[x_0,\cdots,x_n]</math>

으로 정의된다.

== 열대 기하학의 기본정리 ==
=== 카프라노브 정리 ===
[[Mikhail Kapranov|카프라노브]] 정리는 다음처럼 주어진다:

<math>K</math>를 대수적으로 닫힌 체라고 하고 비자명한 값매김 사상이 주어져있다고 하자. 로랑 다항식 <math>f=\bigoplus_{u\in\mathbb{Z}^{n+1}}c_ux^u</math>를 고정하자. 그러면 다음 세 대상들은 동일하다:

* <math>\mathbb{R}^n</math>에서의 열대 초곡면 <math>\operatorname{Trop}(V(f))</math>
* <math>\{w\in\mathbb{R}^n:\text{in}_w(f)\text{ is not a monomial}\}</math>
* <math>\mathbb{R}^n</math>에서 <math>\{(\text{val}(y_1), \cdots, \text{val}(y_1)):(y_1, \cdots, y_n)\in V(f)\}</math>의 [[폐포 (수학)|폐포]]


== 열대 기하학에서의 리만-로흐 정리 ==
=== 열대 기하학에서의 인자 ===
열대 기하학에서도 [[리만-로흐 정리|리만-로흐 정리]]({{Llang|en|Riemann-Roch Theorem}})가 성립한다. 열대 기하학에서 [[인자 (대수기하학)|인자]]({{Llang|en|Divisor}})는 대수기하학에서의 인자와 동일한 방법으로 정의된다. 열대 곡선 <math>\Gamma</math>가 있다고 하자. 이 열대 곡선 <math>\Gamma</math>위의 인자는 <math>\Gamma</math>의 점들이 이루는 [[자유 아벨 군|자유 아벨 군]]이다. <math>\Gamma</math>위의 모든 인자들의 모임을 <math>\text{Div}(\Gamma)</math>로 쓴다. 인자 <math>D</math>의 차수({{Llang|en|degree}})는 <math>D=\sum_ia_iP_i</math>인 경우에 <math>\text{deg}(D)=\sum_ia_i</math>로 정의된다. 따라서 명백히 차수 함수 <math>\text{deg}</math>는 군 준동형사상을 이룬다.

== 응용 ==
2007년 금융위기 당시 [[잉글랜드 은행]]이 사용한 [[폴 클렘페러|폴 클렘퍼러]]의 [[경매]] 디자인에 열대 직선이 사용되었다.<ref>{{웹 인용|url=https://www.economics.ox.ac.uk/news/how-geometry-came-to-the-rescue-during-th|제목=How geometry came to the rescue during the banking crisis|웹사이트=Department of Economics, University of Oxford|확인날짜=24 March 2014|archive-date=2018-11-24|archive-url=https://web.archive.org/web/20181124105825/https://www.economics.ox.ac.uk/news/how-geometry-came-to-the-rescue-during-th|url-status=}}</ref> 시오자와 요시노리는 (최소-덧셈 또는 최대-덧셈 대신) 최소-곱셈 또는 최대-곱셈을 사용한 아열대 대수({{Llang|en|subtropical algebra}})를 정의하였다. 그는 리카디안 무역 이론(투입 무역이 없는 국제 무역)이 아열대 볼록 대수로 해석될 수 있음을 발견했다.<ref>{{저널 인용|제목=International trade theory and exotic algebras|저널=Evolutionary and Institutional Economics Review|성=Shiozawa|이름=Yoshinori|url=https://www.researchgate.net/publication/280646264|연도=2015|권=12|쪽=177–212|doi=10.1007/s40844-015-0012-3}} This is a digest of Y. Shiozawa, "[https://www.researchgate.net/publication/236020268 Subtropical Convex Geometry as the Ricardian Theory of International Trade]" draft paper.</ref> 열대 기하학은 또한 [[ReLU|ReLU 활성화]]로 피드포워드 신경망의 복잡성을 분석하는 데 사용되었다<ref>{{저널 인용|제목=Tropical Geometry of Deep Neural Networks|저널=Proceedings of the 35 th International Conference on Machine Learning|성=Zhang|이름=Liwen|url=https://arxiv.org/abs/1805.07091|연도=2018|doi=10.48550/arXiv.1805.07091}}</ref>. 

또한 작업 일정, 위치 분석, 운송 네트워크, 의사 결정 및 이산 사건 역학계에서 발생하는 여러 최적화 문제를 열대 기하학의 체계에서 공식화하고 해결할 수 있다.<ref>{{서적 인용|제목=Advances in Economics and Optimization: Collected Scientific Studies Dedicated to the Memory of L. V. Kantorovich|성=Krivulin|이름=Nikolai|연도=2014|편집자-성=Leon A. Petrosyan|편집자2-성=David W. K. Yeung|출판사=Nova Science Publishers|위치=New York|쪽=195–214|장=Tropical optimization problems|arxiv=1408.0313|isbn=978-1-63117-073-7|편집자3-성=Joseph V. Romanovsky}}</ref> [[아벨-야코비 지도|아벨-야코비 사상]]의 열대 대응물은 수정 디자인에 적용될 수 있다.<ref>{{서적 인용|제목=Topological Crystallography: With a View Towards Discrete Geometric Analysis|성=Sunada|이름=T.|저자링크=Toshikazu Sunada|연도=2012|총서=Surveys and Tutorials in the Applied Mathematical Sciences|권=6|출판사=Springer Japan|isbn=9784431541769}}</ref> 가중 유한 상태 변환기의 가중치는 열대 반환이 되어야 하는 경우가 많다. 열대 기하학은 자체 조직화된 임계 값을 나타낼 수 있다.<ref>{{저널 인용|제목=Self-organized criticality and pattern emergence through the lens of tropical geometry|저널=[[Proceedings of the National Academy of Sciences of the United States of America]]|성=Kalinin|이름=N.|성2=Guzmán-Sáenz|이름2=A.|날짜=2018-08-15|권=115|호=35|쪽=E8135–E8142|언어=en|arxiv=1806.09153|bibcode=2018arXiv180609153K|doi=10.1073/pnas.1805847115|issn=0027-8424|pmc=6126730|pmid=30111541|성3=Prieto|이름3=Y.|성4=Shkolnikov|이름4=M.|성5=Kalinina|이름5=V.|성6=Lupercio|이름6=E.}}</ref>

== 같이 보기 ==
* [[열대성 분석|열대 해석학]]
* [[열대성 압축|열대 콤팩트화]]

== 각주 ==
{{각주}}

== 추가 자료 ==
* {{서적 인용|title=Tropical and non-Archimedean geometry. Bellairs workshop in number theory, tropical and non-Archimedean geometry, Bellairs Research Institute, Holetown, Barbados, USA, May 6–13, 2011|year=2013|editor1-last=Amini|editor1-first=Omid|editor2-last=Baker|editor2-first=Matthew|series=Contemporary Mathematics|volume=605 <!-- | subseries=Centre de Recherches Mathématiques Proceedings -->|publisher=[[American Mathematical Society]]|location=Providence, RI|isbn=978-1-4704-1021-6|zbl=1281.14002|editor3-last=Faber|editor3-first=Xander}}
* [https://web.archive.org/web/20220116040726/https://www.math.utah.edu/~yplee/teaching/7800f15/Gross_Kansas_cropped.pdf 열대 기하학과 거울 대칭]

== 외부 링크 ==
* [https://archive.org/movies/details-db.php?id=4603 열대기하학, I]

[[분류:열대 기하학| ]]