열거 기하학 문서 원본 보기

{{위키데이터 속성 추적}}
[[수학]]에서 '''열거 기하학'''({{llang|en|Enumerative geometry}})은 주로 교차 기하학을 통해 기하학적 질문에 대한 해의 수를 세는 것과 관련된 [[대수기하학]]의 한 분야이다.

[[아폴로니오스의 문제]]는 열거 기하학의 가장 초기 사례 중 하나이다. 이 문제는 세 개의 주어진 원, 점 또는 선에 접하는 원의 수와 구조를 묻는다. 일반적으로 주어진 3개의 원에 대한 문제에는 8개의 해가 있으며 이는 2<sup>3</sup>으로 볼 수 있으며 각 접선 조건은 원의 공간에 2차 조건을 부과한다. 그러나 주어진 원의 특별한 배열을 위해 해의 수는 0(해 없음)에서 6까지의 정수일 수도 있다. 아폴로니우스의 문제에 대한 7가지 해결책이 있는 배열은 없다.

== 주요 방법 ==
다음과 같은 다양한 방법이 있다.

* [[여차원|차원 계산]]
* [[베주 정리]]
* 슈베르트 미적분학, 그리고 보다 일반적으로 [[코호몰로지]] [[특성류]]
* 코호몰로지와 교차점 셈의 연결은 [[푸앵카레 쌍대성]]이다.
* 때때로 [[양자 코호몰로지]] 이론을 통해 곡선, 사상 및 기타 기하학적 대상의 [[모듈라이 공간]]에 대한 연구. [[양자 코호몰로지]], [[그로모프-위튼 불변량|그로모프–위튼 불변량]] 및 [[거울 대칭]]에 대한 연구는 클레멘스 추측에서 상당한 진전을 가져왔다.

열거 기하학은 교차 이론과 매우 밀접하게 연결되어 있다.

== 슈베르트 미적분 ==
열거 기하학은 헤르만 슈베르트의 손에 의해 19세기 말에 눈부신 발전을 보였다.<ref>{{서적 인용|제목=Kalkül der abzählenden Geometrie|url=https://archive.org/details/kalkulderabza00schurich|성=Schubert|이름=H.|연도=1879|출판날짜=1979}}</ref> 그는 슈베르트 미적분학을 도입했는데, 더 넓은 영역에서 근본적인 기하학적 및 [[위상수학|위상학적]] 가치를 입증했다. 열거 기하학의 특정 요구 사항은 1960년대와 1970년대에 약간의 추가적 관심이 주어일 때까지 해결되지 않았다(예를 들어 Steven Kleiman 이 지적한 대로). [[교차수]]는 엄격하게 정의되었지만([[앙드레 베유]]가 1942 &#x2013; 6년 그의 기초 프로그램의 일부로, 그리고 그 이후에 다시) 이것은 열거 질문의 적절한 영역을 소진하지 못했다.

== 얼버무림 인자와 힐베르트의 15번째 문제 ==
차원 계산과 베주의 정리를 순진하게 적용하면 다음 예와 같이 잘못된 결과가 나타넌다. 이러한 문제에 대응하여 대수 기하학자는 모호한 "[[퍼지 요인|얼버무림 인자]]"를 도입했으며, 이는 수십 년 후에야 엄격하게 정당화되었다.

예를 들어, [[사영 평면]]에서 5개의 주어진 선에 접하는 [[원뿔 곡선|원뿔 단면]]을 계산한다.<ref>{{서적 인용|제목=Intersection Theory|url=https://archive.org/details/intersectiontheo0000fult|성=Fulton|이름=William|저자링크=William Fulton (mathematician)|연도=1984|장=10.4|isbn=0-387-12176-5}}</ref> 원뿔은 5차원의 [[사영 공간]]을 구성하고 6개의 계수를 [[동차좌표]]로 사용하며 5개의 점이 원뿔을 결정한다. 점이 일반적으로 선형 위치에 있는 경우 주어진 점을 통과하면 선형 조건이 부과되므로 원뿔이 결정된다. 마찬가지로, 주어진 선 ''L''에 대한 접선(접선은 중복도 2인 교점)은 하나의 2차 조건이므로 ''P'' <sup>5</sup> 에서 [[이차 초곡면]]으로 결정된다. 그러나 그러한 모든 이차방정식으로 구성된 약수의 선형족은 기저 자취가 없는 것이 아니다. 사실 각각의 이러한 이차 초곡면은 원뿔형을 매개변수화하는 [[베로네세 매장|베로네세 표면]]을 포함한다.

: (''aX'' + ''bY'' + ''cZ'' )<sup>2</sup> = 0

이를 '이중 직선'이라고 한다. 이것은 이중 직선이 평면의 모든 직선과 교차하기 때문이다. 사영 평면의 직선이 교차하기 때문에 다중도 2는 두 배가 되므로 교차 조건(다중도 2의 교차)에 직선에 접하는 비축퇴 ''원추형'' 과 동일한 교차 조건(다중도 2의 교차)을 만족한다.

일반 [[베주 정리]]는 5-공간에서 5개의 일반 2차가 32 = 2 <sup>5</sup>개의 점에서 교차할 것이라고 말한다. 그러나 여기서 관련된 이차는 일반적인 위치에 있지 않다. 32에서 31을 빼서 베로네세에 귀속시켜야 정답(기하학적 관점에서), 즉 1을 남길 수 있다. 교차를 '퇴화' 사례에 귀속시키는 이 과정은'[[wiktionary:fudge factor|얼버무림 인자]]'의 전형적인 기하학적 도입이다.

[[힐베르트의 열다섯 번째 문제|힐베르트의 15번째 문제]]는 이러한 개입의 자의적인 특성을 극복하는 것이었다. 이 측면은 슈베르트 미적분 자체의 근본적인 질문을 넘어선 것이다.

== 클레멘스 추측 ==
1984년에 클레멘스는 5차 삼중체 <math>X\subset P^4</math>에서 [[대수 곡선|유리 곡선]]의 수를 세는 방법을 연구했다. 그리고 다음과 같은 추측에 도달했다.

: 허락하다 <math>X \subset P^4</math> 일반 5차 삼중이어야 한다. <math>d</math> 양의 정수이면 <math>X</math>에 차수 <math>d</math>인 유한한 수의 유리 곡선만 있다.

이 추측은 <math>d \le 9</math>에서 해결되었다. 그러나 여전히 더 높은 차원에서는 미해결이다.

1991년에 <math>P^4</math> 안의 5중 삼중체의 거울 대칭에 관한 논문<ref>{{저널 인용|제목=A pair of Calabi-Yau manifolds as an exactly soluble superconformal field theory|저널=Nuclear Physics B|성=Candelas|이름=Philip|저자링크=Philip Candelas|성2=de la Ossa|이름2=Xenia|날짜=1991|권=359|호=1|쪽=21–74|doi=10.1016/0550-3213(91)90292-6|성3=Green|이름3=Paul|성4=Parks|이름4=Linda}}</ref>은 이론적 관점에서 모든 <math>d > 0</math>에 대해 <math>X</math> 안의 차수 d인 유리 곡선의 수를 제공한다. 이전에는 대수 기하학자들이 <math>d \le 5</math>에서 이들을 계산할 수 있었다.

== 예 ==
대수 기하학에서 역사적으로 중요한 열거의 예는 다음과 같다.

* 2: 공간에서 4개의 일반선과 만나는 선의 수
* 8: 3개의 일반적인 원에 접하는 원의 수([[아폴로니오스의 문제|아폴로니우스의 문제]]).
* 27: 매끄러운 입방체 표면의 선 수([[조지 살몬|살몬]] 및 [[아서 케일리|케일리]])
* 2875: 일반 5차 삼중 의 줄 수
* 3264: 일반 위치에서 5개의 평면 원뿔에 접하는 원뿔 의 수([[미셸 샬]])
* 609250: 일반 5차 삼중체 원뿔의 수
* 4407296: 일반 4차 곡면 8개에 접하는 원뿔의 수 {{하버드 인용 본문|Fulton|1984|loc=p. 193}}
* 666841088: 3공간에서 일반적인 위치에서 9개의 주어진 4차 곡면에 접하는 2차 곡면의 수 {{하버드 인용|Schubert|1879}}   {{하버드 인용|Fulton|1984}}
* 5819539783680: 3공간에서 일반적인 위치에 있는 12개의 4차 곡면에 접하는 꼬인 3차 곡선의 수 {{하버드 인용|Schubert|1879}}  (S. 클라이만, SA 스트롬메 & S. 잠보 1987년

== 각주 ==
{{각주}}
* {{인용|mr=0908713|last=Kleiman|first=S.|last2=Strømme|first2=S. A.|last3=Xambó|first3=S.|chapter=Sketch of a verification of Schubert's number 5819539783680 of twisted cubics|title=Space curves (Rocca di Papa, 1985)|pages=156–180|series=Lecture Notes in Math.|volume=1266|publisher=Springer|place=Berlin|year=1987|doi=10.1007/BFb0078183|isbn=978-3-540-18020-3}}
* {{인용|mr=0555576|last=Schubert|first=Hermann|title=Kalkül der abzählenden Geometrie|language=de|series=Reprint of the 1879 original|editor-first=Steven L.|editor-last=Kleiman|publisher=Springer-Verlag|place=Berlin-New York|year=1979|isbn=3-540-09233-1|orig-year=1879|url=https://archive.org/details/kalklderabzh00schuuoft}}

== 외부 링크 ==
* {{저널 인용|제목=Enumerative Algebraic Geometry of Conics|저널=Amer. Math. Monthly|성=Bashelor, Andrew|성2=Ksir, Amy|url=http://www.maa.org/programs/maa-awards/writing-awards/enumerative-algebraic-geometry-of-conics|연도=2008|권=115|호=8|쪽=701–7|doi=10.1080/00029890.2008.11920584|jstor=27642583|성3=Traves, Will|access-date=2023-07-06|archive-date=2023-12-01|archive-url=https://web.archive.org/web/20231201062154/https://maa.org/programs/maa-awards/writing-awards/enumerative-algebraic-geometry-of-conics|url-status=}}

[[분류:대수기하학]]