연접층 문서 원본 보기

{{위키데이터 속성 추적}}
[[대수기하학]]과 [[복소기하학]]에서 '''연접 가군층'''(連接加群層, {{llang|en|coherent sheaf of modules}}, {{llang|fr|faisceau de modules cohérent}}) 또는 단순히 '''연접층'''(連接層)은 유한 계수 [[벡터 다발]](국소 자유층)의 [[핵 (수학)|핵]] · [[여핵]]으로 구성할 수 있는 [[가군층]]이다. 연접 가군층은 벡터 다발과 마찬가지로 공간의 기하학적 성질과 밀접하게 연관된 좋은 성질을 가지며, [[카르탕 정리]]나 [[가가 정리]] 등 대수기하학과 복소해석기하학에서의 여러 정리가 성립한다.

벡터 다발은 [[수학]]의 여러 분야에서 아주 중요한 개념이다. 대수기하학에서 [[세르-스완 정리]]에 따라 (유한 차원) "벡터 다발"은 (유한 계수) [[국소 자유 가군층]]에 대응한다. 그러나 주어진 [[위상 공간 (수학)|위상 공간]] <math>X</math> 위에 주어진 벡터 다발과 선형 [[다발 사상]]의 [[범주 (수학)|범주]] <math>\operatorname{Vect}(X)</math>는 [[아벨 범주]]를 이루지 않는다. 구체적으로, 벡터 다발의 [[핵 (수학)|핵]]과 [[여핵]]은 항상 [[층 (수학)|층]]으로서 존재하지만 벡터 다발을 이루지 않을 수 있다. 예를 들어, <math>E</math>가 <math>X</math> 위의 <math>n</math>차원 실수 벡터 다발이고, <math>f\colon X\to\mathbb R</math>가 [[연속 함수]]라고 하자. 그렇다면 <math>f^*\colon E\to E</math>, <math>f^*\colon v\in E_x\mapsto f(x)v\in E_x</math>는 선형 다발 사상이다. 만약 <math>f</math>가 어느 곳에서도 0이 아니라면, 핵 <math>\ker f^*</math>는 0차원의 자명한 벡터 다발이고, 공핵 <math>\operatorname{coker}f^*\cong E</math> 또한 <math>n</math>차원 벡터 다발이다. 그러나 <math>f</math>가 <math>x\in X</math>에서 0이라면, 이 점에서 <math>f^*</math>의 핵 <math>\ker f^*</math>는 0차원이 아니라 <math>n</math>차원이며, 반대로 <math>\operatorname{coker}f^*</math>는 0차원이다. 벡터 다발의 모든 올들은 차원이 같아야 하므로, 이 경우 <math>f^*</math>의 핵과 여핵은 <math>X</math> 벡터 다발을 이루지 않는다.

이 경우, <math>\ker f^*</math>는 부분 공간 <math>f^{-1}(0)\subset X</math> 위에만 존재하는 "벡터 다발"이며, <math>\operatorname{coker}f^*</math>는 부분 공간 <math>f^{-1}(\mathbb R\setminus\{0\})\subset X</math> 위에만 존재하는 "벡터 다발"이다. 이와 같이 "부분 공간 위의 벡터 다발"을 허용하여 유한 차원 벡터 다발의 범주를 더 확장시켜 얻는 [[아벨 범주]]를 생각해 볼 수 있다. 이러한 아벨 범주는 존재하며, 그 원소를 '''연접 가군층'''이라고 한다.

== 정의 ==
=== 연접 가군층 ===
[[환 (수학)|환]] <math>R</math> 위의 [[왼쪽 가군]] <math>_RM</math>이 다음 조건을 만족시킨다면, '''연접 왼쪽 가군'''(連接-加群, {{llang|en|coherent left module}})이라고 한다.<ref name="Lam"/>{{rp|140, Definition 4.51}}
* [[유한 생성 왼쪽 가군]]이다.
* 임의의 <math>R</math>-[[부분 가군]] <math>N\subseteq M</math>에 대하여, 만약 <math>N</math>이 [[유한 생성 왼쪽 가군]]이라면, [[유한 표시 왼쪽 가군]]이다. (즉, 임의의 <math>R</math>-[[가군 준동형]] <math>R^n\to M</math>의 [[핵 (수학)|핵]]은 [[유한 생성 왼쪽 가군]]이다.)
마찬가지로 '''연접 오른쪽 가군'''(連接-加群, {{llang|en|coherent right module}})의 개념을 정의할 수 있다.

연접 가군의 개념을 국소화하면, '''연접 가군층'''의 개념을 얻는다. 즉, [[국소환 달린 공간]] <math>(X,\mathcal O_X)</math> 위에서, 다음 조건들을 만족시키는 <math>\mathcal O_X</math>-[[가군층]] <math>\mathcal F</math>를 '''연접 가군층'''이라고 한다.<ref name="FAC">{{저널 인용|first=Jean-Pierre|last=Serre|authorlink=장피에르 세르|title=Faisceaux algébriques cohérents|언어=fr|jstor=1969915|pages=197–278|journal=Annals of Mathematics|volume=61|날짜=1955|doi=10.2307/1969915|issue=2|issn=0003-486X|mr=0068874|url=http://www1.mat.uniroma1.it/people/arbarello/FAC.pdf|access-date=2013-08-06|archive-date=2016-04-18|archive-url=https://web.archive.org/web/20160418101828/http://www1.mat.uniroma1.it/people/arbarello/FAC.pdf|url-status=}}</ref>{{rp|208, Définition §2.2}}<ref name="ÉGA1">{{저널 인용
 |last         = Grothendieck
 |first        = Alexandre
 |저자링크 = 알렉산더 그로텐디크
 |last2        = Dieudonné
 |first2       = Jean
 |author2-link = 장 디외도네
 |year         = 1960
 |title        = Éléments de géométrie algébrique: I. Le langage des schémas
 |journal      = Publications Mathématiques de l’IHÉS
 |issn         = 0073-8301
 |volume       = 4
 |mr           = 0217083
 |url          = http://www.numdam.org/numdam-bin/feuilleter?id=PMIHES_1960__4_
 |doi          = 10.1007/bf02684778
 |언어       = fr
 |access-date  = 2015-08-10
 |archive-date = 2016-03-06
 |archive-url  = https://web.archive.org/web/20160306015028/http://numdam.org/numdam-bin/feuilleter?id=pmihes_1960__4_
 |url-status   = dead
}}</ref>{{rp|47, (5.3.1)}}
* <math>\mathcal O_X</math>-[[유한 생성 가군층]]이다.
* 임의의 [[열린집합]] <math>U</math>, 임의의 자연수 <math>n\in\mathbb N</math> 및 임의의 <math>\mathcal O_X</math>-[[가군층]] 사상 <math>\phi\colon\mathcal O_X^n|_U\to\mathcal F|_U</math>에 대하여, (층으로서의) [[핵 (범주론)|핵]] <math>\ker\phi</math> 또한 <math>\mathcal O_X|_U</math>-[[유한 생성 가군층]]이다.

위 정의는 [[장피에르 세르]]나 [[알렉산더 그로텐디크]]가 사용하는 정의다. [[로빈 하츠혼]]이 사용하는 정의<ref name="Hartshorne">{{서적 인용 | 이름=Robin|성=Hartshorne| 날짜 = 1977|제목=Algebraic geometry|저자링크=로빈 하츠혼|출판사=Springer-Verlag| isbn =  978-0-387-90244-9|mr=0463157 | zbl = 0367.14001 | 언어=en|doi=10.1007/978-1-4757-3849-0|총서=Graduate Texts in Mathematics|권=52|issn=0072-5285}}</ref>{{rp|111}}는 조금 다르지만, [[뇌터 스킴]]의 경우에는 위 정의와 동치이다.

=== 연접환과 연접 공간 ===
[[환 (수학)|환]] <math>R</math>에 대하여 다음 조건들이 서로 [[동치]]이며, 이를 만족시키는 환을 '''왼쪽 연접환'''(-連接環, {{llang|en|left-coherent ring}})이라고 한다.
* <math>_RR</math>는 연접 왼쪽 가군이다.<ref name="Lam"/>{{rp|138, Definition 4.45}} 즉, 모든 [[유한 생성 가군|유한 생성]] [[왼쪽 아이디얼]]은 [[유한 표시 왼쪽 가군]]이다.
* <math>R</math> 위의 (유한 또는 무한 개의) [[평탄 오른쪽 가군]]들의 [[직접곱]]은 [[평탄 오른쪽 가군]]이다.<ref name="Lam"/>{{rp|139, Theorem 4.47}}<ref>{{저널 인용|제목=Direct products of modules|이름=Stephen U.|성=Chase|doi=10.1090/S0002-9947-1960-0120260-3|저널=Transactions of the American Mathematical Society|권=97|날짜=1960-12|쪽=457–473|issn=0002-9947|언어=en}}</ref>{{rp|460, Theorem 2.1}} (※[[왼쪽 가군]]이 아닌 것에 주의)
* 임의의 [[기수 (수학)|기수]] <math>\kappa</math>에 대하여, [[직접곱]] <math>(R^\kappa)_R</math>은 [[평탄 오른쪽 가군]]이다.<ref name="Lam"/>{{rp|139, Theorem 4.47}} (※[[왼쪽 가군]]이 아닌 것에 주의)
* <math>R</math> 위의 모든 [[유한 표시 왼쪽 가군]]이 연접 왼쪽 가군이다.<ref name="Lam">{{서적 인용 | last=Lam | first=Tsit-Yuen | 저자링크=람짓윈 | title=Lectures on modules and rings | publisher=Springer-Verlag | series=Graduate Texts in Mathematics | 권= 189 | isbn=978-0-387-98428-5 |mr=1653294 | year=1999 | doi=10.1007/978-1-4612-0525-8|언어=en}}</ref>{{rp|140, Corollary 4.52}}
* 임의의 <math>r\in R</math> 및 [[유한 생성 가군|유한 생성]] [[왼쪽 아이디얼]] <math>_R\mathfrak A</math>에 대하여, <math>r^{-1}\mathfrak A=\{s\in R\colon rs\in\mathfrak A\}</math>는 [[유한 생성 가군|유한 생성]] [[왼쪽 아이디얼]]이다.<ref name="Lam"/>{{rp|142, Corollary 4.60(2)}}
* 임의의 <math>r\in R</math>에 대하여 <math>\operatorname{Ann}(_Rr)</math>는 [[유한 생성 가군|유한 생성]] [[왼쪽 아이디얼]]이며, 임의의 두 [[유한 생성 가군|유한 생성]] [[왼쪽 아이디얼]]의 [[교집합]]은 [[유한 생성 가군|유한 생성]] [[왼쪽 아이디얼]]이다.<ref name="Lam"/>{{rp|142, Corollary 4.60(3)}}
'''오른쪽 연접환'''(-連接環, {{llang|en|right-coherent ring}})도 마찬가지로 정의된다. 물론, [[가환환]]의 경우 왼쪽·오른쪽을 구별할 필요가 없다.

보다 일반적으로, [[국소환 달린 공간]] <math>(X,\mathcal O_X)</math>에서, 만약 <math>\mathcal O_X</math>가 (스스로 위의 [[가군층]]으로서) 연접 가군층이라면, <math>(X,\mathcal O_X)</math>를 '''연접 공간'''(連接空間, {{llang|en|coherent space}})이라고 한다.

=== 스킴의 경우 ===
<math>X</math>가 스킴이면 위의 일반적인 정의는 보다 명시적인 정의와 동일하다. <math>\mathcal O_X</math>-가군 층 <math>\mathcal F</math>이 '''준연접층'''임과 각각의 열린 [[환의 스펙트럼|아핀 부분 스킴]] <math>U=\operatorname{Spec} A</math> 위에서 제한  <math>\mathcal F|_U</math>이 <math>A</math> 위에 가군 <math>M=\Gamma(U, \mathcal F)</math>과 [[가군층|관련된]] 층 <math>\tilde{M}</math>과 동형임이 동치이다.. <math>X</math>이 국소적 뇌터 스킴이면, <math>\mathcal F</math>가 '''연접층'''임과 <math>\mathcal F</math>가 준연접층이고 위의 가군 <math>M</math>을 [[유한 생성 가군|유한 생성]]으로 볼 수 있음이 동치이다.

아핀 스킴 <math>U = \operatorname{Spec} A</math>에서 가군 <math>M</math>을 연관된 층 <math>\tilde{M}</math>으로 가져가며 <math>A</math>-가군에서 준연접층으로 가는 [[범주의 동치|범주 동치]]가 있다. 역 동치는 <math>U</math> 위의 준연접층 <math>\mathcal F</math>를 <math>\mathcal F</math>의 전역 단면의 <math>A</math> -가군 <math>\mathcal F(U)</math>로 가져간다.

다음은 스킴에 대한 준연접층의 몇 가지 추가 특성이다.<ref>{{괄호 없는 하버드 인용|Mumford|1999|loc=Ch. III, § 1, Theorem-Definition 3}}.</ref><math>X</math>가 스킴이고 <math>\mathcal F</math>가 그 위에서 <math>\mathcal O_X</math>-가군이라 하자. 그러면 다음 명제들은 동치이다.

* <math>\mathcal F</math>가 준 연접층이다.
* <math>X</math>의 각 열린 아핀 부분 스킴 <math>U</math>에 대해, <math>\mathcal F|_U</math>는 <math>\mathcal O_U</math>-가군으로서 어떤 <math>\mathcal O(U)</math>-가군 <math>M</math>과 연관된 층 <math>\tilde M</math>과 동형이다.
* 덮개 <math>\{U_\alpha \}</math>의 각 <math>U_\alpha</math>에 대해, <math>\mathcal F|_{U_\alpha}</math>가 어떤 <math>\mathcal O(U_\alpha)</math>-가군과 연관된 층과 동형인 <math>X</math>의 열린 아핀 덮개 <math>\{U_\alpha \}</math>가 존재한다.
* <math>X</math>의 각 열린 아핀 부분 스킴 <math>V\subseteq U</math> 쌍에 대해, 자연 준동현사상
*: <math>\mathcal O(V) \otimes_{\mathcal O(U)} \mathcal F(U) \to \mathcal F(V), \, f \otimes s \mapsto f\cdot s|_V</math>

: 은 동형사상이다.

* <math>X</math>의 각 열린 아핀 부분 스킴 <math>U = \operatorname{Spec} A</math>와 각 <math>f\in A</math>에 대해, <math>f</math>가 영이아닌 <math>U</math>의 열린 부분 스킴을 <math>U_f</math>로 쓰면, 자연 준동형사상
*: <math>\mathcal F(U)\bigg[\frac{1}{f}\bigg] \to \mathcal F(U_f)</math>

: 은 동형사상이다. 이 준동형사상은 국소화의 보편성질로부터 온다.

== 성질 ==
=== 함의 관계 ===
임의의 [[환 달린 공간]] 위에서, 다음과 같은 함의 관계가 성립한다.
:연접 가군층 ⊆<ref name="ÉGA1"/>{{rp|47, (5.3.2)}} [[유한 표시 가군층]] ⊆<ref name="ÉGA1"/>{{rp|46, (5.2.5)}} [[준연접층]] ∩ [[유한 생성 가군층]]
:[[국소 자유 가군층]] ⊆ [[준연접층]]<ref name="ÉGA1"/>{{rp|48, (5.4.1)}}
[[국소 뇌터 스킴]] 위에서는 구조층이 연접 가군층이므로, 다음과 같은 포함 관계가 성립한다.<ref>[http://stacks.math.columbia.edu/tag/01XY Stacks project: 29.9]</ref>
:유한 계수 [[국소 자유 가군층]] ⊆<ref name="ÉGA1"/>{{rp|48, (5.4.1)}} 연접 가군층 = [[유한 표시 가군층]] = [[준연접층]] ∩ [[유한 생성 가군층]]

=== 동치 조건 ===
[[국소 뇌터 스킴]] <math>(X,\mathcal O_X)</math> 위의 [[준연접층]] <math>\mathcal F</math>에 대하여 다음 조건들이 서로 [[동치]]이다.<ref name="Hartshorne"/>{{rp|111}}
* <math>\mathcal F</math>는 연접 가군층이다.
* <math>X</math>의 어떤 아핀 [[열린 덮개]] <math>\{\operatorname{Spec}R_i\}_{i\in I}</math>에 대하여, <math>\mathcal F|_{\operatorname{Spec}R_i}</math>는 <math>\mathcal O_{\operatorname{Spec}R_i}</math>-가군층으로서 어떤 <math>R_i</math>-[[유한 생성 가군]]으로부터 유도된 <math>\mathcal O_{\operatorname{Spec}R_i}</math>-[[가군층]]과 동형이다.

=== 밂과 당김 ===
[[스킴 (수학)|스킴]] 사상에 대하여, [[준연접층]]의 밂은 “거의 항상” [[준연접층]]이다. 즉, 매우 약한 조건 아래 준연접성이 보존된다. 그러나 연접성을 보존하려면 이는 매우 강한 조건([[유한 사상]])이 필요하다.

즉, 다음과 같은 데이터가 주어졌다고 하자.
* 두 [[스킴 (수학)|스킴]] <math>X</math>, <math>Y</math>
* [[스킴 사상]] <math>f\colon X\to Y</math>
만약 <math>f</math>에 대한 [[가군층]]의 밂 <math>f_*</math> 또는 당김 <math>f^*</math>이 가군층의 특정 성질을 보존하기 위한 충분 조건은 다음과 같다.
{| class=wikitable
! !! 당김 !! 밂
|-
! [[준연접층]]
| 항상 성립 || [[준콤팩트 함수|준콤팩트]] [[준분리 사상]]
|-
! 연접 가군층
| <math>X</math>, <math>Y</math>: [[국소 뇌터 스킴]] ||  <math>X</math>, <math>Y</math>: [[뇌터 스킴]] <br> <math>f</math>: [[유한 사상]]
|-
! [[유한 생성 가군층]]
| 항상 성립 || [[유한형 사상]]
|-
! [[국소 자유 가군층]]
| 항상 성립 || (없음)
|}

=== 연접 가군층의 아벨 범주 ===
임의의 왼쪽 연접환 <math>R</math> 위의 연접 [[왼쪽 가군]]들의 [[범주 (수학)|범주]] <math>_R\operatorname{Coh}</math>는 [[아벨 범주]]이다. 보다 일반적으로, 임의의 [[환 달린 공간]] <math>(X,\mathcal O_X)</math> 위의 연접 가군층들의 [[범주 (수학)|범주]] <math>\operatorname{Coh}(X)</math>는 [[아벨 범주]]이다. 즉, [[핵 (범주론)|핵]]과 [[여핵]] 등이 존재하며, [[호몰로지 대수학]]을 할 수 있다. 그러나 이는 (거의 항상) [[완비 범주]]나 [[쌍대 완비 범주]]가 아닌데, 이는 유한 계수 [[국소 자유 가군층]]들의 무한 직합 또는 직접곱은 유한 계수가 아니어서 연접 가군층이 아니기 때문이다.

=== 아핀 스킴 위의 연접층 ===
[[뇌터 환|뇌터]] [[가환환]] <math>R</math>에 대하여 다음 세 개념이 일치한다.
* <math>R</math> 위의 [[유한 생성 가군]]
* <math>R</math> 위의 유한 계수의 [[국소 자유 가군]]
* <math>R</math>의 [[환의 스펙트럼|스펙트럼]] <math>\operatorname{Spec}R</math>위의 연접 가군층
또한, <math>R</math> 위의 [[유한 생성 가군]]들의 범주 <math>\operatorname{fgMod}(R)</math>와 연접 가군층의 범주<math>\operatorname{Coh}(X)</math>는 서로 [[범주의 동치|동치]]이다.

구체적으로, <math>\mathcal F\in\operatorname{Coh}(X)</math>라면, 이에 대응하여 <math>\mathcal F|_X</math>는 <math>\mathcal O_X|_X\cong R</math>의 [[유한 생성 가군]]이다.

=== 준연접층 범주 ===
임의의 고정된 스킴에 대한 준연접층은 아벨 범주를 형성한다. 가버는 모든 스킴의 준연접층이 특히 좋은 성질을 가진 아벨 범주인 [[그로텐디크 아벨 범주|그로텐디크 범주]]를 형성함을 보여주었다.<ref name="St077K2">{{인용|title=Stacks Project, Tag 077K|url=http://stacks.math.columbia.edu/tag/077K}}</ref> 준콤팩트 준분리 스킴 <math>X</math>(예: 체에 대한 대수 다형체)은 <math>X</math> 위의 준연접층의 아벨 범주에 의해 동형사상을 기준으로 결정된다. 로젠버그는 의해 가브리엘의 결과를 일반화했다.<ref>{{괄호 없는 하버드 인용|Antieau|2016|loc=Corollary 4.2}}</ref>

== 연접층의 기본 구조 ==
* 환 달린 공간 <math>X</math> 위의 <math>\mathcal O_X</math> -가군 <math>\mathcal F</math>은 '''유한 랭크 국소 자유''' 또는 '''[[벡터 다발|선형 다발]]'''이라고 한다. <math>X</math>의 모든 점에 대해 다음이 성립하는 열린 이웃 <math>U</math>이 있다: 제한 <math>\mathcal F|_U</math>이  <math>\mathcal O_X|_U</math>의 복사본들의 유한 직합과 동형이다. 만약에 <math>\mathcal F</math>가 <math>X</math>의 모든 점 근처 같은 랭크 <math>n</math>인 자유대상이면, 선형 다발 <math>\mathcal F</math>를 랭크 <math>n</math>이라 한다.

: 스킴 <math>X</math> 위에서 이 층론적 의미의 선형 다발들은,  스킴 <math>E</math>와 사상 <math>\pi: E\to X</math>, 열린 집합 <math>U_\alpha</math>로 이뤄진 <math>X</math>의 덮개와 <math>U_\alpha</math> 위에 <math>U_\alpha \cap U_\beta</math>에 대한 두 개의 동형 사상이  선형 자기 동형 사상을 기준으로 다른 <math>\pi^{-1}(U_\alpha) \cong \mathbb A^n \times U_\alpha</math>로 주어진 동형사상을 고려하면 보다 기하학적인 방식으로 정의된 선형 다발과 동일하다.<ref>{{괄호 없는 하버드 인용|Hartshorne|1977|loc=Exercise II.5.18}}</ref>(비슷한 동치성은 복소 해석 공간에도 적용된다. ) 예를 들어, 주어진 선형 다발 <math>E</math>에 대해 이 기하학적 의미에서 대응하는 층 <math>\mathcal F</math>은 <math>X</math>의 열린 집합 <math>U</math> 위에서, <math>\mathcal O(U)</math> -가군 <math>\mathcal F(U)</math>가 사상 <math>\pi^{-1}(U) \to U</math>의 [[단면 (올다발)|단면]] 집합이도록 정의된다. 선형 다발의 다발론적 해석은 선형 다발(국소 뇌터 스킴에서)이 연접층의 아벨 범주에 포함된다는 이점이 있다.

* 국소 자유 층은 표준  <math>\mathcal O_X</math> -가군 연산으로 갖춰 오지만 국소 자유 층을 돌려준다.

* <math>X = \operatorname{Spec}(R)</math>, <math>R</math>은 뇌터 환이라 하자. 그러면 <math>X</math> 위의 선형 다발들은 <math>R</math> 위의 유한 생성 [[사영 가군]]과 연관된 층이다. 또는 (동등하게) <math>R</math> 위의 유한 생성 [[평탄 가군]]이다.<ref name="St00NV">{{인용|title=Stacks Project, Tag 00NV|url=http://stacks.math.columbia.edu/tag/00NV}}</ref>

* <math>R</math>이 <math>\N</math>-등급 뇌터환일 때, <math>X = \operatorname{Proj}(R)</math>가 뇌터 환 <math>R_0</math> 위의 [[사영 다형체|사영 스킴]]이라 하자. 그럼 각 <math>\Z</math> -등급 <math>R</math> -가군 <math>M</math>은 <math>\mathcal F|_{\{ f \ne 0 \}}</math>이  <math>R[f^{-1}]_0</math>-가군 <math>M[f^{-1}]_0</math>와 관련된 층인 <math>X</math> 위의 준연접층 <math>\mathcal F</math>를 결정한다. 여기서 <math>f</math>는 <math>R</math>의 양의 차수 동차 원소들이고 <math>\{f \ne 0 \} = \operatorname{Spec} R[f^{-1}]_0</math>는 <math>f</math>가 영이 아닌 궤적이다.

* 예를 들어 각 정수 <math>n</math>에 대해 ,  <math>R(n)</math>이 <math>R(n)_l =R_{n+l}</math>로 주어지는 등급 <math>R</math> -가군이라 하자. 그럼 각 <math>R(n)</math>는 <math>X</math> 위의 준연접층 <math>\mathcal O_X(n)</math>을 결정한다. 만약에 <math>R</math>이 <math>R_1</math>에 의해 <math>R_0</math>-대수로서 생성된다면, <math>\mathcal O_X(n)</math>는 <math>X</math> 위의 선다발 (가역 다발)이다. 그리고 <math>\mathcal O_X(n)</math>는 <math>\mathcal O_X(1)</math>의 <math>n</math> -번째 텐서승이다. 특히, <math>\mathcal O_{\mathbb{P}^n}(-1)</math>는 사영 <math>n</math> -공간에서 [[보편 가역층|보편 선다발]]이라고 한다.

* 선형 다발이 아닌 <math>\mathbb{P}^2</math> 위의 연접층의 간단한 예는 다음 열에서 여핵에 의해 제공된다.

:: <math>\mathcal{O}(1) \xrightarrow{\cdot (x^2-yz,y^3 + xy^2 - xyz)} \mathcal{O}(3)\oplus \mathcal{O}(4) \to \mathcal{E} \to 0</math>
: 이는 두 다항식의 영점 궤적에 제한된 <math>\mathcal{E}</math>가 2차원 올을 갖고 다른 곳에서는 1차원 올을 가지기 때문이다.

* [[아이디얼 층|이데알 층]] : 만약 <math>Z</math>가 국소적 뇌터 스킴 <math>X</math>의 닫힌 부분 스킴이면, <math>Z</math>에서 영인 모든 정규 함수들의 층 <math>\mathcal I_{Z/X}</math>는 연접층이다. 마찬가지로, 만약 <math>Z</math>가 복소 해석 공간 <math>X</math>의 닫힌 해석 부분 공간이면,  이데알 층 <math>\mathcal I_{Z/X}</math>은 연접층이다.

* 국소적 뇌터 스킴의 <math>X</math>의 닫힌 부분 스킴 <math>Z</math>의 구조 층 <math>\mathcal O_Z</math>는 <math>X</math> 위의 연접층으로 볼 수 있다. 정확히 말하면 직상층 <math>i_*\mathcal O_Z</math>이다. 여기서 <math>i: Z \to X</math>는 포함 사상이다. 이는 복소 해석 공간의 닫힌 해석 부분 공간에 대해서도 마찬가지이다. 층 <math>i_*\mathcal O_Z</math>는 열린 집합 <math>X-Z</math>의 점에서 0차원 올(아래에 정의됨)을 가지고, <math>Z</math>의 점에서 1차원 올을 가진다. <math>X</math> 위의 연접층의 [[완전열|짧은 완전열]]이 있다:

:: <math>0\to \mathcal I_{Z/X} \to \mathcal O_X \to i_*\mathcal O_Z \to 0.</math>

* [[선형대수학|선형 대수학]]의 대부분의 연산은 연접층을 보존한다. 특히, 환 달린 공간 <math>X</math>에서 두 연접층 <math>\mathcal F</math>와 <math>\mathcal G</math>의 [[텐서곱|텐서곱 층]] <math>\mathcal F \otimes_{\mathcal O_X}\mathcal G</math>과 [[층 (수학)|준동형 사상 층]] <math>\mathcal Hom_{\mathcal O_X}(\mathcal F, \mathcal G)</math>은 연접층이다.<ref>{{괄호 없는 하버드 인용|Serre|1955|loc=§14}}</ref>

* '''준연접층의 간단한 반례'''가 0 함자에 의한 확장으로 제공된다. 예를 들어

:: <math>X = \operatorname{Spec}(\Complex[x,x^{-1}]) \xrightarrow{i} \operatorname{Spec}(\Complex[x])=Y</math><ref>{{괄호 없는 하버드 인용|Hartshorne|1977}}</ref>
: 에 대해 <math>i_!\mathcal{O}_X</math>을 고려하자. 이 층은 자명하지 않은 줄기를 가지고 있지만 전역 단면이 없기 때문에 준연접층이 아니다. 이는 아핀 스킴의 준연접층이 기저에 깔린 환에 대한 가군의 범주와 동일하고 adjunction이 전역 단면을 가져오기 때문이다.

== 연접층의 국소적 성질 ==
한 점 <math>x</math>에서 <math>\mathcal F</math>의 성질이 <math>x</math>의 이웃에서 <math>\mathcal F</math>의 성질을 결정한다는 사실은 연접층 <math>\mathcal F</math>의 중요한 특징이다. 임의의 층에 더 많은 특징이 있다. 예를 들어, 나카야마 보조정리는 (기하학적 언어로) 다음과 같이 말한다. <math>\mathcal F</math>가 스킴 <math>X</math> 위의 연접층이면, 한 점 <math>x</math>에서 <math> F</math>의 '''올''' <math>\mathcal F_x\otimes_{\mathcal O_{X,x}} k(x)</math>(잉여체 위의 벡터 공간 <math>k(x)</math>)가 0임과 <math>\mathcal F</math>가 <math>x</math>의 어떤 열린 이웃에서 0임이 동치이다. 관련된 사실은 연접층의 올의 차원이 [[반연속 함수|위쪽-반연속]]이라는 것이다.<ref>{{괄호 없는 하버드 인용|Hartshorne|1977|loc=Example III.12.7.2}}</ref> 따라서 연접층은 열린 집합에서 일정한 랭크를 갖는 반면 낮은 차원의 닫힌 부분 집합에서는 랭크가 올라갈 수 있다.

같은 정신으로: 스킴 <math>X</math> 위의 연접층 <math>\mathcal F</math>이 선형 다발임과 <math>X</math>의 모든 점 <math>x</math>에 대해 [[줄기 (수학)|줄기]] <math>\mathcal F_x</math>가 국소 환 <math>\mathcal O_{X,x}</math> 위의 [[자유 가군]]임이 동치이다.<ref>{{괄호 없는 하버드 인용|Grothendieck|Dieudonné|1960||loc=Ch. 0, 5.2.7}}</ref>

일반적인 스킴에서는 연접층이 (줄기가 아닌) 올만으로는 선형 다발인지 여부를 결정할 수 없다. 그러나 축소된 국소적 뇌터 스킴에서 연접층은 랭크가 국소적로 일정한 경우에만 선형 다발이다.<ref>{{괄호 없는 하버드 인용|Eisenbud|1995|loc=Exercise 20.13}}</ref>

== 선형 다발의 예 ==
스킴의 사상 <math>X\to Y</math>에 대해  <math>X</math>가 <math>Y</math> 위에서 분리되어 있으면 <math>\Delta: X\to X\times_Y X</math>를 [[닫힌 몰입]]인 [[대각 사상]]이라 하자. 그리고  <math>\mathcal I</math>가 <math>X\times_Y X</math> 안에서 <math>X</math>의 이데알 층이라 하자. 그러면 '''미분 형식 층''' <math>\Omega^1_{X/Y}</math>은 <math>X</math>로  <math>\mathcal I</math>를 당김 <math>\Delta^*\mathcal I</math>으로 정의할 수 있다. 이 층의 단면을 <math>Y</math> 위에서 <math>X</math>의 [[미분 형식|제 1미분형식]]이라고 한다. 그리고 이들은 <math>X</math>에서 국소적으로 정규 함수 <math>f_j</math>, <math>g_j</math>들의 유한합 <math>\textstyle\sum f_j\, dg_j</math>으로 쓸 수 있다. 만약에 <math>X</math>가 체 <math>k</math>에 대해 국소적으로 유한 유형이면, <math>\Omega^1_{X/k}</math>는 <math>X</math>에서 연접층이다.

만약에 <math>X</math>가 <math>k</math> 위에서 [[매끄러운 스킴|매끄러우면]], <math>\Omega^1</math> (<math>\Omega^1_{X/k}</math>를 의미)는 <math>X</math> 위의 선형 다발이고, <math>X</math>의 '''[[공변접다발|여접다발]]'''이라고 부른다. 그러면 '''[[접다발]]''' <math>TX</math>는 쌍대 다발 <math>(\Omega^1)^*</math>로 정의된다. <math>k</math> 위에서 매끄럽고 모든 곳에서  <math>n</math>차원인 .<math>X</math>에 대해 접다발은 랭크 <math>n</math>를 갖는다.

만약에 <math>Y</math>가 <math>k</math> 위의 매끄러운 스킴 <math>X</math>의 매끄러운 닫힌 부분 스킴이면, <math>Y</math> 위에서 선형 다발의 짧은 완전열이 있다:

: <math>0\to TY \to TX|_Y \to N_{Y/X}\to 0,</math>

이를 <math>X</math> 안에서 <math>Y</math>에 대한 '''[[법다발]]''' <math>N_{Y/X}</math>의 정의로 사용할 수 있다.

체 <math>k</math> 위에서 매끄러운 스킴 <math>X</math>와 자연수 <math>i</math>,에 대해, <math>X</math> 위의 제 <math>i</math>[[미분 형식]]의 선형 다발 <math>\Omega^i</math>은 <math>i</math> -여접다발의 [[외대수|외승]], <math>\Omega^i = \Lambda^i \Omega^1</math>과 같이 정의된다. <math>k</math> 위에서 <math>n</math>차원 매끄러운 [[대수다양체|다형체]] <math>X</math>에 대해, '''[[표준 선다발|표준 다발]]''' <math>K_X</math>은 선다발<math>\Omega^n</math>을 의미한다. 따라서 표준 다발의 단면은 의 대수-기하학적에서 미분기하학의 [[부피 형식]]과 비슷한 개념이다. 예를 들어,  <math>k</math> 위에서 아핀 공간 <math>\mathbb A^n</math>의 표준 다발 단면은

: <math>f(x_1,\ldots,x_n) \; dx_1 \wedge\cdots\wedge dx_n,</math>

로 쓸 수 있다. 여기서 <math>f</math>는 계수가 <math>k</math>의 원소인 다항식이다.

<math>R</math>이 가환환이고 <math>n</math>을 자연수라 하자. 각 정수 <math>j</math>에 대해 , <math>\mathcal O(j)</math>라고 불리는, <math>R</math> 위에서 사영 공간 <math>\mathbb P^n</math>에 선다발의 중요한 예가 있다. 이를 정의하기 위해 어떤 <math>R</math> -스킴의 사상을 고려하자:

: <math>\pi: \mathbb A^{n+1}-0\to \mathbb P^n</math>

이는 좌표로 표현하면 <math>(x_0,\ldots,x_n) \mapsto [x_0,\ldots,x_n]</math>로 주어진다. (즉, 사영 공간을 아핀 공간의 1차원 선형 부분 공간의 공간으로 생각하면 아핀 공간에서 0이 아닌 점을 연결하는 선으로 보낸다.) 그러면 <math>\mathbb P^n</math>의 열린 부분 집합 <math>U</math> 위의 <math>\mathcal O(j)</math>의 단면은 <math>\pi^{-1}(U)</math> 위에서 <math>j</math>차 동차 정규 함수 <math>f</math>로 정의된다. 이는 <math>\mathbb A^{1} - 0) \times \pi^{-1}(U)</math> 위의 정규 함수로서

: <math>f(ax)=a^jf(x)</math>

가 성립함을 뜻한다. 모든 정수 <math>i</math>, <math>j</math>에 대해, <math>\mathbb P^n</math> 위의 선다발의 동형 <math>\mathcal O(i) \otimes \mathcal O(j) \cong \mathcal O(i+j)</math>이 있다.

특히, <math>R</math> 위에서 모든 <math>j</math>차 [[동차다항식|동차 다항식]] <math>x_0,\ldots,x_n</math>은 <math>\mathbb P^n</math> 위에서  <math>\mathcal O(j)</math>의 전역 단면으로 볼 수 있다. 사영 공간의 모든 닫힌 부분 스킴은 동차 다항식의 어떤 모임의 영점 집합으로 정의될 수 있으므로 선다발 <math>\mathcal O(j)</math>의 어떤 단면의 영점 집합으로 정의될 수 있다.<ref>{{괄호 없는 하버드 인용|Hartshorne|1977|loc=Corollary II.5.16}}</ref> 이는 닫힌 부분 스킴이 단순히 어떤 정규 함수 모음의 영점 집합인 단순한 아핀 공간의 경우와 대조된다. <math>R</math> 위의 사영 공간 <math>\mathbb P^n</math>의 정규 함수들은 단지 "상수"(환 <math>R</math> )이며, 따라서 선다발 <math>\mathcal O(j)</math>을 고려하는 것이 필수적이다.  .

[[장피에르 세르|세르]]는 아핀 공간에서 연접층보다 더 미묘한 사영 공간의 모든 연접층에 대한 대수적 설명을 제공했다. <math>R</math>이 뇌터 환(예: 체)이라 하고, <math>x_i</math> 각각이 1등급인 [[등급 대수|등급환]]으로서 다항식 환 <math>S = R[x_0,\ldots,x_n]</math>를 고려하자. 그러면 모든 유한 생성 등급 <math>S</math>-가군 <math>M</math>은 [[사영 스펙트럼|연관된]] <math>R</math> 위의  <math>\mathbb P^n</math>에서의 연접층 <math>\tilde M</math>을 가지고 있다. <math>\mathbb P^n</math>에서의 모든 연접층은 유한 생성 등급 <math>S</math>-가군 <math>M</math>에서 이러한 방식으로 발생한다.(예를 들어, 선다발 <math>\mathcal O(j)</math>은  <math>j</math>로 등급이 낮아진 <math>S</math>-가군 <math>S</math>와 연관된 층이다.) 하지만 <math>\mathbb P^n</math> 위에서 주어진 연접층을 생성하는 <math>S</math>-가군 <math>M</math>은 유일하지 않고, <math>M</math>을 기껏해야 유한하게 많은 등급에서만 0이 아닌 임의의 등급 가군으로 바꾼 것들을 동치로 보았을 때 유일하다. 보다 정확하게, <math>\mathbb P^n</math> 위의 연접층의 아벨 범주는 유한 생성 등급 <math>S</math> -가군 범주를 기껏해야 유한하게 많은 등급에서만 0이 아닌 가군 범주의 세르 부분 범주로 자른 몫이다.<ref name="St01YR">{{인용|title=Stacks Project, Tag 01YR|url=http://stacks.math.columbia.edu/tag/01YR}}</ref>

체 <math>k</math> 위의 사영 공간 <math>\mathbb P^n</math>의 접다발은 선다발 <math>\mathcal O(1)</math>의 측면에서 설명할 수 있다. 즉, 다음 짧은 완전열인 오일러 수열이 있다.

: <math> 0\to \mathcal O_{\mathbb P^n}\to \mathcal O(1)^{\oplus \; n+1}\to T\mathbb P^n\to 0.</math>

표준 다발 <math>K_{\mathbb P^n}</math>(접다발의 [[선다발|행렬식 다발]]의 쌍대)는 <math>\mathcal O(-n-1)</math>과 동형이다. 이것은 대수 기하학의 기본 계산이다. 예를 들어, 표준 다발이 [[풍부한 가역층|풍부한 선다발]] <math>\mathcal O(1)</math>의 음의 배수라는 사실은 사영 공간이 [[파노 다양체|파노 다형체]]임을 의미한다. 복소수에 대해 이것은 사영 공간에 양의 [[리치 곡률 텐서|리치 곡률]]을 갖는 [[켈러 다양체|켈러 계량]]이 있음을 의미한다.

=== 초곡면의 선형 다발 ===
<math>d</math>차 동차 다항식 <math>f</math>에 의해 정의된 매끄러운 <math>d</math>차원 초곡면 <math>X \subset \mathbb{P}^n</math>를 고려하자. 그러면 다음 완전열이 있다.

: <math>0 \to \mathcal O_X(-d) \to i^*\Omega_{\mathbb{P}^n} \to \Omega_X \to 0 </math>

여기서 두 번째 사상은 미분 형식의 당김이고 첫 번째 사상은

: <math> \phi \mapsto d(f\cdot \phi)</math>

이 열은 <math>\mathcal O(-d)</math>가 <math>\mathbb P^n</math>에서 <math>X</math>의 여법층임을 알려준다. 이것을 쌍대화하면 완전열

: <math> 0 \to T_X \to i^*T_{\mathbb{P}^n} \to \mathcal O(d) \to 0</math>

이 생성된다. 따라서 <math>\mathcal O(d)</math>는 <math>\mathbb P^n</math>에서 <math>X</math>의 법다발이다. 랭크 <math>r_1</math>, <math>r_2</math>, <math>r_3</math> 선형 다발들의 완전열이 주어진 사실을 사용하면

: <math>0 \to \mathcal E_1 \to \mathcal E_2 \to \mathcal E_3 \to 0</math>

다음과 같은 선다발 동형사상이 있다:

: <math>\Lambda^{r_2}\mathcal E_2 \cong \Lambda^{r_1}\mathcal E_1\otimes \Lambda^{r_3}\mathcal E_3</math>

그러면, 동형사상

: <math>i^*\omega_{\mathbb P^n} \cong \omega_X\otimes \mathcal O_X(-d)</math>

이 있음을 알 수 있다. 이는

: <math>\omega_X \cong \mathcal O_X(d - n -1)</math>

를 보여준다.

== 세르 구성 및 선형 다발 ==
랭크 2 선형 다발을 구성하는 유용한 방식 중 하나는, 매끄러운 사영 다형체 <math>X</math> 위의 랭크 2 선형 다발 <math>\mathcal{E}</math>와 여차원 2인 부분 다형체 <math>Y</math> 사이의 대응 관계를 <math>X</math> 위의 특정 <math>\text{Ext}^1</math>-군 계산을 이용해 설정하는 세르 구성<ref>{{저널 인용|제목=Sur les modules projectifs|저널=Séminaire Dubreil. Algèbre et théorie des nombres|성=Serre|이름=Jean-Pierre|url=http://www.numdam.org/item/SD_1960-1961__14_1_A2_0/|날짜=1960–1961|권=14|호=1|쪽=1–16|언어=fr}}</ref><ref name=":0">{{저널 인용|제목=Vector Bundles and Monads On Abelian Threefolds|저널=Communications in Algebra|성=Gulbrandsen|이름=Martin G.|url=https://www.ux.uis.no/~martingg/papers/abmonad.pdf|날짜=2013-05-20|권=41|호=5|쪽=1964–1988|arxiv=0907.3597|doi=10.1080/00927872.2011.645977|issn=0092-7872}}</ref> <sup>pg 3</sup>이다. 이는 선다발 <math>\wedge^2\mathcal{E}</math>의 코호몰로지 조건에 의해 제공된다.(아래 참조).

한 방향의 대응은 다음과 같이 제공된다. 단면 <math>s \in \Gamma(X,\mathcal{E})</math>에 대해 영점 궤적 <math>V(s) \subset X</math>을 연관시킬 수 있다. 만약에 <math>V(s)</math>가 여차원 2인 부분 다형체이면,

# 이는 국소적 완전 교차점이다. 즉, 아핀 좌표 조각 <math>U_i \subset X</math>를 사용하면, <math>s|_{U_i} \in \Gamma(U_i,\mathcal{E})</math>는 함수 <math>s_i:U_i \to \mathbb{A}^2</math>로 나타낼 수 있다. 여기서 <math>s_i(p) = (s_i^1(p), s_i^2(p))</math> 이고<math>V(s)\cap U_i = V(s_i^1,s_i^2)</math>.
# 선다발 <math>\omega_X\otimes \wedge^2\mathcal{E}|_{V(s)}</math>은 <math>V(s)</math> 위의 표준 다발<math>\omega_{V(s)}</math>과 동형이다.

다른 방향에서<ref>{{저널 인용|제목=Stable Vector Bundles of Rank 2 on P3|저널=Mathematische Annalen|성=Hartshorne|이름=Robin|url=https://eudml.org/doc/163199|연도=1978|권=238|쪽=229–280}}</ref>, 여차원 2인 부분 다형체 <math>Y \subset X</math>과 다음과 같은 선다발 <math>\mathcal{L} \to X</math>

# <math>H^1(X,\mathcal{L}) = H^2(X,\mathcal{L}) = 0</math>
# <math>\omega_Y \cong (\omega_X\otimes\mathcal{L})|_Y</math>

에 대해, 표준 동형사상<blockquote><math>\text{Hom}((\omega_X\otimes\mathcal{L})|_Y,\omega_Y) \cong \text{Ext}^1(\mathcal{I}_Y\otimes\mathcal{L}, \mathcal{O}_X)</math></blockquote>이 있다. 이는 여차원 <math>2</math>인 부분 다형체 포함 사상에 대해 함자적이다. 더욱이, 왼쪽에 주어진 모든 동형은 오른쪽 확장의 중간에 국소 자유 층에 해당한다. 즉, 동형사상 <math>s \in \text{Hom}((\omega_X\otimes\mathcal{L})|_Y,\omega_Y)</math>에 해당하는 다음 짧은 완전열에 맞는 랭크 2 국소 자유 다발 <math>\mathcal{E}</math>이 있다:<blockquote><math>0 \to \mathcal{O}_X \to \mathcal{E} \to \mathcal{I}_Y\otimes\mathcal{L} \to 0</math></blockquote>그러면 이 선형 다발은 안정적인지 여부를 결정하기 위해 코호몰로지 불변량을 사용하여 추가로 연구할 수 있다. 이것은 [[아벨 다양체|주극화된 아벨 다형체]]와<ref name=":0" /> [[K3 곡면]] 같은 많은 특정 경우에서 [[모듈라이 공간|안정적인 선형 다발의 모듈라이 공간]]을 연구하기 위한 기초를 형성한다.<ref>{{서적 인용|url=https://www.cambridge.org/core/books/geometry-of-moduli-spaces-of-sheaves/E69325DA1892E9BA762E354C4C64E337|제목=The Geometry of Moduli Spaces of Sheaves|성=Huybrechts|이름=Daniel|성2=Lehn|이름2=Manfred|날짜=2010|판=2|총서=Cambridge Mathematical Library|출판사=Cambridge University Press|위치=Cambridge|쪽=123-128,238-243|doi=10.1017/cbo9780511711985|isbn=978-0-521-13420-0}}</ref>

== 예 ==
=== 대수기하학 ===
모든 [[왼쪽 뇌터 환]]은 왼쪽 연접환이며, [[오른쪽 뇌터 환]]은 오른쪽 연접환이다.<ref name="Lam"/>{{rp|138, Example 4.46(a)}} [[국소 뇌터 스킴]]은 연접 공간이다. 즉, 그 [[구조층]]은 연접 가군층을 이룬다. (<ref name="Hartshorne"/>{{rp|111, Example II.5.2.1}}에는 모든 스킴의 구조층이 연접 가군층이라고 서술돼 있다. 그러나 하츠혼의 연접 가군층의 정의는 여기서 정의된 연접 가군층의 정의와 다르다. 두 정의는 뇌터 스킴의 경우 동치이다.)

[[국소 뇌터 스킴]] <math>X</math>의 [[아이디얼 층]]은 (연접층 <math>\mathcal O_X</math>의 부분 가군층이므로) 연접층이다. 특히, [[국소 뇌터 스킴]]의 닫힌 부분 스킴 <math>Y\subseteq X</math>에 대응하는 아이디얼 층은 연접층이다.

=== 복소기하학 ===
'''오카 연접성 정리'''({{llang|en|Oka coherence theorem}})에 따르면, [[복소다양체]] <math>M</math> 위의 [[정칙 함수]]의 층은 연접 가군층이다.<ref name="Oka">{{인용| last1=Oka | first1=Kiyoshi | 저자링크=오카 기요시 | title=Sur les fonctions analytiques de plusieurs variables. VII. Sur quelques notions arithmétiques | url=http://www.numdam.org/item?id=BSMF_1950__78__1_0 |mr=0035831 | 날짜=1950 | journal=Bulletin de la Société Mathématique de France | issn=0037-9484 | volume=78 | pages=1–27 |언어=fr}}</ref> 보다 일반적으로, <math>M</math> 위의 [[해석적 벡터 다발]] <math>E\twoheadrightarrow M</math>이 주어졌을 때, <math>E</math>의 단면층은 연접 가군층이다.

=== 뇌터 환이 아닌 연접환 ===
<math>R</math>가 [[왼쪽 뇌터 환]]일 경우, 임의의 집합 <math>I</math>에 대하여 [[다항식환]] <math>R[x_i]_{i\in I}</math>는 항상 왼쪽 연접환이지만, 만약 <math>I</math>가 [[무한 집합]]이라면 이는 [[왼쪽 뇌터 환]]이 아니다.

== 연접층 코호몰로지 ==
연접층의 코호몰로지 이론은 대수기하학에서 근본적인 방법이다. 1950년대에야 도입되었지만 대수 기하학의 많은 초기 방법은 연접층에 적용된 [[층 코호몰로지]]로 명확해진다. 대체로 말하면, 연접층 코호몰로지는 지정된 성질을 가진 함수를 생성하는 방법으로 볼 수 있다. 선다발 또는 보다 일반적인 층의 단면은 일반화된 함수로 볼 수 있다. 해석적 복소기하학에서도 연접층 코호몰로지는 근본적인 역할을 한다.

연접층 코호몰로지의 핵심 결과로는 코호몰로지의 유한 차원성에 대한 결과, 다양한 경우에 코호몰로지가 사라지는 결과, [[세르 쌍대성]] 등의 쌍대성 정리, [[호지 이론]] 등 위상 수학과 대수 기하학의 관계, [[리만-로흐 정리]]와 같은 연접층의 [[오일러 지표]] 공식 등이 있다.

== 역사 ==
연접 가군층의 개념은 원래 [[앙리 카르탕]]이 1944년 경에 다변수 복소해석학에서 도입하였다. 1946년에 [[오카 기요시]]는 오카 연접성 정리를 증명하였다.<ref name="Oka"/>

1955년에 [[장피에르 세르]]는 유명한 논문 〈대수적 연접층〉<ref name="FAC"/>에서 연접층의 개념을 대수기하학에 응용하였다.

== 같이 보기 ==
* [[피카르 군]]
== 각주 ==
{{각주}}

== 외부 링크 ==
* {{eom|title=Coherent sheaf}}
* {{eom|title=Coherent algebraic sheaf}}
* {{eom|title=Coherent analytic sheaf}}
* {{eom|title=Coherent ring}}
* {{nlab|id=coherent sheaf|title=Coherent sheaf}}
* {{nlab|id=coherent module|title=Coherent module}}
* {{nlab|id=coherent object|title=Coherent object}}
* {{nlab|id=coherent cohomology|title=Coherent cohomology}}
* {{nlab|id=affine Serre's theorem|title=Affine Serre's theorem}}
* {{웹 인용|url=https://amathew.wordpress.com/2011/08/25/analytic-spaces/|제목=Analytic spaces|이름=Akhil|성=Mathew|웹사이트=Climbing Mount Bourbaki|날짜=2011-07-30|언어=en}}
* {{웹 인용|url=http://math.stackexchange.com/questions/52856/is-noetherian-condition-always-needed-when-speaking-of-a-coherent-sheaf|제목=Is Noetherian condition always needed when speaking of a coherent sheaf?|출판사=StackOverflow|언어=en}}
* {{웹 인용|url=http://mathoverflow.net/questions/150168/is-the-category-of-coherent-sheaves-some-kind-of-abelian-envelope-of-the-categor|제목=Is the category of coherent sheaves some kind of abelian envelope of the category of vector bundles?|언어=en|출판사=Math Overflow}}
* {{웹 인용|url=http://mathoverflow.net/questions/52152/criteria-for-coherence-of-rings|제목=Criteria for coherence of rings|출판사=Math Overflow|언어=en}}

[[분류:스킴 이론]]
[[분류:복소다양체]]
[[분류:층론]]