연속 쌍대 공간 문서 원본 보기

{{위키데이터 속성 추적}}
[[함수해석학]]에서 '''연속 쌍대 공간'''(連續雙對空間, {{llang|en|continuous dual space}})은 주어진 [[위상 벡터 공간]] 위의 [[연속 함수|연속]] [[선형 변환|선형]] [[범함수]]들로 구성된 [[벡터 공간]]이다. 그 위에 다양한 [[위상 공간 (수학)|위상]]을 부여할 수 있다. 이는 유한 차원의 경우 (대수적) [[쌍대 공간]]과 일치하나, 무한 차원일 경우 대수적 쌍대 공간의 부분 집합이다.

== 정의 ==
[[위상환]] <math>K</math> 위의 [[위상 왼쪽 가군]] <math>_KV</math>가 주어졌다고 하자. 그렇다면, <math>V</math>의 '''연속 쌍대 가군'''(連續雙對加群, {{llang|en|continuous dual module}}) <math>V^*</math>는 [[쌍대 가군]]
:<math>V^\vee=\hom(_KV,_KK)</math>
가운데, [[연속 함수]] <math>f\colon V\to K</math>를 이루는 것들의 부분 집합이다.<ref>{{서적 인용| last = Schaefer | first = Helmuth H. | 이름2=M. P. | 성2= Wolff |날짜 = 1999 | title = Topological vector spaces | series=Graduate Texts in Mathematics | 권=3 | issn=0072-5285 | 판=2판  | publisher = Springer | isbn = 978-1-4612-7155-0 | doi=10.1007/978-1-4612-1468-7| zbl = 0983.46002 | 언어 = en}}</ref>{{rp|48, §II.4}}<ref name="RS">{{서적 인용
|성=Reed | 이름=Michael C. |이름2=Barry |성2=Simon
|제목=Functional analysis
|총서=Methods of modern mathematical physics |권=1
|출판사=Academic Press
|날짜=1980
|isbn=0-12-585050-6
|zbl= 0459.46001
|언어=en
}}</ref>{{rp|129, §V.1}} 이는 자연스럽게 <math>K</math>-[[위상 오른쪽 가군]]을 이룬다. 마찬가지로 위상 오른쪽 가군의 연속 쌍대 가군을 정의할 수 있으며, 이는 [[위상 왼쪽 가군]]을 이룬다.

만약 <math>K</math>가 [[위상체]]라면, 그 위의 [[위상 벡터 공간]]의 연속 쌍대 가군은 '''연속 쌍대 공간'''이라고 한다.

연속 쌍대 공간 위에는 흔히 '''강한 위상'''과 '''약한-* 위상'''이라는 두 위상이 사용된다.
* 강한 위상에서, 연속 쌍대 공간의 모든 원소는 ([[유계 집합]]에 제한되었을 때) [[균등 연속 함수]]를 이룬다.
* 약한-* 위상에서, 연속 쌍대 공간의 모든 원소는 [[연속 함수]]를 이룬다.
보통, 특별한 부가 설명이 없다면 강한 위상을 의미한다.

만약 어떤 [[위상 벡터 공간]] <math>V</math>가 어떤 위상 벡터 공간 <math>W</math>의 (강한 위상을 부여한) 연속 쌍대 공간 <math>W'</math>과 동형이라면, <math>W</math>를 <math>V</math>의 '''원쌍대 공간'''(原雙對空間, {{llang|en|predual space}})이라고 한다. 원쌍대 공간은 유일하지 않을 수 있으며, 존재하지 않을 수도 있다.

=== 강한 위상 ===
[[위상환]] <math>K</math>은 (덧셈에 대하여 [[아벨 군|아벨]] [[위상군]]이므로) 자연스럽게 [[균등 공간]]을 이룬다.

<math>V</math>의 '''[[유계 집합]]'''은 다음 조건을 만족시키는 부분 집합 <math>B\subseteq V</math>이다.
* 임의의 <math>0\in V</math>의 [[근방]] <math>N\ni 0</math>에 대하여, <math>B\subseteq\alpha N</math>이 되는 <math>\alpha\in K</math>가 존재한다.
<math>V</math>의 유계 집합들의 족 <math>\operatorname{Born}(V)</math>은 <math>V</math>의 [[덮개 (위상수학)|덮개]]를 이룬다.

그렇다면, [[덮개 (위상수학)|덮개]] <math>\operatorname{Born}(V)</math>에 대한, 함수 공간 <math>K^V</math> 위의 [[균등 수렴 위상]]을 정의할 수 있다. 연속 쌍대 가군 <Math>V^*</math> 위의 '''강한 위상'''은 유계 집합에 대한 균등 수렴 위상이다. 즉, 유계 집합 <math>B\subseteq V</math>에 제한하였을 때 그 원소들 <math>\{\phi\restriction B\colon \phi\in V^*\}</math>이 모두 균등 연속 함수가 되게 하는 가장 [[엉성한 위상]]이다.

만약 <math>K\in\{\mathbb R,\mathbb C\}</math>이며 <math>V</math>가 [[노름 공간]]이라면, <math>V^*</math> 위의 강한 위상은 쌍대 노름으로 정의되는 [[거리 위상]]과 같다.

=== 약한-* 위상 ===
연속 쌍대 공간 위에는 강한 위상 대신 '''약한-* 위상'''(弱한-* 位相, {{llang|en|weak-* topology}}, "약한-스타 위상"으로 읽음)을 부여할 수 있다. (이 이름은 원래 위상 가군 위의 [[약한 위상]]과 구별하기 위한 것이다.)

구체적으로, [[위상환]] <math>K</math> 위의 [[위상 왼쪽 가군]] <math>_KV</math>이 주어졌다고 하자. 이중 연속 쌍대 가군으로의 자연스러운 포함 사상
:<math>\iota\colon V\to V^{**}</math>
:<math>\iota\colon v\mapsto(\phi\mapsto\phi(v))</math>
을 생각하자. 그렇다면, 연속 쌍대 공간 <math>V^*</math> 위의 '''약한-* 위상'''은 범함수족 <math>\{\iota(v)\colon v\in V\}</math>로 생성되는 [[시작 위상]]이다. 즉, 구체적으로 모든 [[열린집합]] <math>U\subset K</math>와 모든 <math>v\in V</math>에 대하여
:<math>v^{-1}(U)=\{\phi\in V^\vee\colon\phi(v)\in U\}\subset V^\vee</math>
꼴의 집합들을 [[부분 기저]]로 한다.

약한-* 위상은 강한 위상보다 더 [[섬세한 위상]]이다.

=== 쌍대 노름 ===
만약 <math>\mathbb K\in\{\mathbb R,\mathbb C\}</math>이며, <math>(V,\|\|_V)</math>가 <math>\mathbb K</math>-[[노름 공간]]이라고 하자. 그렇다면, <math>V^*</math> 위에는 다음과 같은 [[노름]]이 존재한다.
:<math>\|\phi\|_{V^*}=\sup_{\scriptstyle v\in V\atop\scriptstyle\|v\|_V\le1}|\phi(v)|</math>
이를 '''쌍대 노름'''(雙對norm, {{llang|en|dual norm}})이라고 하며, 이는 [[작용소 노름]]의 특수한 경우이다.

이에 따라, <math>(V^*,\|\|_{V^*})</math>은 항상 [[바나흐 공간]]을 이룬다.

== 성질 ==
=== 대수적 쌍대 공간과의 관계 ===
일반적으로 [[위상환]] 위의 연속 쌍대 가군은 (대수적) [[쌍대 가군]]의 부분 가군을 이룬다.

즉, 임의의 [[위상환]] <math>K</math> 위의 [[위상 왼쪽 가군]] <math>_KV</math>에 대하여, 연속 쌍대 가군에서 (대수적) [[쌍대 가군]] <math>V^\vee</math>으로 가는, 다음과 같은 표준적 [[단사 함수|단사]] <math>K</math>-[[선형 변환]]이 존재한다.
:<math>V^*\to V^\vee</math>
그러나 위 사상은 일반적으로 [[전단사 함수]]가 아니다.

=== 분해 가능성 ===
<math>\mathbb K\in\{\mathbb R,\mathbb C\}</math>에 대하여, <math>\mathbb K</math>-[[노름 공간]] <math>V</math>가 주어졌다고 하자. 만약 <math>V^*</math>이 (쌍대 노름 위상에 대하여) [[분해 가능 공간]]이라면, <math>V</math> 역시 (노름 위상에 대하여) 분해 가능 공간이다. 그러나 그 역은 성립하지 않는다. 예를 들어, [[르베그 공간]] <math>\ell^1(\mathbb K)</math>는 [[분해 가능 공간|분해 가능]] <math>\mathbb K</math>-[[바나흐 공간]]이지만, 그 연속 쌍대 공간 <math>\ell^\infty(\mathbb K)</math>는 [[분해 가능 공간]]이 아닌 <math>\mathbb K</math>-바나흐 공간이다.

=== 제한 사상 ===
<math>\mathbb K\in\{\mathbb R,\mathbb C\}</math>에 대하여, <math>\mathbb K</math>-[[위상 벡터 공간]] <math>V</math>와 그 부분 벡터 공간 <math>W\subseteq V</math>가 주어졌다고 하자. 그렇다면, 자연스러운 제한 사상
:<math>(\restriction W)\colon V^*\mapsto W^*</math>
:<math>(\restriction W)\colon \phi\mapsto\phi\restriction W</math>
이 존재한다. 이는 [[선형 변환]]이다.

만약 <math>V</math>가 추가로 <math>\mathbb K</math>-[[국소 볼록 공간]]이라면, <math>(\restriction W)</math>는 [[전사 함수]]이다.<ref name="RS"/>{{rp|129, Theorem V.3}}

=== 이중 연속 쌍대 공간 ===
임의의 [[위상환]] <math>K</math> 위의 [[위상 왼쪽 가군]] <math>_KV</math>에 대하여, 다음과 같은 자연스러운 [[연속 함수|연속]] [[선형 변환]]이 존재한다.
:<math>V\to V^{**}</math>
:<math>v\mapsto (\phi\mapsto\phi(v))</math>

만약 <math>V</math>가 [[하우스도르프 공간|하우스도르프]] [[국소 볼록 공간]]이라면, 이 사상은 [[단사 함수]]이다.

만약 <math>V</math>가 [[노름 공간]]이라면, 이 사상은 [[한-바나흐 정리]]에 따라서 [[등거리 변환]]이다 (그러나 [[전단사 함수]]가 아닐 수 있다). 만약 이 사상이 전단사 함수라면, <math>V</math>를 '''반사 바나흐 공간'''(反射Banach空間, {{llang|en|reflexive Banach space}})이라고 한다. (이러한 노름 공간은 물론 항상 바나흐 공간이어야 한다.)

=== 바나흐-앨러오글루 정리 ===
'''바나흐-앨러오글루 정리'''(-定理, {{llang|en|Banach–Alaoglu theorem}})에 따르면, [[노름 공간]]의 연속 쌍대 공간의 [[닫힌 공]]은 약한-* 위상 아래 [[콤팩트 집합]]이다.

구체적으로, 다음 데이터가 주어졌다고 하자.
* <math>\mathbb K\in\{\mathbb R,\mathbb C\}</math>
* <math>\mathbb K</math>-[[위상 쌍대 공간]] <math>V</math>
* <math>0\in V</math>의 [[근방]] <math>0\in N\subseteq V</math>
그렇다면, 다음을 구성할 수 있다.
* <math>V</math>의 연속 쌍대 공간 <math>V^*</math>. 이 역시 <math>\mathbb K</math>-[[노름 공간]]을 이룬다.
* 집합 <math>N^\circ=\{\phi\in V^*\colon \forall v\in N\colon|\phi(v)|\le1\}\subseteq V^*</math>.
* <math>V^*</math> 위에는 [[쌍대 노름]]에 대한 [[거리 위상]] 대신 약한-* 위상을 부여할 수 있다.
'''바나흐-앨러오글루-부르바키 정리'''(-定理, {{llang|en|Banach–Alaoglu–Bourbaki theorem}})에 따르면, 다음이 성립한다.
* <math>N^\circ</math>에 [[약한-* 위상]]을 부여했을 때, 이는 [[콤팩트 공간]]을 이룬다.
<div class="mw-collapsible mw-collapsed toccolours">
'''증명:'''
<div class="mw-collapsible-content">
다음 [[위상 공간 (수학)|위상 공간]]을 정의하자.
:<math>D=\prod_{v\in N}\{\alpha\in\mathbb K\colon |\alpha|\le 1\}</math>
[[절댓값]]이 1 이하인 스칼라들의 공간 <math>\{\alpha\in\mathbb K\colon |\alpha|\le 1\}</math>은 [[콤팩트 공간]]이다. [[티호노프 정리]]에 따라서, 그 [[곱공간]] <math>D</math> 역시 [[콤팩트 공간]]이다.

이제, <math>N^\circ</math>는 다음과 같이 <math>D</math>의 [[부분 집합]]으로 여겨질 수 있다.
:<math>\iota\colon N^\circ \to D</math>
:<math>\iota\colon \phi\mapsto (\phi(v))_{v\in N}</math>
즉,
* <math>\iota</math>는 [[단사 함수]]이다. (이는 <math>N</math>이 <math>0\in V</math>의 [[근방]]이기 때문이다.)
* <math>N^\circ</math>에 약한-* 위상을 부여한다면, <math>\iota</math>는 [[연속 함수]]이며, 또한 그 [[정의역]]과 [[치역]] 사이의 [[위상 동형]]을 정의한다. (이는 약한-* 위상의 정의에 의한 것이다.)

이제, <math>\iota</math>의 [[치역]]이 [[닫힌집합]]임을 보이면 족하다. 즉, 임의의 [[그물 (수학)|그물]]
:<math>I\to N^\circ</math>
:<math>i\mapsto \phi_i</math>
의 <math>\iota</math>에 대한 상이 [[극한]]
:<math>\lim_{i\in I}(\phi_i(v))_{v\in N}\to (\alpha_v)_{v\in N}</math>
을 갖는다면, 이는 ([[곱위상]]의 정의에 따라) 대하여 [[점별 수렴]]
:<math>\forall v\in N\colon \lim_{i\in I}\phi_i(v)=\alpha_v</math>
인 것과 [[동치]]이며, 이 경우
:<math>v\mapsto \lim_{i\in I}\phi_i(v)\in\mathbb K</math>
는 <math>\mathbb K</math>-[[선형 변환]]이며, (약한-* 위상의 정의에 따라) [[그물 (수학)|그물]] <math>(\phi_i)_{i\in I}</math>의 약한-* 위상에 대한 [[극한]]이다.
</div></div>

그 특수한 경우로, 만약 <math>V</math>가 <math>\mathbb K</math>-[[노름 공간]]이며,
:<math>N=\{v\in V\colon\|v\|_V\le1\}</math>
이 그 속의 단위 [[닫힌 공]]이라고 할 때,
:<math>N^\circ=\{\phi\in V^*\colon\|\phi\|_{V^*}\le1\}</math>
은 <math>V^*</math>의 단위 [[닫힌 공]]이다. 이에 따라, [[노름 공간]]의 쌍대 노름 공간의 [[닫힌 공]]은 약한-* 위상에서 [[콤팩트 공간]]을 이룬다. 이 특수한 경우를 '''바나흐-앨러오글루 정리'''라고 한다.

바나흐-앨러오글루(-부르바키) 정리의 증명은 [[티호노프 정리]], 즉 [[선택 공리]]의 한 형태를 필요로 한다.<ref>{{저널 인용|arxiv=0911.0332|제목=The Banach–Alaoglu theorem is equivalent to the Tychonoff theorem for compact Hausdorff spaces|이름=Stefano|성=Rossi|bibcode=2009arXiv0911.0332R|날짜=2009|언어=en}}</ref>

=== 골드스틴 정리 ===
임의의 <math>\mathbb K</math>-[[노름 공간]] <math>(V,\|\|_V)</math>가 주어졌다고 하자. 그렇다면, 그 이중 연속 쌍대 공간으로 가는 표준적 사상
:<math>\iota\colon V\to V^{**}</math>
을 생각하자. 이는 [[단사 함수]]이자 [[등거리 변환]]이므로, 이 경우, <math>V</math>의 단위 [[닫힌 공]]
:<math>\operatorname{cl}(\operatorname{ball}_V(0,1))</math>
의 상은 <math>V^{**}</math>의 단위 [[닫힌 공]]
:<math>\operatorname{cl}(\operatorname{ball}_{V^{**}}(0,1))</math>
의 부분 집합이다. 이제, <math>V^{**}</math>에 약한-* 위상을 부여했을 때, <math>\operatorname{cl}(\operatorname{ball}_V(0,1))</math>는 <math>\operatorname{cl}(\operatorname{ball}_{V^{**}}(0,1))</math>의 [[조밀 집합]]이다 ('''골드스틴 정리''' -定理, {{llang|en|Goldstine theorem}}).

그러나 골드스틴 정리는 노름 위상에서는 성립하지 않는다.
<div class="mw-collapsible mw-collapsed toccolours">
'''반례''':
<div class="mw-collapsible-content">
<math>\mathbb K\in\{\mathbb R,\mathbb C\}</math>라고 하자. <math>\mathbb K</math>계수 [[영 수렴 수열 공간]] <math>\operatorname c_0(\mathbb K)</math>의 연속 쌍대 공간은 <math>\mathbb K</math>-계수 1-[[르베그 공간]] <math>\ell^1(\mathbb K)</math>이며, <math>\ell^1(\mathbb K)</math>의 연속 쌍대 공간은 <math>\mathbb K</math>계수 ∞-[[르베그 공간]] <math>\ell^\infty(\mathbb K)</math>이다.

이제, <math>\operatorname\ell^0(\mathbb K)</math>의 닫힌 [[단위 공]] <math>\operatorname{ball}_{\operatorname\ell^\infty(\mathbb K)}(0,1)</math>은 집합으로서 [[곱집합]] <math>\{\alpha\in\mathbb K\colon|\alpha|\le1\}^{\mathbb N}</math> (즉, 모든 성분의 [[절댓값]]이 1 이하인 <math>\mathbb K</math>-수열)이며, <math>\operatorname c_0(\mathbb K)</math>의 닫힌 [[단위 공]] <math>\operatorname{ball}_{\operatorname c_0(\mathbb K)}(0,1)</math>은 그 속에서 0으로 수렴하는 <math>\mathbb K</math>-수열들로 구성된 부분 집합이다. 이 경우,  (예를 들어) 0이 아닌 다른 값 <math>r</math>로 수렴하는 수열
:<math>\alpha=(\alpha_i)_{i\in\mathbb N}\in\operatorname{ball}_{\operatorname\ell^0(\mathbb K)}(0,1)</math>
에 대하여, 반지름 <math>r</math>의 [[열린 공]]
:<math>\operatorname{ball}_{\ell^0(\mathbb C)}(\alpha,r)</math>
는 <math>\operatorname{ball}_{\operatorname c_0(\mathbb K)}(0,1)</math>와 겹치지 않는다.
</div></div>

== 예 ==
=== 유클리드 공간 ===
<math>\mathbb K\in\{\mathbb R,\mathbb C\}</math>이고, <math>V=\mathbb K^n</math>이 ([[곱위상]]을 갖춘) 유한 차원 위상 벡터 공간이라면, <math>V</math>의 연속 쌍대 공간은 (대수적) 쌍대 공간과 <math>K</math>-[[벡터 공간]]으로서 같다.

그러나 예를 들어 <math>V</math>가 무한 차원 [[힐베르트 공간]]이라면 <math>V</math>의 대수적 [[쌍대 공간]]은 연속 쌍대 공간보다 훨씬 더 크다.

=== 수열 공간 ===
{{본문|르베그 공간}}
다음과 같은 [[르베그 공간]]을 생각하자.
:<math>\ell^p(\mathbb C)=\operatorname L^p(\mathbb N;\mathbb C)=\left\{(a_i)_{i\in\mathbb N}\in\mathbb C^{\mathbb N}\colon \sum_{i=0}^\infty|a_i|^p<\infty\right\}</math>
이 경우, [[노름]]
:<math>\|a\|_p=\sqrt[p]{\sum_{i=0}^\infty|a_i|^p}</math>
을 부여하면 이는 <math>1<p<\infty</math>에 대하여 [[바나흐 공간]]을 이룬다.

이 경우, 만약 <math>1/p+1/q=1</math>이라면, <math>\ell^p(\mathbb C)</math>의 연속 쌍대 공간은 <math>\ell^q(\mathbb C)</math>이다.

또한, <math>\ell^1(\mathbb C)</math>의 연속 쌍대 공간은 유계 수열 공간
:<math>\ell^\infty(\mathbb C)
=\left\{(a_i)_{i\in\mathbb N}\in\mathbb C^{\mathbb N}\colon \sup_{i\in\mathbb N}|a_i|<\infty\right\}</math>
이다.

=== 수렴 수열 공간 ===
{{본문|수렴 수열 공간}}
<math>\mathbb K\in\{\mathbb R,\mathbb C\}</math>라고 하자. 그렇다면, 다음과 같은 두 <math>\mathbb K</math>-[[바나흐 공간]]을 정의할 수 있다.
* '''[[수렴 수열 공간]]''' <math>\operatorname c(\mathbb K)</math>는 <math>\mathbb K</math>-수열 가운데 [[수렴]]하는 것들의 공간이다.
* '''[[영 수렴 수열 공간]]''' <math>\operatorname c_0(\mathbb K)</math>는 <math>\mathbb K</math>-수열 가운데 0으로 [[수렴]]하는 것들의 공간이다.
두 경우 다 부여되는 노름은 [[르베그 공간|∞-노름]] <math>\textstyle\|a\|_\infty=\sup_{i\in\mathbb N}|a_i|</math>이다.

이 경우, <math>\operatorname c(\mathbb K)</math>의 연속 쌍대 공간과 <math>\operatorname c_0(\mathbb K)</math>의 연속 쌍대 공간 둘 다 1-[[르베그 공간]] <math>\ell^1(\mathbb K)</math>이다. 그러나 <math>\operatorname c(\mathbb K)</math>와 <math>\operatorname c_0(\mathbb K)</math>는 서로 (<math>\mathbb K</math>-[[바나흐 공간]]으로서) 동형이 아니다.

=== 쌍대 내적 공간 ===
[[내적 공간]]의 연속 쌍대 공간은 [[힐베르트 공간]]이며, 원래 내적 공간은 그 연속 쌍대 공간의 [[조밀 집합]]을 이룬다. 특히, [[힐베르트 공간]]은 스스로의 연속 쌍대 공간과 (반)동형이다 ('''리스 표현 정리''' Riesz表現定理, {{llang|en|Riesz representation theorem}}).

구체적으로, 다음이 주어졌다고 하자.
* <math>\mathbb K\in\{\mathbb R,\mathbb C\}</math>
* <math>\mathbb K</math>-[[내적 공간]] <math>(V,\langle-,-\rangle_V)</math>
그렇다면, <math>V</math>의 연속 쌍대 공간 <math>V^*</math>은 <math>\mathbb K</math>-[[노름 공간]]이다. 이 경우, <math>V^*</math>은 항상 <math>\mathbb K</math>-[[바나흐 공간]]이다. 또한, 다음과 같은 함수를 정의할 수 있다.
:<math>\iota\colon V\to V^*</math>
:<math>\iota\colon v\mapsto\langle v,-\rangle</math>
'''리스 표현 정리'''에 따르면, 다음이 성립한다.
* <math>\mathbb R</math>-[[선형 변환]]이며, 만약 <math>\mathbb K=\mathbb C</math>일 경우, 추가로 반선형 변환이다. 즉, <math>\forall\lambda\in\mathbb C\colon\iota(\lambda v)=\bar\lambda\iota(v)</math>이다.
* [[단사 함수]]이다.
* (<math>V^*</math>의 쌍대 노름에 대하여) [[등거리 변환]]이다.
* <math>\iota</math>의 [[치역]]은 (<math>V^*</math>의 쌍대 노름에 대하여) <math>V^*</math>의 [[조밀 집합]]이다. 이에 따라, <math>V</math>의 내적을 <math>V^*</math> 위에 연속적으로 연장할 수 있다.
*:<math>\langle\lim_iu_i,\lim_jv_j\rangle_{V^*}=\lim_{i,j}\langle u_i,v_i\rangle</math>
* 이에 따라 <math>V^*</math>은 <math>\mathbb K</math>-[[힐베르트 공간]]을 이루며, <math>V</math>는 그 [[조밀 집합]]이다.
* 특히, <math>V</math>가 이미 <math>\mathbb K</math>-[[힐베르트 공간]]일 때, <math>\iota</math>는 [[전단사 함수]]이며, <math>\iota</math>는 스스로의 연속 쌍대 공간과의 반동형 사상(反同型寫像, {{llang|en|anti-isomorphism}})을 이룬다. (물론, 만약 <math>K=\mathbb R</math>라면 이는 [[동형 사상]]이다.)
특히, <math>\mathbb K</math>-[[힐베르트 공간]]은 항상 <math>\mathbb K</math>-반사 바나흐 공간이다.

=== 연속 쌍대 공간이 자명한 위상 벡터 공간 ===
만약 <math>V</math>가 [[국소 볼록 공간]]이라면, 이중 연속 쌍대 공간으로의 표준적 사상 <math>V\to V^{**}</math>은 [[단사 함수]]이며, 따라서 만약 <math>V\ne\{0\}</math>라면 <math>V^*\ne\{0\}</math>이다. 그러나 국소 볼록 공간 조건을 가정하지 않으면, <math>V\ne\{0\}</math>이지만 <math>V^*=\{0\}</math>일 수 있다.

구체적으로, <math>0<p<1</math>이라고 하자. 그렇다면, [[구간]] 위의 <math>p</math>-[[르베그 공간]] <math>\operatorname L^p([0,1];\mathbb R)</math>의 연속 쌍대 공간은 자명하다.<ref>{{저널 인용|이름=Mahlon M.|성=Day|mr=2700|doi=10.1090/S0002-9904-1940-07308-2 |제목=The spaces ''L''<sup>''p''</sup> with 0<''p''<1|저널=Bulletin of the American Mathematical Society|issn=0273-0979|권=46|호=10|날짜=1940|쪽=816–823 |언어=en}}</ref>{{rp|816, Theorem 1}}
:<math>\operatorname L^p([0,1];\mathbb R)^*=\{0\}</math>
<div class="mw-collapsible toccolours mw-collapsed">
'''증명:'''
<div class="mw-collapsible-content">
[[실수 선형 변환]]
:<math>\phi\colon\operatorname L^p([0,1];\mathbb R)\to\mathbb R</math>
가 <math>\phi\ne0</math>이라고 하자. <math>\phi</math>가 [[연속 함수]]가 아님을 보이면 족하다. 특히,
:<math>\|\phi(f_i)\|_p\ge1\qquad\forall i\in\mathbb N</math>
:<math>\|f_i\|_p=2^{(p-1)i}\|f_0\|_p</math>
이 되는 [[코시 열|코시 함수열]]
:<math>f_0,f_1,f_2,\ldots\in\operatorname L^p([0,1];\mathbb R)</math>
을 찾으면,
:<math>f_i\to0</math>
:<math>\phi(f_i)\not\to0</math>
이므로 족하다. 이러한 함수열을 다음과 같이 재귀적으로 정의하자.

우선, <math>\phi\ne0</math>이므로  정의에 따라 <math>\phi(f_0)\ge1</math>인 <math>f_0\in\operatorname L^p([0,1];\mathbb R)</math>를 찾을 수 있다.

이제, 만약 <math>f_i\in\operatorname L^p([0,1];\mathbb R)</math>가 주어졌으면, 다음과 같은 함수를 생각하자.
:<math>[0,1]\mapsto\mathbb R</math>
:<math>t\mapsto\int_0^t|f_i(x)|^p\,\mathrm dx</math>
이는 [[연속 함수]]이다. 따라서, [[중간값 정리]]에 따라
:<math>\int_0^{t_i}|f_i(x)|^p\,\mathrm dx=\frac12\int_0^1|f_i(x)|^p\,\mathrm dx</math>
인 <math>0\le t_i\le1</math>이 존재한다. 이제,
:<math>g_i=2\chi_{[0,t_i]}f</math>
:<math>h_i=2\chi_{[t_i,1]}f</math>
를 정의하자 (<math>\chi</math>는 [[지시 함수]]). 이제
:<math>f_{i+1}=\begin{cases}
g_i&|\phi(g_i)|\ge|\phi(h_i)|\\
h_i&|\phi(g_i)|<|\phi(h_i)|
\end{cases}</math>
를 정의하자. 그렇다면, [[삼각 부등식]]에 따라
:<math>1\le |\phi(f_i)|=\frac12|\phi(g_i)+\phi(h_i)|
\le\frac12(|\phi(g_i)|+|\phi(h_i)|)
\le\max\left\{|\phi(g_i)|,|\phi(h_i)|\right\}</math>
이다. 또한 (편의상 <math>f_{i+1}=g_i</math>라고 하면)
:<math>\|f_{i+1}\|_p
=\int_0^1|f_{i+1}|^p
=\int_0^{t_i}|2f_i|^p
=2^p\int_0^{t_i}|f_i|^p
=2^{p-1}\int_0^1|f_i|^p
=2^{p-1}\|f_i\|_p</math>
이다. (<math>f_{i+1}=h_i</math>인 경우도 마찬가지다.)

따라서 함수열 <math>f_i</math>는 필요한 조건들을 만족시킨다.
</div></div>

=== 콤팩트 공간 위의 함수 ===
[[콤팩트 공간|콤팩트]] [[하우스도르프 공간]]과 [[연속 함수]]의 범주를 <math>\operatorname{CompHaus}</math>라고 표기하고, [[실수 바나흐 공간]]과 [[유계 작용소]]의 범주를 <math>\operatorname{Ban}_{\mathbb R}</math>로 표기하자.

그렇다면, 다음과 같은 [[함자 (수학)|함자]]들이 존재한다.
:<math>\mathcal C(-;\mathbb R)\colon\operatorname{CompHaus}\to\operatorname{Ban}_{\mathbb R}^{\operatorname{op}}</math>
:<math>\mathcal C(-;\mathbb R)\colon V\mapsto\mathcal C(V;\mathbb R)</math>
:<math>\mathcal C(-;\mathbb R)\colon(f\colon X\to Y)\mapsto(g\in\mathcal C(Y;\mathbb R)\mapsto f\circ g)</math>
:<math>(-)^*\colon\operatorname{Ban}_{\mathbb R}^{\operatorname{op}}\to\operatorname{Ban}_{\mathbb R}</math>
:<math>(-)^*\colon V\mapsto V^*</math>
:<math>(-)^*\colon (T\colon V\to W)\mapsto(T^*\colon W^*\to V^*)</math>
여기서 연속 쌍대 공간 <math>(-)^*</math>에는 강한 위상을 부여한다.

이 밖에도, 다음과 같은 함자를 정의할 수 있다.
:<math>M\colon\operatorname{CompHaus}\to\operatorname{Ban}_{\mathbb R}</math>
[[콤팩트 공간|콤팩트]] [[하우스도르프 공간]] <math>X</math>에 대하여, <math>M(X)</math>는 <math>X</math> 위의 부호를 갖는 실수 유한 [[보렐 측도]]들의 집합이다. 즉, <math>X</math> 위의 [[베르 시그마 대수]] <math>\operatorname{Baire}(X)</math> 위의 두 측도 <math>(\mu_1,\mu_2)</math>의 차들의 동치류 집합이다. <math>M</math> 위에서 측도의 [[전변동]]은 [[노름]]을 정의하며, 이에 따라 <math>M(X)</math>는 [[실수 바나흐 공간]]을 이룬다.

임의의 연속 함수 <math>f\colon X\to Y</math>에 대하여, <math>M(f)\colon M(X)\to M(Y)</math>는 다음과 같다.
:<math>f(\mu)(S)=\mu(f^{-1}(S))\qquad\forall S\in\operatorname{Baire}(Y)</math>
그렇다면, '''리스-마르코프-가쿠타니 표현 정리'''(Riesz-Марков-[角谷]表現定理, {{llang|en|Riesz–Markov–Kakutani representation theorem}})에 따르면, 다음과 같은 [[자연 동형]] <math>\textstyle\int\colon M\Rightarrow (-)^*\circ\mathcal C(-;\mathbb R)</math>이 존재한다.<ref>{{저널 인용|제목=The Riesz representation theorem revisited|이름=Donald G.|성=Hartig |jstor=2975760|doi=10.2307/2975760|권=90|호=4|쪽=277–280|날짜=1983-04|저널=The American Mathematical Monthly|issn=0002-9890|언어=en}}</ref>
:<math>\int_X\colon M(X)\to\mathcal C(X,\mathbb R)^*\qquad(X\in\operatorname{CompHaus})</math>
:<math>\int_X\colon \mu\mapsto\left(f\mapsto\int_Xf\;\mathrm{d}\mu\right)</math>
즉, 다음과 같은 가환 그림이 성립한다.
:<math>\begin{matrix}
&&\operatorname{Ban}_{\mathbb R}^{\operatorname{op}}\\
&^{\mathcal C(-;\mathbb R)}\nearrow&{\color{White}\scriptstyle\int}\Uparrow{\scriptstyle\int}&\searrow^{(-)^*}\\
&\operatorname{CompHaus}&\xrightarrow[M(-)]{}&\operatorname{Ban}_{\mathbb R}
\end{matrix}</math>

=== 국소 콤팩트 공간 위의 함수 ===
리스-마르코프-가쿠타니 정리는 [[콤팩트 공간|콤팩트 하우스도르프 공간]]에서 [[국소 콤팩트]] [[하우스도르프 공간]]으로 쉽게 일반화할 수 있다. 이 경우, 임의의 연속 함수를 [[콤팩트 지지]] [[연속 함수]]로 대체하여야 한다.

<math>X</math>가 [[국소 콤팩트]] [[하우스도르프 공간]]이라고 하자. 그렇다면, <math>M(X)</math>를 <math>X</math> 위의 국소 유한 [[베르 측도]]의 집합(즉, 모든 [[콤팩트 집합]]이 유한 측도를 갖는 측도)이라고 하자. 이에 [[전변동]]을 노름으로 삼으면 이는 [[바나흐 공간]]을 이룬다.

또한, <math>\mathcal C_0(X,\mathbb R)</math>가 무한에서 0이 되는 실수 값 연속 함수 <math>X\to\mathbb R</math>의 집합이라고 하자. 이 역시 [[실수 바나흐 공간]]을 이룬다. 그렇다면, 다음과 같은 [[자연 동형]]이 존재한다.
:<math>\int\colon M\Rightarrow (-)^*\circ\mathcal C_0(-;\mathbb R)</math>
:<math>\int_X\colon M(X)\to\mathcal C_0(M;\mathbb R)\qquad(X\in\operatorname{lcHaus})</math>
:<math>\int_X\colon\mu\mapsto\int_Xf\;\mathrm d\mu</math>
즉, 다음과 같은 가환 그림이 성립한다.
:<math>\begin{matrix}
&&\operatorname{Ban}_{\mathbb R}^{\operatorname{op}}\\
&^{\mathcal C_0(-;\mathbb R)}\nearrow&{\color{White}\scriptstyle\int}\Uparrow{\scriptstyle\int}&\searrow^{(-)^*}\\
&\operatorname{lcHaus}&\xrightarrow[M(-)]{}&\operatorname{Ban}_{\mathbb R}
\end{matrix}</math>
여기서
* <math>\operatorname{lcHaus}</math>는 [[국소 콤팩트]] [[하우스도르프 공간]]과 [[연속 함수]]의 [[범주 (수학)|범주]]이다.
* <math>\operatorname{Ban}_{\mathbb R}</math>는 [[실수 바나흐 공간]]과 [[유계 작용소]]의 [[범주 (수학)|범주]]이다.

특히,
따라서, 임의의 [[국소 콤팩트]] [[하우스도르프 공간]] <math>X</math>에 대하여, 다음과 같은 실수 [[위상 벡터 공간]]들의 동형이 존재한다.
:<math>\mathcal C^0_{\text{compact}}(X;\mathbb R)^*\cong \mathcal C^0_0(X;\mathbb R)\cong M(X;\mathbb R)</math>
여기서
* <math>\mathcal C^0_{\text{compact}}(X;\mathbb R)</math>는 [[콤팩트 공간|콤팩트]] [[지지 집합|지지]] 실수 값 함수 <math>X\to\mathbb R</math>들의 실수 [[노름 공간]]이다. 이 경우 [[균등 노름]]을 부여한다.
* <math>\mathcal C^0_0(X;\mathbb R)</math>는 무한대에서 0이 되는 [[연속 함수]]의 공간이다. 즉, 임의의 양의 실수 <math>\epsilon>0</math>에 대하여, <math>\textstyle\sup_{x\in X\setminus K}\|f(x)\|<\epsilon</math>인 [[콤팩트 집합]] <math>K\subseteq X</math>가 존재한다. 이 경우 [[균등 노름]]을 부여한다. 이는 <math>\mathcal C^0_{\text{compact}}(X;\mathbb R)</math>의 [[완비 거리 공간|완비화]]이다.

리스-마르코프-가쿠타니 표현 정리에 따라, 다음 [[위상 벡터 공간]]들이 서로 동형이다.
:<math>\mathcal C^0_{\text{compact}}(\mathbb N;\mathbb R)^*=\mathcal C_0^0(\mathbb N;\mathbb R)^*=\operatorname L^1(\mathbb N;\mathbb R)</math>
여기서
* <math>\mathcal C^0_{\text{compact}}(\mathbb N;\mathbb R)=\{s\in\mathbb R^{\mathbb N}\colon\exists N\in\mathbb N\forall i\ge N\colon s_i=0\}</math>는 [[유한 집합|유한]] [[지지 집합|지지]] 실수열들의 [[노름 공간]]이다.
* <math>\mathcal C^0_0(\mathbb N;\mathbb R)=\{s\in\mathbb R^{\mathbb N}\colon\textstyle\lim_{i\in\mathbb N}s_i=0\}</math>는 [[유계 함수|유계]] 수열로 구성된 [[바나흐 공간]]이며, <math>\mathcal C^0_{\text{compact}}(\mathbb N,\mathbb R)</math>의 [[완비 거리 공간|완비화]]이다.
* <math>\ell^1=L^1(\mathbb N;\mathbb R)=\{s\in\mathbb R^{\mathbb N}\colon\textstyle\sum_{i=0}^\infty|s|<\infty\}</math>는 [[절대 수렴]] 실수열들의 [[바나흐 공간]]이다.

=== 대각합류 작용소 ===
{{본문|대각합류 작용소}}
[[복소수 힐베르트 공간]] <math>H</math>가 주어졌다고 하자. 그렇다면, 그 위의 모든 <math>H\to H</math> [[유계 작용소]]들의 [[폰 노이만 대수]] <math>\operatorname B(H)</math> 및 그 부분 집합인, [[대각합류 작용소]]들의 [[복소수 바나흐 공간]] <math>\mathfrak S_1(H)\subseteq\operatorname B(H)</math>을 정의할 수 있다. 이 경우, <math>\mathfrak S_1(H)</math>의 연속 쌍대 공간은 <math>\operatorname B(H)</math>와 동형이다. 구체적으로, 임의의 <math>A\in\mathfrak S_1(H)</math> 및 <math>B\in\operatorname B(H)</math>에 대하여,
:<math>\langle A,B\rangle=\operatorname{tr}(AB)=\operatorname{tr}(BA)</math>
이다. (다시 말해, [[대각합류 작용소]]와 [[유계 작용소]]의 [[함수의 합성|합성]]은 항상 [[대각합류 작용소]]이다.)

특히, 이에 따라 <math>\mathfrak S_1(H)^*\cong\operatorname B(H)</math> 위에 약한-* 위상을 정의할 수 있다. 이를 '''초약 위상'''(超弱位相, {{llang|en|ultraweak topology}})이라고 한다.

=== 폰 노이만 대수 ===
{{본문|폰 노이만 대수}}
[[C* 대수]] <math>A</math>에 대하여, 다음 두 조건이 서로 [[동치]]이다.
* <math>A</math>는 ([[복소수 바나흐 공간]]으로서) 원쌍대 공간을 갖는다.
* <math>A</math>는 [[폰 노이만 대수]]이다.
이 경우, <math>A</math>의 원쌍대 공간 <math>A_*</math>은 동형 사상 아래 유일하다.

구체적으로, 만약 어떤 [[복소수 힐베르트 공간]] <math>H</math>에 대하여 <math>A\subseteq\operatorname B(H)</math>이라고 하자. 그렇다면, <math>A</math>의 원쌍대 공간 <math>A_*</math>는 [[복소수 선형 변환]] <math>\phi\colon A\to\mathbb C</math> 가운데, <math>A</math>에 초약 위상을 부여했을 때 [[연속 함수]]가 되는 것들로 구성된 집합이다.

== 역사 ==
1907년에 [[리스 프리제시]]<ref>{{저널 인용|이름=Frédéric|성=Riesz|저자링크=리스 프리제시|날짜=1907-06-24|제목=Sur une espèce de Géométrie analytique des systèmes de fonctions sommables|저널=Comptes rendus hebdomadaires des séances de l’Académie des sciences|권=144|쪽=1409–1411|url=http://www.cmap.polytechnique.fr/~alouges/MAP431/Riesz.pdf|언어=fr|확인날짜=2017-04-10|보존url=https://web.archive.org/web/20160829033315/http://www.cmap.polytechnique.fr/~alouges/MAP431/Riesz.pdf#|보존날짜=2016-08-29|url-status=dead}}</ref>와 [[모리스 르네 프레셰]]<ref>{{저널 인용|이름=M.|성=Fréchet|저자링크=모리스 르네 프레셰|날짜=1907|제목=Sur les ensembles de fonctions et les opérations linéaires|저널=Comptes rendus hebdomadaires des séances de l’Académie des sciences|권=144|쪽=1414–1416|언어=fr}}</ref>가 각각 독자적으로 1907년에 힐베르트 공간의 리스 표현 정리를 증명하였다.

1909년에 [[리스 프리제시]]는 리스-마르코프-가쿠타니 표현 정리를 실수 [[폐구간]]의 경우에 대하여 증명하였다.<ref>{{저널 인용 | last1 = Riesz | first1 = Frédéric | 저자링크 = 리스 프리제시 | 날짜 = 1909 | title = Sur les opérations fonctionnelles linéaires | journal = Comptes rendus hebdomadaires des séances de l’Académie des sciences | volume = 149 | issue =  | pages = 974–977 | url = http://nonagon.org/ExLibris/sites/default/files/pdf/Riesz-Operations-Fonctionnelles-Lineaires-1909.pdf | 언어 = fr | 확인날짜 = 2017-04-10 | 보존url = https://web.archive.org/web/20161107235924/http://nonagon.org/ExLibris/sites/default/files/pdf/Riesz-Operations-Fonctionnelles-Lineaires-1909.pdf | 보존날짜 = 2016-11-07 | url-status = dead }}</ref><ref>{{저널 인용|이름=J. D.|성=Gray|제목=The shaping of the Riesz representation theorem: a chapter in the history of analysis|저널=Archive for History in the Exact Sciences|권=31|호=2|날짜=1984|쪽=127–187|doi=10.1007/BF00348293|issn=0003-9519|언어=en}}</ref> 이후 [[안드레이 마르코프]]<ref>{{저널 인용|zbl=0020.10804|last=Markoff|first=A.|저자링크=안드레이 마르코프|title=On mean values and exterior densities|journal=Математический сборник|pages=165–190|url=http://mi.mathnet.ru/msb5744|year=1938|권=4|호=1|issn=0368-8666|언어=en}}{{깨진 링크|url=http://mi.mathnet.ru/msb5744 }}</ref>와 [[가쿠타니 시즈오]]<ref>{{저널 인용|mr=0005778
|last=Kakutani|first= Shizuo|저자링크=가쿠타니 시즈오
|title=Concrete representation of abstract (''M'')-spaces (a characterization of the space of continuous functions)
|journal=Annals of Mathematics |volume=42|호=4|날짜=1941-10|pages= 994–1024|doi=10.2307/1968778|jstor=1968778|issn=0003-486X|언어=en}}</ref>가 이를 일반화하였다.

[[스테판 바나흐]]가 1932년에 바나흐-앨러오글루 정리의 특수한 경우를 증명하였고,<ref>{{저널 인용|이름=Stefan|성=Banach|저자링크=스테판 바나흐|제목=Théorie des opérations linéaires|날짜=1932|출판사=Instytut Matematyczny Polskiej Akademi Nauk|위치=[[바르샤바]]|url=http://pldml.icm.edu.pl/pldml/element/bwmeta1.element.zamlynska-bb1a306d-b6dd-4530-8298-3681e965c272|언어=fr|확인날짜=2017-04-10|보존url=https://web.archive.org/web/20170411054919/http://pldml.icm.edu.pl/pldml/element/bwmeta1.element.zamlynska-bb1a306d-b6dd-4530-8298-3681e965c272|보존날짜=2017-04-11|url-status=dead}}</ref>{{rp|123, §VIII.4, Théorème VII.3}} 1940년에 [[리오니더스 앨러오글루]]가 이를 임의의 [[노름 공간]]에 대하여 일반화하였다.<ref>{{저널 인용|이름=Leon|성=Alaoglu|저자링크=리오니더스 앨러오글루|날짜=1940-01|제목=Weak topologies of normed linear spaces|저널=Annals of Mathematics|권=41|호=1|쪽=252–267|doi=10.2307/1968829|jstor=1968829|issn=0003-486X|언어=en}}</ref> [[니콜라 부르바키]]는 같은 해에 이를 임의의 [[위상 벡터 공간]]에 대하여 일반화하였다.

[[국소 볼록 공간]]의 쌍대성 이론은 고트프리트 쾨테({{llang|en|Gottfried Köthe}}) · [[장 디외도네]] · 조지 매키({{llang|en|George Mackey}}) 등이 1930년대에 제창하였다. 이후 [[로랑 슈와르츠]]와 [[알렉산더 그로텐디크]] 등이 그 이론에 공헌하였고, 이후 [[니콜라 부르바키]]가 그 이론을 1950년대에 집대성하였다.<ref>{{서적 인용|이름=Nicolas|성=Bourbaki|저자링크=니콜라 부르바키|제목=Espaces vectoriels topologiques. Chapitres I et II|날짜=1953|mr=54161|zbl=0050.10703 |출판사=Hermann|총서=Actualités scientifiques et industrielles|권=1189|언어=fr}}</ref><ref>{{서적 인용|이름=Nicolas|성=Bourbaki|저자링크=니콜라 부르바키|제목=Espaces vectoriels topologiques. Chapitres III, IV et V|날짜=1955|출판사=Hermann|총서=Actualités scientifiques et industrielles|권=1229|zbl=0066.35301 |언어=fr}}</ref>

== 각주 ==
{{각주}}

== 외부 링크 ==
* {{eom|title=Adjoint space}}
* {{eom|title=Weak topology}}
* {{eom|title=Strong topology}}
* {{eom|title=Second dual space}}
* {{eom|title=Reflexive space}}
* {{eom|title=Riesz representation theorem}}
* {{매스월드|id=DualNormedSpace|title=Dual normed space}}
* {{매스월드|id=ReflexiveBanachSpace|title=Reflexive Banach space}}
* {{매스월드|id=Banach-AlaogluTheorem|title=Banach-Alaoglu theorem|이름=Christopher|성=Stover}}
* {{매스월드|id=RieszRepresentationTheorem|title=Riesz representation theorem}}
* {{nlab|id=Banach-Alaoglu theorem}}
* {{nlab|id=Riesz representation theorem}}
* {{웹 인용|url=https://proofwiki.org/wiki/Riesz_Representation_Theorem_(Hilbert_Spaces)|제목=Riesz representation theorem (Hilbert spaces)|웹사이트=ProofWiki|언어=en|확인날짜=2017-04-10|archive-date=2020-10-27|archive-url=https://web.archive.org/web/20201027053544/https://proofwiki.org/wiki/Riesz_Representation_Theorem_(Hilbert_Spaces)|url-status=dead}}
* {{웹 인용|url=https://terrytao.wordpress.com/2009/01/17/254a-notes-5-hilbert-spaces/|제목=245B, notes 5: Hilbert spaces|이름=Terrence|성=Tao|저자링크=테런스 타오|날짜=2009-01-17|웹사이트=What’s New|언어=en|확인날짜=2017-04-10|보존url=https://web.archive.org/web/20170710022616/https://terrytao.wordpress.com/2009/01/17/254a-notes-5-hilbert-spaces/|보존날짜=2017-07-10|url-status=dead}}
* {{웹 인용|url=https://terrytao.wordpress.com/2009/03/02/245b-notes-12-continuous-functions-on-locally-compact-hausdorff-spaces/|제목=245B, Notes 12: Continuous functions on locally compact Hausdorff spaces|이름=Terrence|성=Tao|저자링크=테런스 타오|날짜=2009-03-02|웹사이트=What’s New|언어=en|확인날짜=2017-04-10|보존url=https://web.archive.org/web/20170710180220/https://terrytao.wordpress.com/2009/03/02/245b-notes-12-continuous-functions-on-locally-compact-hausdorff-spaces/|보존날짜=2017-07-10|url-status=dead}}
* {{웹 인용|url=http://nonagon.org/ExLibris/riesz-proves-riesz-representation-theorem|제목=Riesz Proves the Riesz Representation Theorem|이름=Mike|성=Bertrand|날짜=2015-05-24|웹사이트=Ex Libris|언어=en|확인날짜=2017-04-10|보존url=https://web.archive.org/web/20161107235903/http://nonagon.org/ExLibris/riesz-proves-riesz-representation-theorem|보존날짜=2016-11-07|url-status=dead}}
* {{웹 인용|url=http://mathoverflow.net/questions/233282/is-the-topological-dual-of-a-banach-space-weakly-closed-in-its-algebraic-dual|제목=Is the topological dual of a Banach space weakly* closed in its algebraic dual?|출판사=Math Overflow|언어=en|확인날짜=2016-12-31|보존url=https://web.archive.org/web/20170101001032/http://mathoverflow.net/questions/233282/is-the-topological-dual-of-a-banach-space-weakly-closed-in-its-algebraic-dual|보존날짜=2017-01-01|url-status=dead}}
* {{웹 인용|url=http://mathoverflow.net/questions/13747/algebraic-dual-continuous-dual|제목=Algebraic dual / continuous dual|출판사=Math Overflow|언어=en|확인날짜=2016-12-31|보존url=https://web.archive.org/web/20170101001317/http://mathoverflow.net/questions/13747/algebraic-dual-continuous-dual|보존날짜=2017-01-01|url-status=dead}}
* {{웹 인용|url=http://mathoverflow.net/questions/44183/dual-of-bounded-uniformly-continuous-functions|제목=Dual of bounded uniformly continuous functions|출판사=Math Overflow|언어=en|확인날짜=2016-12-31|보존url=https://web.archive.org/web/20170101001223/http://mathoverflow.net/questions/44183/dual-of-bounded-uniformly-continuous-functions|보존날짜=2017-01-01|url-status=dead}}
* {{웹 인용|url=https://mathprelims.wordpress.com/2008/07/20/the-continuous-dual-space/|제목=The continuous dual space|웹사이트=Mathematics Prelims|날짜=2008-07-20|이름=C.|성=Johnson|언어=en|확인날짜=2016-12-31|보존url=https://web.archive.org/web/20161231170919/https://mathprelims.wordpress.com/2008/07/20/the-continuous-dual-space/|보존날짜=2016-12-31|url-status=dead}}

[[분류:함수해석학]]