연분수 문서 원본 보기

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'''연분수'''(連分數)는 다음과 같은 꼴의 분수를 말한다.
:<math>x = a_0 + \cfrac{1}{a_1 + \cfrac{1}{a_2 + \cfrac{1}{a_3+\,\ddots}}} </math>
이 식에서 <math>a_0</math> 은 정수, 나머지 <math>a_n</math> 은 양의 정수이다. 위 분수꼴의 수를 <math>x = [a_0; a_1, a_2, a_3]</math>로 쓰기도 한다. 같은 방법으로 일반적인 연분수를 <math>[a_0; a_1, a_2, \cdots, a_n]</math> 로 쓴다. 이를 유한에만 한정하지 않고, 무한까지 확장하여, '''무한 연분수'''를 다음과 같이 [[극한]]을 이용하여 정의할 수도 있다.

:<math>[a_{0}; a_{1}, a_{2}, a_{3}, \cdots ] = \lim_{n \to \infty} [a_{0}; a_{1}, a_{2}, \cdots, a_{n}] </math>

위 극한은 어떤 양의 정수 <math>a_1, a_2, a_3, \cdots</math> 들에 대해서도 존재한다.

모든 유한 연분수는 유리수이며, 모든 [[유리수]]는 <math>[2; 3, 1] = [2; 4] = \frac 9 4 = 2.25</math>의 경우와 같이 정확히 두 가지 유한 연분수로 나타내어진다. 모든 무한 연분수는 [[무리수]]이며, 모든 무리수는 무한 연분수로 표현가능하며 그 표현은 유일하다.

무한 연분수 중 꼬리들이 반복되어 나타나는 것을 '''순환 연분수'''라고 한다. 어떤 무리수가 순환 연분수로 표현가능할 필요충분조건은 그것이 어떤 이차방정식의 해가 되는 것이다. 즉, '''이차 무리수'''({{llang|en|quadratic irrational number}})인 것이다.

== 근사분수 ==
무리수를 무한 연분수로 나타내는 방법은, 처음 몇 항까지의 연분수가 좋은 유리수 근삿값을 주기 때문에 특히 유용하다. 이런 근사 유리수값을 연분수의 ''[[근사분수]](convergents)''라 부른다.

짝수 근사분수는 실제값보다 작은데 비하여, 홀수 근사분수는 실제값보다 크다.

예를 들어, [[원주율]] 파이(<math>\pi</math>)의 근사분수들을 계산해 보자.

:<math>
\begin{aligned}
a_0 & = \lfloor \pi \rfloor = 3 & u_1 & = \frac 1 {\pi -  3} \approx \dfrac {  113} {  16} =  7.0625 \\
a_1 & = \lfloor u_1 \rfloor = 7 & u_2 & = \frac 1 {u_1 -  7} \approx \dfrac {31993} {2000} = 15.9965 \\
a_2 &= \lfloor u_2 \rfloor = 15 & u_3 & = \frac 1 {u_2 - 15} \approx \dfrac { 1003} {1000} =  1.003
\end{aligned}
</math>
::(<math>\lfloor x \rfloor</math>는 <math>x</math>보다 작은 최대 정수)

이런 식으로 계속 나간다.

이를 반복하면, 무한 연분수
:<math>
\begin {aligned} 
\pi & = [3; 7, 15, 1, 292, 1, 1, 1, 2, \cdots] \\
& = 3 + \cfrac{1}{7 + \cfrac{1}{15 + \cfrac{1}{1 + \cfrac{1}{292 + \cfrac{1}{1 + \cfrac{1}{1 + \cfrac{1}{1 + \cfrac{1}{2 + \cfrac{1}{\ddots}}}}}}}}}
\end {aligned}
</math>
를 얻는다.

<math>\pi</math>의 세 번째 근사분수는 <math>[3; 7, 15, 1] = \frac {355} {113} = 3.14159292035\cdots</math>이며,이는 실제 <math>\pi</math> 값에 매우 가까운 값이다.

=== 오차의 한계 ===
어떤 무리수의 <math>n</math>번째 근사분수는, 그것을 분모와 분자가 서로소인 분수로 나타내었을 때의 분모보다 작은 분모를 가진 어떠한 유리수보다 주어진 무리수에 가까이 근접해 있다.

이 때의 오차의 한계는 <math>M</math>을 주어진 무리수, 각각 <math>p_n</math>과 <math>q_n</math>을 <math>n</math>번째 근사분수의 서로소인 분자와 분모라 할 때, 다음과 같은 식으로 주어진다.
: <math>\left|M- \frac{p_n}{q_n}\right|< \frac{1}{2{q_n}^2}</math>
또한, 다음 식
: <math>\left|M- \frac{P}{Q}\right|< \frac{1}{2Q^2}</math>
을 만족하는 가장 작은 정수 <math>Q</math>에 대하여, 적당한 자연수 <math>k</math>가 존재하여 <math>P= p_k</math>와 <math>Q= q_k</math>를 만족한다.

== 같이 보기 ==
{{위키공용분류}}
{{포털|수학}}
* [[펠 방정식]]

== 참고 문헌 ==
* 오정환, 이준복, 『정수론』, 교우사, 2003

== 외부 링크 ==
* {{언어링크|en}} [http://wims.unice.fr/wims/wims.cgi?module=tool/number/contfrac.en Online continued fraction calculator]
{{전거 통제}}

[[분류:연분수| ]]
[[분류:분수]]
[[분류:해석학 (수학)]]