연결합 문서 원본 보기

{{위키데이터 속성 추적}}
[[위상수학]]에서 '''연결합'''(連結合, {{llang|en|connected sum}})은 두 [[다양체]] 또는 [[매끄러운 다양체]]가 주어졌을 때, 각각에서 작은 [[공 (수학)|공]]을 도려낸 뒤 그 경계를 따라 이어붙여 더 큰 (매끄러운) 다양체를 만드는 연산이다.

== 정의 ==
연결합은 같은 차원의 두 (위상) [[다양체]] 또는 두 [[매끄러운 다양체]]에 대하여 정의할 수 있다.

다음과 같은 데이터가 주어졌다고 하자.
* [[양의 정수]] <math>n\in\mathbb Z^+</math>
* <math>n</math>차원 [[연결 공간|연결]] (위상) [[다양체]] <math>M</math>, <math>N</math>
* 만약 <math>M</math>이 [[가향 다양체]]일 경우, <math>M</math> 위의 [[방향 (다양체)|방향]] (<math>M</math>이 비가향 다양체일 경우 필요없음)
* 만약 <math>N</math>이 [[가향 다양체]]일 경우, <math>N</math> 위의 [[방향 (다양체)|방향]] (<math>N</math>이 비가향 다양체일 경우 필요없음)
그렇다면, 다음과 같은 데이터를 임의로 고를 수 있다.
* <math>M</math> 속의 점 <math>x\in M</math>
* <math>N</math> 속의 점 <math>y\in N</math>
* <math>x</math>의 닫힌 [[근방]]을 이루는 작은 닫힌 [[공 (수학)|공]] <math>\iota_M\colon\bar{\mathbb D}^n\to M</math>, <math>\iota_M(\mathbb D^n)\ni x</math>. 만약 <math>M</math>이 [[유향 다양체]]라면, <math>\iota_M</math>이 [[방향 (다양체)|방향]]을 보존하게 정의한다.
* <math>y</math>의 닫힌 [[근방]]을 이루는 작은 닫힌 [[공 (수학)|공]] <math>\iota_N\colon\bar{\mathbb D}^n\to N</math>, <math>\iota_N(\mathbb D^n)\ni y</math>. 만약 <math>M</math>이 [[유향 다양체]]라면, <math>\iota_N</math>이 [[방향 (다양체)|방향]]을 보존하게 정의한다.
* [[초구]] <math>\mathbb S^{n-1}=\partial\bar{\mathbb D}^n</math> 위의, [[방향 (다양체)|방향]]을 바꾸는 [[연속 함수]] <math>f\colon\mathbb S^{n-1}\to\mathbb S^{n-1}</math>. (이러한 함수의 [[호모토피류]]는 유일하다.)
*:<math>f\colon\mathbb S^{n-1}\to\mathbb S^{n-1}</math>
*:<math>f_*[\mathbb S^{n-1}]=-[\mathbb S^{n-1}]</math>

그렇다면, 다음과 같은 [[위상 공간 (수학)|위상 공간]]을 정의할 수 있다.
:<math>M\#N=(M\setminus\iota_M(\mathbb D^n))\cup_{\iota_M\circ f\circ\iota_N^{-1}} (N\setminus\iota_N(\mathbb D^n))</math>
여기서 <math>\cup_{\cdots}</math>는 [[붙임 공간]]이다. 즉, 두 다양체에서 작은 열린 공을 도려낸 뒤, 그 경계에 따라 ([[유향 다양체]]인 경우 방향을 바꾸는 방향으로) 붙인 것이다. 이를 <math>M</math>과 <math>N</math>의 '''연결합'''({{llang|en|connected sum}})이라고 한다. 연결합은 임의로 선택한 데이터 (<math>x</math>, <math>y</math>, <math>\iota_M</math>, <math>\iota_N</math>, <math>f</math>)에 의존하지 않음을 보일 수 있다. 즉, 서로 다른 임의의 데이터를 선택하더라도 얻어지는 연결합은 서로 (비표준적으로) [[위상 동형]]이다. 또한, 두 다양체의 연결합은 항상 다양체임을 보일 수 있다.

=== 매끄러운 다양체의 연결합 ===
만약 <math>M</math>과 <math>N</math>이 [[매끄러운 다양체]]일 경우, 연결합 <math>M\#N</math> 위에는 추가로 자연스러운 매끄러움 구조가 존재하여, [[매끄러운 다양체]]를 이룬다.

== 성질 ==
[[다양체]] 또는 [[매끄러운 다양체]]의 연결합은 ([[위상 동형]] 아래) [[교환 법칙]]을 만족시킨다.
:<math>M\#N\cong N\#M</math>

2차원 이상의 다양체의 경우, 두 [[연결 공간|연결]] 비가향 또는 [[유향 다양체]]의 연결합은 [[연결 공간]]이다. (1차원에서, 두 연결 다양체의 연결합은 연결되지 않을 수 있다.) 이 경우, [[연결 공간|연결]] 비가향 또는 [[유향 다양체]]의 연결합은 ([[위상 동형]] 아래) [[결합 법칙]]을 만족시키며, 매끄러운 다양체의 경우도 마찬가지이다. 따라서, 2차원 이상에서 [[연결 공간|연결]] 비가향 또는 [[유향 다양체]]들은 가환 [[모노이드]]를 이룬다.

연결합 모노이드의 항등원은 [[초구]] <math>\mathbb S^n</math>이다. (초구의 경우, [[방향 (다양체)|방향]]을 뒤집는 [[자기 동형]]이 존재하므로 방향을 어떻게 잡든 상관없다.) 즉, 임의의 <math>n</math>차원 [[연결 공간|연결]] 비가향 또는 [[유향 다양체]]에 대하여, 다음이 성립한다.
:<math>M\#\mathbb S^n\cong M</math>

== 예 ==
임의의 차원 <math>n>0</math>에서, 두 [[유클리드 공간]]의 연결합은 다음과 같은 기둥이다.
:<math>\mathbb R^n\#\mathbb R^n\cong\mathbb S^{n-1}\times\mathbb R</math>
보다 일반적으로, 임의의 차원 <math>n>0</math>에서, 구멍이 <math>p</math>개 뚫린 [[초구]]와 <math>q</math>개 뚫린 초구의 연결합은 구멍이 <math>p+q</math>개 뚫린 [[초구]]이다. ([[유클리드 공간]]은 구멍이 1개 뚫린 초구와 [[위상 동형]]이며, 기둥 <math>\mathbb S^{n-1}\times\mathbb R</math>은 구멍이 2개 뚫린 초구와 [[위상 동형]]이다.)
:<math>(\mathbb S^n\setminus\{x_1,\dots,x_p\})\#(\mathbb S^n\setminus\{y_1,\dots,y_q\})\cong\mathbb S^n\setminus\{z_1,\dots,z_{p+q}\}</math>

=== 1차원 다양체 ===
1차원 ([[하우스도르프 공간|하우스도르프]] [[파라콤팩트]]) [[연결 공간|연결]] [[다양체]]는 모두 [[원 (기하학)|원]] <math>\mathbb S^1</math> 또는 [[실직선]] <math>\mathbb R</math>와 [[위상 동형]]이다. 둘 다 [[유향 다양체]]이며, 둘 다 방향을 뒤집는 [[자기 동형]]을 갖는다. 이 경우, 가능한 연결합들은 다음과 같다.
:<math>\mathbb S^1\#\mathbb R\cong\mathbb R</math>
:<math>\mathbb R\#\mathbb R\cong\mathbb R\sqcup\mathbb R</math>
:<math>\mathbb S^1\#\mathbb S^1\cong\mathbb S^1</math>
특히, <math>\mathbb R\#\mathbb R</math>의 경우 [[연결 공간]]이 아님을 알 수 있다. 이는 0차원 [[초구]] <math>\mathbb S^0</math>가 [[연결 공간]]이 아니기 때문에 가능하다.

=== 2차원 다양체 ===
[[파일:Connected sum.svg|섬네일|right|두 개의 [[원환면]]의 연결합은 종수가 2인 [[리만 곡면]]이다.]]
2차원 콤팩트 연결 다양체의 경우, 모두 [[원환면]] <math>\mathbb T^2</math>과 [[사영 평면]] <math>\mathbb P^2</math>들의 연결합으로 나타낼 수 있다. (원환면은 [[가향 다양체]]이며, 방향을 뒤집는 [[자기 동형]]을 갖는다. [[사영 평면]]은 비가향 다양체이다.) 2차원 콤팩트 연결 유향 또는 비가향 다양체들의 연결합 가환 [[모노이드]]는 다음과 같은 표시를 갖는다.
:<math>\langle\mathbb P^2,\mathbb T^2|\mathbb P^2\#\mathbb P^2\#\mathbb P^2=\mathbb T^2\#\mathbb P^2\rangle</math>
(비콤팩트 다양체의 분류는 더 복잡하다.)
{{-}}
{{증명|부제=다각형 표시를 통한 증명}}
모든 2차원 콤팩트 연결 다양체는 [[다각형 표시]]를 갖는다. 이는 모든 2차원 콤팩트 연결 다양체가 [[삼각 분할]]될 수 있다는 사실로부터 유도할 수 있으며, 이 사실은 러도 티보르가 1925년에 증명하였다. 아래 증명에서는 임의로 취한 다각형 표시로부터 표준적인 다각형 표시를 유도한 뒤, 유향 다양체의 표준적인 다각형 표시에 대응하는 몫공간이 [[원환면]]들의 연결합 <math>n\mathbb T^2</math>과 [[위상 동형]]이며, 비가향 다양체의 표준적인 다각형 표시에 대응하는 몫공간이 [[사영 평면]]들의 연결합 <math>n'\mathbb P^2</math>과 [[위상 동형]]임을 보인다.
<gallery mode="packed" heights="170px">
PolygonalPresentation1.svg
PolygonalPresentation2.svg
PolygonalPresentation3.svg
</gallery>
2차원 콤팩트 연결 다양체 <math>X</math>가 주어졌다고 하자. <math>X</math>의 다각형 표시 <math>\alpha\in\{a_1,a_1^{-1},a_2,a_2^{-1},\dots\}^*</math>에 대하여, <math>l(\alpha)</math>가 <math>\alpha</math>의 변의 수라고 하고, <math>k(\alpha)</math>가 <math>\alpha</math>의 꼭짓점의 [[동치류]]의 수라고 하자. 다각형 표시의 붙여지는 두 변은 다각형의 경계에 방향을 부여했을 때 같은 방향의 두 변과 반대 방향의 두 변으로 나눌 수 있다. 다음 두 가지 방법을 통해 <math>X</math>의 다각형 표시로부터 새로운 <math>X</math>의 다각형 표시를 유도할 수 있다.
<ul>
<li>㈀ 만약 <math>\alpha</math>가 <math>X</math>의 다각형 표시이며, 이웃하는 반대 방향의 두 변 <math>a</math>를 갖는다면, 이 두 변을 붙여 새로운 <math>X</math>의 다각형 표시 <math>\alpha'</math>을 얻을 수 있다. 이 경우 두 변은 사라지고 한 점 동치류를 이루던 두 변의 공통 꼭짓점은 다각형 내부의 점이 된다. 따라서
:<math>l(\alpha')=l(\alpha)-2</math>
:<math>k(\alpha')=k(\alpha)-1</math>
이다.</li>
<li>㈁ 만약 <math>\alpha</math>가 <math>X</math>의 다각형 표시이며, <math>\alpha</math>의 두 변 <math>a</math>가 대각선 <math>a'</math>의 양쪽에 위치한다면, <math>\alpha</math>를 <math>a'</math>을 따라 절단하고 <math>a</math>를 따라 접착하여 얻는 표시 <math>\alpha'</math> 역시 <math>X</math>의 다각형 표시이다. 원래의 두 변 <math>a</math>는 다각형의 대각선이 되며, 대각선 <math>a'</math>은 다각형의 두 변이 되며,
:<math>l(\alpha')=l(\alpha)</math>
:<math>k(\alpha')=l(\alpha)</math>
이다.</li>
</ul>

이제, 임의의 <math>X</math>의 다각형 표시 <math>\alpha</math>를 취하자. <math>l(\alpha)>1</math>이라고 가정하자. 임의의 꼭짓점 동치류 <math>[P]</math>를 취하자. 만약 <math>[P]</math>가 유일한 꼭짓점을 갖는다면, 이는 이웃하는 반대 방향의 두 변의 공통 꼭짓점이며, 방법 ㈀을 사용하여 두 변을 붙여 <math>[P]</math>를 없앨 수 있다. 만약 <math>[P]</math>가 둘 이상의 꼭짓점을 갖는다면, 그 원소가 아닌 점 <math>Q\not\in[P]</math>와 이웃하는 점 <math>P\in[P]</math>를 취할 수 있다. 변 <math>PQ</math>는 <math>P</math>를 지나는 다른 한 변 <math>RP</math>와 붙지 않는다. 이는 이 두 변이 붙는다고 가정하면 <math>PQ</math>와 <math>RP</math>의 방향이 달라 <math>P</math>가 <math>[P]</math>의 유일한 꼭짓점이 되기 때문이다. 따라서, 방법 ㈁을 사용하여 <math>\alpha</math>를 대각선 <math>RP</math>을 따라 절단하고 변 <math>RP</math>와 이에 대응하는 변을 접착할 수 있다. 이렇게 하면 동치류 <math>[P]</math>의 꼭짓점 수는 정확히 하나 줄어든다. 위 두 과정을 적절하게 거듭하면 <math>l(\alpha')=1</math>인 <math>X</math>의 다각형 표시 <math>\alpha'</math>를 얻을 수 있다.

다각형 표시가 붙여지는 같은 방향의 두 변을 갖는지 여부는 방법 ㈀와 방법 ㈁을 통한 변환에 대하여 불변이다. 방법 ㈀의 경우 변들의 방향이 바뀌지 않으므로 같은 방향의 두 변의 유무가 변하지 않는다. 방법 ㈁에서 <math>a</math>가 반대 방향인 경우, 평행 이동만이 필요하므로 역시 변들의 방향이 바뀌지 않는다. 방법 ㈁에서 <math>a</math>가 같은 방향인 경우, 다각형을 절단한 두 부분 가운데 하나를 뒤집어야 하므로 대각선 <math>a'</math>은 반대 방향의 두 변이 된다.

꼭짓점의 동치류가 하나뿐인 다각형 표시에서, 반대 방향의 두 변은 서로 이웃하지 않으며, 또한 적어도 한 쌍의 두 변이 이들과 번갈아가며 나타난다. 만약 번갈아가며 나타나는 다른 한 쌍의 변이 존재하지 않는다면, 반대 방향의 두 변을 제외하고 남은 두 꺾은선의 꼭짓점들이 서로 동치일 수 없으며, 이는 모순이다.

위에서 얻은 <math>l(\alpha')=1</math>인 <math>X</math>의 다각형 표시 <math>\alpha'</math>를 생각하자. 우선 <math>\alpha'</math>의 모든 붙여지는 두 변이 반대 방향이라고 가정하자. 반대 방향의 두 변 <math>a</math>를 취하자. 이와 번갈아가며 나타나는 두 변 <math>b</math>를 취하자. 그렇다면 <math>b</math> 역시 반대 방향이다. 방법 ㈁을 통한 적절한 변환을 몇 차례 가하여 두 쌍의 변 <math>a</math>와 <math>b</math>를 번갈아가며 나타나는 연이은 두 쌍의 변 <math>a'</math>와 <math>b'</math>으로 대체할 수 있다. 원래 번갈아가며 나타나던 연이은 두 쌍의 변은 변환 후에도 번갈아가며 나타나며 이어져 있다. 따라서 위 과정을 반복하면 결국 다음과 같은 꼴의 표준적인 다각형 표시를 얻는다.
:<math>a_1b_1a_1^{-1}b_1^{-1}a_2b_2a_2^{-1}b_2^{-1}\cdots a_nb_na_n^{-1}b_n^{-1}</math>

이제 <math>\alpha'</math>이 같은 방향의 두 변을 갖는다고 가정하자. 그렇다면 같은 방향의 두 변 <math>a</math>는 적절한 변환 ㈁을 가하여 이웃하는 같은 방향의 두 변 <math>a'</math>으로 대체할 수 있다. 원래 이웃하던 같은 방향의 두 변은 변환 후에도 유지된다. 이와 같은 과정을 반복하면 모든 같은 방향의 두 변이 이웃하는 다각형 표시를 얻는다. 이 표시가 반대 방향의 두 변 <math>a</math>를 갖는다고 가정하자. <math>a</math>와 번갈아가며 나타나는 두 변 <math>b</math>를 취하자. 그렇다면 <math>b</math>는 이웃하지 않으므로 반대 방향의 두 변이다. 같은 방향의 두 변 <math>c</math>를 취하자. 그렇다면, 몇 차례 변환 ㈁을 통해 <math>a</math>, <math>b</math>, <math>c</math>를 세 그룹의 이웃하는 같은 방향의 두 변 <math>a'</math>, <math>b'</math>, <math>c'</math>으로 대체할 수 있으며, 원래 이웃하던 같은 방향의 두 변은 유지된다. 이를 반복하여 반대 방향의 두 변들을 모두 없애면, 이웃하는 같은 방향의 두 변들로 구성된 <math>X</math>의 표준적인 다각형 표시
:<math>a_1a_1a_2a_2\cdots a_{n'}a_{n'}</math>
를 얻는다.

위 유도 과정에서, 다각형의 변의 수는 꼭짓점 동치류의 수를 줄일 때마다 둘씩 줄어든다. 따라서 마지막 다각형 표시의 변의 수 <math>4n</math> 또는 <math>2n'</math>은
:<math>l(\alpha)-2k(\alpha)+2</math>
이다.

다각형 표시
:<math>a_1b_1a_1^{-1}b_1^{-1}a_2b_2a_2^{-1}b_2^{-1}\cdots a_nb_na_n^{-1}b_n^{-1}</math>
에서, 각 <math>a_ib_ia_i^{-1}b_i^{-1}</math>에 대응하는 오각형을 붙여 만든 공간은 열린 공을 도려낸 원환면이며, 남은 <math>n</math>각형을 붙여 만든 공간은 <math>n</math>개의 열린 공을 도려낸 구이다. 따라서 이 표시에 대응하는 몫공간은 <math>n</math>개의 원환면의 연결합 <math>n\mathbb T^2</math>이며, 이는 가향 다양체이다.

다각형 표시
:<math>a_1a_1a_2a_2\cdots a_{n'}a_{n'}</math>
에서, 각 <math>a_ia_i</math>에 대응하는 삼각형을 붙여 만든 공간은 [[뫼비우스의 띠]]이며, 남은 <math>n'</math>각형은 <math>n'</math>개의 열린 공을 도려낸 구이다. 따라서 이 표시에 대응하는 몫공간은 <math>n'</math>개의 사영 평면의 연결합 <math>n'\mathbb P^2</math>이며, 이는 비가향 다양체이다.

{{증명 끝}}

=== 3차원 다양체 ===
3차원에서, 모든 (위상) 다양체는 유일한 [[매끄러움 구조]]를 가지므로, [[다양체]]와 [[매끄러운 다양체]]를 구별하지 않아도 된다.

둘 다 3차원 [[초구]]가 아닌 두 개의 다양체의 연결합으로 나타낼 수 없는 3차원 연결 콤팩트 [[유향 다양체]]를 '''소다양체'''(素多樣體, {{llang|en|prime manifold}})라고 하자. 모든 3차원 콤팩트 [[유향 다양체]]는 유한 개의 소다양체들의 연결합으로 나타낼 수 있으며, 이러한 표현은 유일하다. 이를 3차원 다양체의 '''소분해'''(素分解, {{llang|en|prime decomposition}})라고 한다. 따라서, 3차원 콤팩트 연결 유향 다양체들의 연결합 모노이드는 자유 가환 모노이드이다.

=== 4차원 이상 ===
4차원 이상에서는 [[다양체]] · [[조각적 선형 다양체]] · [[매끄러운 다양체]]가 각각 다르다.

3차원 이하에서는 연결합 모노이드에는 역원이 존재하지 않는다. 즉, <math>M\# N\cong\mathbb S^n</math>이라면 <math>M\cong N\cong\mathbb S^n</math>이어야 한다 (<math>n\le3</math>). 그러나 이는 5차원 이상의 [[매끄러운 다양체]]에서 성립하지 않는다. 5차원 이상에서는 자명하지 않는 매끄러운 [[호모토피 초구]]([[초구]]와 [[호모토피 동치]]인 [[매끄러운 다양체]])가 존재하며, [[매끄러운 다양체]]에 대하여 [[호모토피 초구]]인 것은 연결합 모노이드에서 역원을 갖는 것과 동치이다.

== 역사 ==
연결합의 유일성 (즉, 서로 다른 점 및 구형 근방을 잡아도 연결합이 서로 [[미분 동형]] · [[위상 동형]]이라는 것)은 자명하지 않다. [[매끄러운 다양체]]의 경우, 연결합의 유일성은 [[미셸 케르베르]]와 [[존 밀너]]가 1963년에 증명하였다.<ref>{{저널 인용|이름=M. A.|성=Kervaire|저자링크=미셸 케르베르|이름2=J. W.|성2=Milnor|저자링크2=존 밀너|제목=Groups of homotopy spheres. I|url=https://archive.org/details/sim_annals-of-mathematics_1963-05_77_3/page/n91|저널=Annals of Mathematics|권=77|날짜=1963|쪽=504–537|mr=0148075|zbl=0115.40505|언어=en}}</ref> (위상) 다양체의 경우, 연결합의 유일성은 '''원환 정리'''({{llang|en|annulus theorem}})로부터 유도된다. 원환 정리의 증명은 복잡하며, 2차원에서는 러도 티보르({{llang|hu|Radó Tibor}})가 1924년에 증명하였고,<ref>{{저널 인용|first=Tibor|last= Radó|title=Über den Begriff der Riemannschen Fläche|journal=Acta Universitatis Mathematicarum |volume=2 |year=1924|pages= 101–121|jfm= 51.0273.01|언어=de}}</ref> 3차원에서는 에드윈 에바리스트 모이즈({{llang|en|Edwin Evariste Moise}})가 1952년에 증명하였고,<ref>{{저널 인용 | last1=Moise | first1=Edwin E. | title=Affine structures in 3-manifolds. V. The triangulation theorem and Hauptvermutung | jstor=1969769 | mr=0048805 | year=1952 | journal=Annals of Mathematics | issn=0003-486X | volume=56 | pages=96–114|zbl=0048.17102|언어=en}}</ref> 4차원에서는 프랭크 퀸({{llang|en|Frank Quinn}})이 1982년에 증명하였고,<ref>{{저널 인용 | last1=Quinn | first1=Frank | title=Ends of maps. III. Dimensions 4 and 5 | url=http://projecteuclid.org/euclid.jdg/1214437139 | mr=679069 | zbl=0533.57009| year=1982 | journal=Journal of Differential Geometry | issn=0022-040X | volume=17 | issue=3 | pages=503–521|언어=en}}</ref> 5차원 이상에서는 로비언 크롬웰 커비({{llang|en|Robion Cromwell Kirby}})가 1969년에 증명하였다.<ref>{{저널 인용 | last1=Kirby | first1=Robion C. | title=Stable homeomorphisms and the annulus conjecture | jstor=1970652 | mr=0242165 | year=1969 | journal=Annals of Mathematics | issn=0003-486X | volume=89 | pages=575–582|언어=en}}</ref>

3차원 다양체의 소분해의 존재는 1929년에 헬무트 크네저({{llang|de|Hellmuth Kneser}})가 증명하였고,<ref>{{저널 인용|제목=Geschlossene Flächen in dreidimensionalen Mannigfaltigkeiten|이름=Hellmuth|성=Kneser|저널=Jahresbericht der Deutschen Mathematiker-Vereinigung |권=38|쪽=248–259|url=http://resolver.sub.uni-goettingen.de/purl?GDZPPN00212887X|jfm=55.0311.03|언어=de}}</ref>{{rp|256}} 그 유일성은 [[존 밀너]]가 증명하였다.<ref>{{저널 인용|이름=John|성=Milnor|저자링크=존 밀너|제목=A unique decomposition theorem for 3-manifolds|저널=American Journal of Mathematics|권=84|호=1|날짜=1962-01|쪽=1–7|doi=10.2307/2372800 |jstor=2372800|issn=0002-9327|언어=en}}</ref>

== 각주 ==
{{각주}}
* {{서적 인용| last=Hatcher |first= Allen |title=Algebraic topology |url=http://www.math.cornell.edu/~hatcher/AT/ATpage.html |날짜= 2002 |publisher=Cambridge University Press |place=Cambridge |zbl=1044.55001|mr=1867354|isbn=978-0-521-79540-1|언어=en}}

== 외부 링크 ==
* {{eom|title=Connected sum}}
* {{매스월드|id=ConnectedSum|title=Connected sum}}
* {{매스월드|id=KnotSum|title=Knot sum}}
* {{웹 인용|url=http://www.map.mpim-bonn.mpg.de/Connected_sum|제목=Connected sum|웹사이트=Manifold Atlas|언어=en}}
* {{웹 인용|url=http://mathoverflow.net/questions/121571/connected-sum-of-topological-manifolds|제목=Connected sum of topological manifolds|출판사=Math Overflow|언어=en}}
* {{웹 인용|url=http://mathoverflow.net/questions/93512/monoid-structure-of-oriented-manifolds-with-connect-sum|제목=Monoid structure of oriented manifolds with connect sum|출판사=Math Overflow|언어=en}}
* {{웹 인용|url=http://mathoverflow.net/questions/101327/kneser-milnor-decomposition-in-higher-dimensions|제목=Kneser Milnor decomposition in higher dimensions|출판사=Math Overflow|언어=en}}

[[분류:대수적 위상수학]]
[[분류:미분위상수학]]