역 오일러 방법 문서 원본 보기

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[[수치해석학]]과 [[계산과학]]에서 '''역 오일러 방법'''(또는 '''암시적 오일러 방법''')은 가장 기본적인 [[상미분방정식의 수치적 방법]]이다. 이것은 (일반적인) [[오일러 방법]]과 유사하지만 [[암시적 방법]]이라는 점에서 다르다. 역 오일러 방법은 시간에 대하여 1차 방법이다.

== 해설 ==
[[상미분방정식]]을 생각해 보자
: <math> \frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{d} t} = f(t,y) </math>
이것의 초기값은 <math> y(t_0) = y_0. </math> 여기서 함수 <math>f</math>와 초기 데이터 <math>t_0</math>와 <math>y_0</math>는 모른다; 함수 <math>y</math><math>t</math>에 의존하고 이 또한 모른다. 수치적 방법은 수열 <math> y_0, y_1, y_2, \ldots </math> 여기서 <math> y_k </math><math> y(t_0+kh) </math>, 여기서 <math> h </math>는 단계 크기라고 불린다.

역 오일러 방법은 다음을 사용하여 근사치를 계산한다
: <math> y_{k+1} = y_k + h f(t_{k+1}, y_{k+1}). </math><ref>{{harvnb|Butcher|2003|p=57}}</ref>
이것은 (일반적인) 오일러 방법과는 <math> f(t_k, y_k) </math> 대신에 <math>f(t_{k+1}, y_{k+1})</math>.

역 오일러 방법은 암시적 방법이다: 새로운 근사치 <math> y_{k+1} </math>는 등식의 양 쪽에서 나타난다. 따라서 이 방법은 모르는 <math> y_{k+1} </math>. 가끔은 이것은 [[고정점 반복법]]으로 수행될 수 있다:
: <math> y_{k+1}^{[0]} = y_k, \quad y_{k+1}^{[i+1]} = y_k + h f(t_{k+1}, y_{k+1}^{[i]}). </math>
만약 이 수열이 주어진 허용오차 내에서 수렴한다면, 이 방법은 이 극한을 새로운 근사치 <math> y_{k+1} </math>.<ref>{{harvnb|Butcher|2003|p=57}}</ref>

대신에 [[뉴턴 방법]](의 일부 변형)을 이용하여 대수방정식을 풀 수 있다.

== 파생 ==
미분방정식 <math> \frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{d} t} = f(t,y) </math>을 <math> t_n </math><math> t_{n+1} = t_n + h </math>
: <math> y(t_{n+1}) - y(t_n) = \int_{t_n}^{t_{n+1}} f(t, y(t)) \,\mathrm{d}t. </math>
적분을 직사각형이 하나뿐인 우측 [[리만 합|직사각형 방법]]으로 오른쪽에서 적분을 근사하자:
: <math> y(t_{n+1}) - y(t_n) \approx h f(t_{n+1}, y(t_{n+1})). </math>
마지막으로 <math> y_n </math>은 <math> y(t_n) </math>를 근사하고 역 오일러 방법의 공식은 다음을 따른다.<ref>{{harvnb|Butcher|2003|p=57}}</ref>

같은 추론에서 우측 직사각형 규칙 대신 좌측 직사각형 규칙을 사용하면 (일반적인) 오일러 방법을 얻는다.

== 해석 ==
[[파일:Stability_region_for_BDF1.svg|섬네일|원판 외부의 분홍색 영역은 역 오일러 방법의 안정성 영역을 나타낸다.]]
오일러 방법의 차수는 1이다. 이것은 [[국소절단오차]](한 단계에서 생기는 오차이다)는 [[점근 표기법]]으로 <math> O(h^2) </math>. 특정 시간 <math> t </math><math> O(h) </math>.

역 오일러 방법의 [[절대 안정성 영역]]은 그림에서 나타내듯이 [[복소평면]]에서 중심이 1이고 반지름이 1인 원판의 상보적 영역이다.<ref>{{harvnb|Butcher|2003|p=70}}</ref> 이것은 복소평면의 왼쪽 절반을 전부 포함하기 때문에 [[딱딱한 방정식]]의 해로 적합하다.<ref>{{harvnb|Butcher|2003|p=71}}</ref> 사실, 역 오일러 방법은 심지어 [[L-안정성|L-안정]]하다.

== 확장과 수정 ==
역 오일러 방법은 (일반적인) [[오일러 방법]]의 변종이다. 다른 변종은 [[반-암시적 오일러 방법]]과 [[지수적 오일러 방법]]이다.

역 오릴러 방법은 다음의 Butcher 테이블을 갖는 한 단계의 [[룽게-쿠타 방법]]으로도 볼 수 있다:
: <math>
\begin{array}{c|c}
1 & 1 \\
\hline
  & 1 \\
\end{array}
</math>
역 오일러 방법은 한 단계 [[선형 다단계 방법]]으로도 볼 수 있다. 이것은 [[아담스-몰톤 방법]] 중 첫번째 방법이고, [[역 미분 공식]]에도 포함된다.

== 같이 보기 ==
* [[크랭크-니콜슨 방법]]

== 각주 ==
{{각주}}

== 참조 ==
* {{인용|last1=Butcher|first1=John C.|author1-link=John C. Butcher|title=Numerical Methods for Ordinary Differential Equations|publisher=[[John Wiley & Sons]]|location=New York|isbn=978-0-471-96758-3|year=2003}}.

{{수치상미분방정식}}

[[분류:수치미분방정식]]
[[분류:룽게-쿠타 방법]]